A
0
C
B
B
.162.17A
45°
C
E
D
y小
B
A
O
c
B
E
A
B
A
B
A
E
G
G
G
F
F
H
C
C
D
D
C
E
D
图1
图2
B
A
C
D
备用图
B
A
E
G
F
C
D
B
E
A
B
A
B
A
E
G
G
G
F
F
H
C
C
D
D
C
E
D
图1
图2
B
A
C
D
备用图
B
A
E
G
F
C
D
D
A
0
C
B
A
B
c
B
E
F
B
图①
图②
图③
不y/件
200
1
I
I
100
I
I
O
10
20
x/元九年级学情调研2数学试卷
（时间： 100 分钟 满分：120分）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种卯构件的示意图，其俯视图是
A． B．
C． D．
2.若点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
3.如图，电路图上有4个开关A，B，C，D和1个小灯泡，同时闭合开关A，B或同时闭合开关C，D都可以使小灯泡发光．随机同时闭合两个开关，小灯泡发光的概率是
A． B． C． D．
第3题图 第4题图
4.如图，滑雪场有一坡角为20°的滑雪道，滑雪道AC长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度AB的长为
A． B． C．200cos20°米 D．200sin20°米
5.近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为23万元，4月份售价为18.63万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是
A．23（1﹣x）2＝18.63 B．18.63（1+x）2＝23
C．18.63（1﹣x）2＝23 D．23（1+x）2＝18.63
6.如图，将视力表中的两个“E”放在平面直角坐标系中，两个“E”字是位似图形，位似中心点O，①号“E”与②号“E”的相似比为2：1．点P与Q为一组对应点，若点Q坐标为（﹣2，3），则点P的坐标为
A． B．（﹣6，4） C． D．（﹣4，6）
第6题图 第8题图
7.关于二次函数y＝（x+1）2﹣3，下列说法错误的是
A．图象的开口方向向上 B．函数的最小值为﹣3
C．图象可由抛物线y＝x2向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度得到
D．当x＜﹣1时，y随x的增大而减小
8.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为AD的中点，连接OE，
∠BAD＝120°，BD＝12，则OE等于
A．6 B． C．4 D．
9.如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC长12cm，BC边上的高AD为10cm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边GH在BC上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC上，则这个正方形零件的边长是
A．cm B．5cm C．6cm D．7cm
第9题图 第10题图
10.如图，在x轴的正半轴上依次截取OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4A5＝……=An﹣1An，过A1、A2、A3、A4、A5……An分别作x轴的垂线，与反比例函数的图象交于点P1、P2、P3、P4、P5……Pn，并设△OA1P1、△A1A2P2、△A2A3P3……△An﹣1AnPn面积分别为S1、S2、S3……Sn，其中n为正整数，按此作法进行下去，Sn的值为
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11.一元二次方程（x﹣1）2=4的解是 .
12.将∠BAC放置在4×4的正方形网格中，顶点A、B、C都在格点上．则tan∠BAC的值为 ．
第12题图 第13题图
13.如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若树高AB＝2m，树影BC＝3m，树与路灯的水平距离BP＝4m．则路灯的高度OP为 m．
14.在平面直角坐标系中，若一个点的横坐标与纵坐标的和为零，则称这个点为“零和点”．已知二次函数y＝x2+3x+m的图象上有且只有一个“零和点”，则m＝ ．
15.如图，菱形ABCD中，CD=，∠BCD＝30°，点P为射线AB上一个动点，连接DP，点A关于直线DP的对称点为A'，连接A′P，A′D，当A′P⊥BC时，AP的长为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16.（8分）（课本原题）（1）计算sin230°+2sin60°+tan45°﹣tan60°+cos230°
（2）（课本原题）解方程
17.（9分）【问题情境】
大自然中的植物千姿百态，如果细心观察，就会发现：不同植物的叶子通常有着不同的特征，如果我们用数学的眼光来观察，会有什么发现呢？
