河南省周口市沈丘县中英文学校2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（含答案）

2023-2024学年第一学期期末综合测试
九年级数学
时间：100分钟 满分：120分
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列式子一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
3．五一小长假期间，某商场举行抽奖促销活动，对于“抽到一等奖的概率为0.1”，下列说法正确的是（ ）
A．抽10次奖必有一次抽到一等奖
B．抽一次不可能抽到一等奖
C．抽10次也可能没有抽到一等奖
D．抽了9次如果没有抽到一等奖，那么再抽一次肯定能抽到一等奖
4．下列各组线段能成比例的是（ ）
A．3cm、6cm、8cm、9cm B．3cm、5cm、6cm、9cm
C．3cm、6cm、7cm、9cm D．3cm、6cm、9cm、18cm
5．已知α为锐角，，则α等于（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
6．身高相等的三名同学甲、乙、丙参加风筝比赛，三人放出风筝的线长、线与地面的夹角如下表（假设风筝线是拉直的），则三人所放的风筝中（ ）
同学 甲 乙 丙
放出风筝线长 100m 100m 90m
线与地面夹角 40° 45° 60°
A．甲的最高 B．丙的最高 C．乙的最低 D．丙的最低
7．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
8．如图，AD、BE分别是的中线和角平分线，，，则AC的长为（ ）
第8题
A． B． C． D．
9．如图，在中，延长斜边BC到点D，使，连结AD，若，则的值为（ ）
第9题
A． B． C． D．
10．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，CE交DF于点G，连结AG．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
第10题
A．①② B．①③ C．①②④ D．①②③
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．计算的结果是______．
12．现有四张卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同，把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案恰好是三角形和菱形的概率是______．
第12题
13．如图，在中，，，将折叠，使点A落在BC边上的点D处，EF为折痕．若，则的值为______．
第13题
14．实数x、y满足，则的值为______．
15．如图，在中，，，D为AB的中点，点P在AC上，且，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连结AQ、DQ．当时，AQ的长为______．
第15题
三、解答题（本大题共8小题，共75分）
16．（10分）（1）计算：．
（2）解方程：．
17．（9分）随着手机APP技术的迅猛发展，人们的沟通方式更便捷、多样．某校数学兴趣小组为了了解某社区20~60岁居民最喜欢的沟通方式，针对给出的四种APP（A：微信，B：QQ，C：钉钉，D：其他）的使用情况，对社区内该年龄段的部分居民展开了随机问卷调查（每人必选且只能选择其中一项）．根据调查结果绘制了如图不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：
第17题
（1）参与问卷调查的总人数是；
（2）补全条形统计图；
（3）若小强和他爸爸要在各自的手机里安装A、B、C三种APP中的一种，求他俩选择同一种APP的概率，并列出所有等可能的结果．
18．（9分）在平面直角坐标系中的位置如图所示．
第18题
（1）画出向下平移3个单位长度得到的；
（2）以原点O为位似中心，将放大为原来的2倍，得到，请画出．
19．（9分）已知关于x的一元二次方程，p为实数．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）p为何值时，方程有整数解．（直接写出三个，不需说明理由）
20．（9分）建设美丽城市，改造老旧小区．某市2020年投入资金1000万元，2022年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．
（1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率．
（2）2022年老旧小区改造的平均费用为每个小区80万元．2023年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金的年平均增长率保持不变，求该市在2023年最多可以改造多少个老旧小区．
