云南省玉溪市2023-2024学年高一上学期1月教学质量检测（期末）数学试卷（含解析）

【考试时间：1月12日08：30~10：30】
玉溪市2023-2024学年高一上学期1月教学质量检测（期末）
数学试卷
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第I卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.
第I卷（选择题，共60分）
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号在答题卡上填写清楚；
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
一 单项选择题（本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题日要求的）
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.下列函数中是奇函数的是（ ）
A. B.
C. D.
3.已知函数，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
4.（ ）
A.1 B. C. D.
5.已知函数则（ ）
A.1 B.0 C.2 D.-1
6.为了得到函数的图象，只要把的图象上的所有的点（ ）
A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
7.已知，则是的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
8.用函数表示函数和中的较大者，记为：.若，则的最小值为（ ）
A. B.2 C. D.
二 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9.已知幂函数，恒过点，则（ ）
A.的定义域是 B.是偶函数
C.在定义域上单调递增 D.无最小值
10.化学中会用值来判断溶液的酸碱度，值是溶液中氢离子浓度的负常用对数值，若设某溶液所含氢离子浓度为，可得，则以下说法正确的是（ ）（参考数据）
A.若氢离子浓度扩大为原来的10倍，则值降低1
B.若氢离子浓度扩大为原来的10倍，则值升高1
C.若氢离子浓度扩大为原来的4倍，则值降低0.6
D.若氢离子浓度扩大为原来的4倍，则值降低0.7
11.下列命题正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.
12.已知函数的所有零点从小到大依次记为，则（ ）
A. B.
C. D.
第II卷（非选择题，共90分）
注意事项：
第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.
三 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.若点在角的终边上，则__________.
14.已知扇形的圆心角为3，周长为30，则扇形的面积为__________.
15.我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式中“...”即代表无数次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程求得.类比上述过程，则__________.
16.已知定义在上的函数满足与均是上的偶函数，且，则__________.
四 解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）
设集合.
（1）当时，求；
（2）若，求的取值范围.
18.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）若对一切实数都成立，求的值；
（2）已知，令，求在上的最小值.
19.（本小题满分12分）
若.
（1）求的值；
（2）求的值.
20.（本小题满分12分）
某公司生产新能源汽车电池组，每年需要固定投入1000万元，每生产1组电池，需再投入0.8万元.假设该公司生产的新能源汽车电池组全年最高能售出1万组，在1万组内生产的电池组能全部售完，根据以往的经验，新能源汽车电池组销售收入（万元）关于年销售量（组）的函数为
（1）求年利润（万元）关于年销售量的函数（利润收入-成本）；
（2）求该公司生产新能源汽车电池组的最大年利润及此时的年销售量.
21.（本小题满分12分）
已知函数的图象与轴交于点，若，是方程的两个相邻的实根，且.
（1）求的解析式；
（2）求的单调递减区间.
22.（本小题满分12分）
已知是定义在上的奇函数，且当时，.
（1）求的解析式；
（2）若，求实数的取值范围.
玉溪市2023-2024学年高一上学期1月教学质量检测（期末）
数学参考答案
第I卷（选择题，共60分）
一 单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A C D B D A C
1.，故选.
2.由奇函数定义可知是奇函数，故选.
3.因为，所以要使函数有意义，需满足所以函数的定义域为，故选C.
4.，故选D.
5.由题可知：，故选B.
6.想要得到函数的图象，只要把的图象上的所有的点向右平移个单位长度，故选D.
7.充分性：，即，充分性成立；必要性：：，不妨取，必要性不成立，即是的充分不必要条件，故选A.
8.因为函数和均为偶函数，当时，单调递增，且时，故函数的最小值为，故选C.
二 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
题号 9 10 11 12
答案 BD AC ACD AC
【解析】
9.设，恒过点，解得，即；定义域为；
值域为，故无最小值；，故为偶函数；，在上单调递增，在上单调递减，故选BD.
10.，氢离子浓度扩大10倍，则值降低1，所以A正确，B错误；，所以C正确，D错误，故选AC.
11.对于A：，则，则，故A正确；对于：若，取，
，则，故B错误；对于C：若，则，故C正确；对于D：，故D正确，故选ACD.
12.由图可知共有20个交点，故，则A正确，B错误；又关于对称，则，故，则C正确，错误，故选AC.
第II卷（非选择题，共90分）
三 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
题号 13 14 15 16
答案 54
【解析】
13.设为坐标原点，因为，由已知得.
14.由题可知.
15.令，则两边平方得，则，即，解得或（舍去）.
16.由题可知
，故的周期为1，且，故
.
四 解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）
解：，
（1）当时，，
（2），故，
，
解得：，所以的取值范围是.
18.（本小题满分12分）
解：（1），即恒成立，
，
解得，所以的值为0
（2）由已知有，
当时，，
当且仅当，即时取得最小值，
故在上的最小值为.
19.（本小题满分12分）
解：（1），
.
（2），
，
.
20.（本小题满分12分）
解：（1）当时，；
当时，，
所以
（2）当时，，
当时，取得最大值；
当时，，
当且仅当，即时取得最大值
因为，所以，
该公司年销售量为4500组时年利润最大为4300万元.
21.（本小题满分12分）
解：（1）由题得，且，得，
是方程的两个相邻的实根，且，
，解得或.
由，可得或，
即或，
或.
（2）当时，由，
解得，
的单调递减区间为；
当时，由，
解得，
的单调递减区间为.
22.（本小题满分12分）
解：（1）由题意知，即，解得.
当时，；
当时，，
根据奇函数的定义可知，
，
故
（2）由，
得在区间上恒成立.
又，所以在区间上恒成立.
设，
函数在区间上单调递减，
所以函数在区间上单调递减.
又函数在区间上单调递减，
所以在区间上单调递减，
所以，
故实数的取值范围为.