“思维math”小组的四位同学小颖、小平、小名和小宇，一起开展了“利用树叶的特征对树木进行分类”的项目化学习活动．
【实践发现】
同学们从收集的杨树叶、柳树叶中各随机选取10片，通过测量得到这些树叶的长和宽（单位：cm）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下：
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
杨树叶的长宽比 2 2.4 2.1 2.4 2.8 1.8 2.4 2.2 2.1 1.7
柳树叶的长宽比 1.5 1.6 1.5 1.4 1.5 1.4 1.7 1.5 1.6 1.4
【实践探究】
分析数据如下：
平均数 中位数 众数 方差
杨树叶的长宽比 2.19 m 2.4 0.0949
柳树叶的长宽比 1.51 1.5 n 0.0089
【问题解决】
（1）上述表格中：m＝ ，n＝ ；
（2）①这两种树叶从长宽比的方差来看， 树叶的形状差别较小；
②该小组收集的树叶中有一片长为11.5cm，宽为5cm的树叶，这片
树叶来自于 树的可能性大；
（3）该小组准备从小颖、小平、小名和小宇四位成员中随机选取两名
同学进行成果汇报，请用列表或画树状图的方法，求成员小颖和小平同
时被选中的概率．
18.（9分）（《学练优》原题）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，文化路社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷AB长为5米，与水平面的夹角为16°，且靠墙端离地高BC为4米，当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时，求阴影CD的长．
（结果精确到0.1米；参考数据：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29）
19.（9分）“直播带货”已经成为信息社会中商家的一种新型促销手段．某主播小佳在直播间销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，它们的关系如图所示：
（1）当定价为 元时，开始无人购买；
（2）设小佳每天的销售利润（快递费用等不考虑）为w元，求w与x之间的函数关系式（不需要写出自变量x的取值范围）；
（3）若小佳每天想获得的销售利润w为910元，又要尽可能地减少库存，应将销售单价定为多少元？
20.（10分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A（a，1），B（-2，b）两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）直接写出不等式＜的解集；
（3）设直线AB与x轴交于点C，若P（0，n）
为y轴上的一动点，连接AP，CP，当△APC的
面积为时，求点P的坐标．
21.（10分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
（1）尺规作图：在边CD的左侧，作∠CDE=∠ACB，使DE=AC;
（2）在（1）的条件下，连接CE．求证：四边形OCED为矩形；
（3）在（2）的条件下，连接AE，交CD于F点，菱形ABCD中，若DB＝10，AC＝12，求EF的长．
22.（10分）如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（4，1），点B（0，5）．
（1）求该二次函数的表达式，并求出对称轴和顶点坐标；
（2）点C（m，n）在该二次函数图象上，当m≤x≤4时，n的最大值为，最小值为1，请根据图象直接写出m的取值范围．
23.（10分）综合与实践：
综合与实践课上，老师带领同学们，以“特殊四边形旋转”为主题，开展数学活动.
【问题发现】
如图1，在矩形ABCD中，，点F在对角线AC上，过F点分别作AB和AD的垂线，垂足为E，G，则四边形AEFG为矩形．请问线段CF与DG的数量关系为 ；
【拓展探究】
如图2，将图1中的矩形AEFG绕点A逆时针旋转，记旋转角为，当0°＜＜180°时，连接CF，DG．在旋转的过程中，CF与DG的数量关系是否仍然成立？请利用图2进行证明．
【解决问题】
如图3，当矩形ABCD的边AD＝AB时，点E为直线CD上异于D，C的一点，以AE为边作正方形AEFG，点H为正方形AEFG的中心，连接DH，若AD＝4，DE＝2，直接写出DH的长．
图1 图2
图3 备用图
九年级数学 共8页 第 页九年级学情调研2 数学 评分标准
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.C． 2.B． 3.A． 4.D． 5.A． 6.D． 7.C． 8.B． 9.A． 10.D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. -1，3. 12. 1． 13. ． 14. 4． 15. 2或6．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16.（8分）（1）原式＝1+2sin60°+tan45°﹣tan60°