21．（9分）王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树AB的高度，他在点C处测得大树顶端点A的仰角为45°，再从点C出发沿斜坡走m到达斜坡上点D，在点D处测得树顶端点A的仰角为30°．若斜坡CF的坡比为（点E、C、B在同一水平线上）．
第21题
（1）求王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度；
（2）求大树AB的高度（结果保留根号）．
22．（10分）阅读下面材料：
材料1：若关于x的一元二次方程的两个实数根分别为、，则、，，．
材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m、n，求的值．
解：∵一元二次方程的两个实数根分别为m、n，∴，．
则．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）一元二次方程的两个实数根分别为、，则______，______；
（2）已知一元二次方程的两个实数根分别为m、n，求的值；
（3）已知实数s、t满足，，且，求的值．
23．（10分）（1）如图①，四边形ABCD为正方形，，那么BF与AE相等吗？为什么？
（2）如图②，在中，，，D为BC边的中点，于点E，交AC于点F，求的值．
（3）如图③，在中，，D为BC边的中点，于点E，交AC于点F．若，，求CF的长．
第23题
期末测评
一、1．C 2．D 3．C 4．D 5．C 6．B 7．C
8．D提示：如图，取CE的中点F，连结DF，则DF是的中位线，，．由勾股定理，得．∵BE平分，，易得是等腰三角形，．根据等腰三角形“三线合一”，得．∵，∴HE是的中位线，E是AF的中点，∴，∴，∴．故选D．
9．D提示：如图，过点C作交AD于点E．
∵，，∴．∵，∴设，．∵，∴．∵，∴，∴．故选D．
10．C
二、11．18 12． 13． 14．4 15．或
三、16．（1）原式．（5分）
（2）∵，，，
∴（7分）
∴，
∴，，（10分）
17．（1）500（2分）提示：（人），即参与问卷调查的总人数为500．
（2）（人），（4分）
补全条形统计图如图所示：
（6分）
（3）根据题意，列表如下：
A B C
A AA AB AC
B BA BB BC
C CA CB CC
（8分）
由表可知，共有9种等可能的结果，其中小强和他爸爸选择同一种APP的情况有3种，分别为AA、BB、CC，P（小强和他爸爸选择同一种APP）．（9分）
18．（1）如图，即为求作的三角形．（4分）
（2）如图，即为求作的三角形．（9分）
19．（1）化简方程，得．（1分）
．
∵p为实数，∴．（3分）
，即．
∴方程有两个不相等的实数根．（5分）
（2）当p为0、2、-2时，方程有整数解．（9分）
20．（1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x．
依题意，得，
解得，（不合题意，舍去）．
答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%．（4分）
（2）设该市在2023年可以改造y个老旧小区．
依题意，得，
解得．
∵y为整数，∴y的最大值为18．
答：该市在2023年最多可以改造18个老旧小区．（9分）
21．（1）如图，过点D作于点H，
由题意知m，
∵斜坡CF的坡比为，
∵．
设m，m，
∵，．
∴，（舍去）．
∴m，m．
答：王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度为2m．（4分）
（2）如上图，过点D作于点G，
∵，∴四边形DHBG为矩形．
设m，∴m，m．
∵，∴m．
∴m．
∵，∴，
∴，．∴m．
答：大树AB的高度是m．（9分）
22．（1）（2分）
（2）∵一元二次方程的两个实数根分别为m、n，
∴，．
∴．（6分）
（3）∵实数s、t满足，，
∴s与t可看作方程的两个实数根．
∴，．
∴．
∴．
∴．（10分）
23．（1）．理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴，．
∴．
∵，∴，
∴．
在和中，
∴．∴．（3分）
（2）如图，过点A作，过点C作，两线相交于点M，延长BF交CM于点G，
∴四边形ABCM是平行四边形．
∵，是矩形．
∵，∴矩形ABCM是正方形．
∴．
同（1）的方法，得，
∴．
∵D是BC边的中点，∴．
∴．
∵，∴．
∴，（7分）
（3）如图，在中，，，
∴．
∵D是BC边的中点，∴．
过点A作，过点C作，两线相交于点N，延长BF交CN于点P，
∴四边形ABCN是平行四边形．
∵，∴是矩形．
同（1）的方法，得．
∵，∴．
∴．∴．∴．
同（2）的方法，得，
∴，∴，∴．（10分）