＝1+2×+1﹣
＝2；……………………4分
（2）解：这里a＝2，b＝﹣4，c＝﹣1，
∴Δ＝（﹣4）2+4×2×1＝24﹥0，
∴x＝=，
∴，；……………………8分
17.（9分）解：（1）2.15，1.5；……………………2分
（2）①柳；②杨；……………………4分
（3）四位同学分别用A、B、C、D表示，其中A代表小颖，B代表小平，C代表小名，D代表小宇，
画树状图为：
共有12中等可能的结果，其中成员小颖和小平同时被选中的结果数为2，
所以成员小颖和小平同时被选中的概率＝＝．……………………9分
18.（9分））解：过A作AT⊥BC于T，AK⊥CE于K，如图：
在Rt△ABT中，
BT＝AB sin∠BAT＝5×sin16°≈1.4（米），AT＝AB cos∠BAT＝5×cos16°≈4.8（米），……………………3分
∵∠ATC＝∠C＝∠CKA＝90°，
∴四边形ATCK是矩形，
∴CK＝AT＝4.8米，AK＝CT＝BC﹣BT＝4﹣1.4＝2.6（米），
在Rt△AKD中，
∵∠ADK＝45°，
∴DK＝AK＝2.6米，……………………6分
∴CD＝CK﹣DK＝4.8﹣2.6＝2.2（米），
∴阴影CD的长约为2.2米．……………………9分
19.（9分）解：（1）设每天的销售量y（件）与销售单价x（元）的函数解析式为y＝kx+b（k≠0），
把（10，200）和（20，100）代入解析式得：
，
解得，
∴y＝﹣10x+300，
令y＝0，即﹣10x+300＝0，
解得x＝30，
∴当定价为30元时，开始无人购买，
故答案为：30；……………………2分
（2）由题意得：w＝（x﹣10）（﹣10x+300）＝﹣10x2+400x﹣3000．
∴w与x之间的函数关系式为w＝﹣10x2+400x﹣3000；……………………5分
（3）由题意，令w＝910，
∴﹣10x2+400x﹣3000＝910．
∴x1＝17，x2＝23．
又尽可能地减少库存，
﹣10×17+300＞﹣23×10+300，
∴x＝17．
∴应将销售单价定为17元；……………………9分
20.（10分）解：（1）∵y＝x﹣1图象经过A（a，1），
∴ a=4，
∴反比例函数表达式为：y＝……………………3分
（2）由图可得，不等式＜的解集是x＜﹣2或0＜x＜4；……………………6分
（3）设直线AB交x轴于C，交y轴于D，
在y＝x﹣1中，
当x＝0时，y＝﹣1，
∴D（0，﹣1），
当y＝0时，得x﹣1＝0，
解得：x＝2，
∴C（2，0），
∴OC＝2，
∵P（0，n），A（4，1），
∴PD＝|n+1|，
∵S△APC＝，
∴|n+1| （4﹣2）＝，
解得：n＝或﹣，
∴点P的坐标为（0，）或（0，﹣）．……………………10分
21.（10分）（1）
如图，即为所求.
……………………3分
（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴，
∴∠DOC＝90°，
∵，
∴DE＝OC．DE∥OC，
∴四边形OCED是平行四边形，
又∵∠DOC＝90°，
∴平行四边形OCED是矩形；……………………7分
（3）解：∵四边形ABCD是菱形，DB＝10，AC＝12，
∴AC⊥BD，OB＝OD＝5，OA＝OC＝6，
∵平行四边形OCED是矩形；
∴CE＝OD＝5，DE＝OC＝6，
∴在Rt△ACE中，,
∵DE∥AC，
∴∠EDF=∠FCA，∠DEF=∠FAC,
∴△DEF∽△CAF，
∴,
∴.……………………10分
22.（10分）解：（1）将点A、B的坐标分别代入二次函数，得方程组：
，
解之，得
得y＝﹣x2+3x+5．……………………3分
y＝﹣x2+3x+5=，
所以，对称轴是：直线x=，顶点坐标为（，）．……………………7分
答：该二次函数的表达式为y＝﹣x2+3x+5，对称轴是：直线x=，顶点坐标为（，）．
（2）当﹣x2+3x+5＝1，解得x＝﹣1或x＝4，
因为A（4，1），D（﹣1，1），顶点是E（，）．
根据题意，点C应在点A、D之间的函数图象上，
可以看出，﹣1≤m≤．……………………10分
23.（10分）解：【问题发现】CF＝2GD；……………………3分
【拓展探究】仍然成立．理由如下：
图1中，∠FAG=∠CAD,∠FGA=∠CDA,
∴△AFG∽△ACD,
∴，
图2中，由旋转可得：∠CAF＝∠DAG，
∴△ACF∽△ADG，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴CF＝2GD；……………………8分
【解决问题】
①如图3，当点E在线段CD上时，连接AC、AH，
∵四边形ABCD，四边形AEFG为正方形，
∴∠CAD＝∠EAH＝45°，，
∴∠CAE＝∠DAH，
∴△ACE∽△ADH，
∴，
∵AD＝CD＝4，DE＝2，
∴CE＝4﹣2＝2，
∴DH＝CE＝；
②如图4，当点E在线段CD延长线上时，连接AC、AH，
∵四边形ABCD，四边形AEFG为正方形，
∴∠CAD＝∠EAH＝45°，，
∴∠CAE＝∠DAH，
∴△ACE∽△ADH，
∴，
∵AD＝CD＝4，DE＝2，
∴CE＝4+2＝6，
∴DH＝CE＝3；
综上所述，DH的长为或3．……………………10分
