备战2024年中考数学专项真题练习 反比例函数与一次函数交点问题（含答案）

备战2024中考数学专项真题练习--反比例函数与一次函数交点问题
1．（2023·青海）如图，直线y=kx+b（k≠0）与双曲线y= （m≠0）交于点A（﹣ ，2），B（n，﹣1）．
（1）求直线与双曲线的解析式．
（2）点P在x轴上，如果S△ABP=3，求点P的坐标．
2．（2023·青海）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点A（2，﹣6），且与反比例函数y=﹣ 的图象交于点B（a，4）
（1）求一次函数的解析式；
（2）将直线AB向上平移10个单位后得到直线l：y1=k1x+b1（k1≠0），l与反比例函数y2= 的图象相交，求使y1＜y2成立的x的取值范围．
3．（2023·青海）在同一平面直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象如图所示.
（1）求一次函数的解析式；
（2）当时，直接写出不等式的解集.
4．（2023·青海）如图，在平面直角坐标系中，正六边形的对称中心在反比例函数的图象上，边在轴上，点在轴上，已知．
（1）判断点是否在该反比例函数的图象上，请说明理由；
（2）求出直线：的解析式，并根据图象直接写出当时，不等式的解集．
5．（2023·青海）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点，与反比例函数在第四象限内的图象交于点．
（1）求反比例函数的表达式：
（2）当时，直接写出x的取值范围；
（3）在双曲线上是否存在点P，使是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
6．（2023·青海）如图，直线与反比例函数的图象交于点，，过点作轴交轴于点，在轴正半轴上取一点，使，连接，，若的面积是．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）点为第一象限内直线上一点，且的面积等于面积的倍，求点的坐标．
7．（2023·青海）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点、．C是y轴上的一点，连接、．
（1）求一次函数、反比例函数的表达式；
（2）若的面积是6，求点C的坐标．
8．（2023·青海）一次函数与反比例函数的图象交于，两点，点的坐标为．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求的面积；
（3）过动点作轴的垂线，与一次函数和反比例函数的图象分别交于，两点，当在的上方时，请直接写出的取值范围．
9．（2023·青海）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于、两点，的横坐标为，的纵坐标为．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）观察图象，直接写出不等式的解集．
（3）将直线向上平移个单位，交双曲线于、两点，交坐标轴于点、，连接、，若的面积为，求直线的表达式．
10．（2023·青海）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点，点，与轴，轴分别交于点，点，作轴，垂足为点，．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）在第二象限内，当时，直接写出的取值范围；
（3）点在轴负半轴上，连接，且，求点坐标．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：∵双曲线y= （m≠0）经过点A（﹣ ，2），∴m=﹣1．∴双曲线的表达式为y=﹣ ．∵点B（n，﹣1）在双曲线y=﹣ 上，∴点B的坐标为（1，﹣1）．
∵直线y=kx+b经过点A（﹣ ，2），B（1，﹣1），
∴ ，解得 ，∴直线的表达式为y=﹣2x+1
（2）解：当y=﹣2x+1=0时，x= ，
∴点C（ ，0）．
设点P的坐标为（x，0），
∵S△ABP=3，A（﹣ ，2），B（1，﹣1），
∴ ×3|x﹣ |=3，即|x﹣ |=2，
解得：x1=﹣ ，x2= ．
∴点P的坐标为（﹣ ，0）或（ ，0）
【解析】【分析】（1）将A点的坐标代入双曲线y=，求出m的值，从而得出反比例函数的解析式，再将B（n，﹣1）代入双曲线的解析式求出n的值，从那个人得出N点的坐标，将A，B两点的坐标分别代入直线y=kx+b即可得出关于k，b的方程组，求解得出k.b的值，从而得出直线的解析式；
（2）根据直线与x轴交点的坐标特点得出C点的坐标，设点P的坐标为（x，0），根据S△ABP=3，列出方程，求解即可。
2．【答案】（1）解：∵反比例函数y=﹣ 的图象过点B（a，4），
∴4=﹣ ，解得：a=﹣3，
∴点B的坐标为（﹣3，4）．
将A（2，﹣6）、B（﹣3，4）代入y=kx+b中，
，解得： ，
∴一次函数的解析式为y=﹣2x﹣2．
（2）解：直线AB向上平移10个单位后得到直线l的解析式为：y1=﹣2x+8．
联立直线l和反比例函数解析式成方程组，
，解得： ， ，
∴直线l与反比例函数图象的交点坐标为（1，6）和（3，2）．
画出函数图象，如图所示．
观察函数图象可知：当0＜x＜1或x＞3时，反比例函数图象在直线l的上方，
∴使y1＜y2成立的x的取值范围为0＜x＜1或x＞3．
【解析】【分析】（1）根据点B的纵坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出直线AB的解析式；（2）根据“上加下减”找出直线l的解析式，联立直线l和反比例函数解析式成方程组，解方程组可找出交点坐标，画出函数图象，根据两函数图象的上下位置关系即可找出使y1＜y2成立的x的取值范围．
3．【答案】（1）解：由图象知，一次函数与反比例函数的一个交点的横坐标为1，且反比例函数表达式为，
则交点的纵坐标为2．
将代入得，．
所以一次函数的解析式为：
（2）解：当x >0，图象在轴的右侧，观察图象发现：当图象在直线×=1的右侧时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，
∴不等式的解集为：.
【解析】【分析】（1）由图象知，一次函数与反比例函数的一个交点的横坐标为1，故将x=1代入反比例函数的解析式算出对应的函数值，可求出两函数在第一象限交点的坐标为（1，2），然后将（1，2）代入y=kx+1算出k的值，从而即可求出一次函数的解析式；
（2）求x＞0时，关于x的不等式的解集，从图象看，就是求一象限内一次函数图象在反比例函数图象上方部分相应的自变量的取值范围，从而结合图象可得答案.
4．【答案】（1）点在该反比例函数的图象上．理由如下：
如图，连接，，
正六边形的边长，点是正六边形的对称中心，
，，
，，
，，均为等边三角形，
，，
，，
，
，，
点在反比例函数的图象上，
，
该反比例函数的解析式为，
当时，，
点在该反比例函数的图象上；
（2）将，分别代入，得，
解得：，
直线的解析式为，
观察图象可得：在第一象限内，当直线：位于双曲线上方时，，
不等式的解集为．
【解析】【分析】（1）连接PA，PF，根据正六边形的性质求得P与E的坐标，再利用待定系数法可得反比例函数的解析式，然后将点E的坐标代入反比例函数解析式检验；
（2）根据两函数图象的位置关系求出不等式的解集．
5．【答案】（1）解：把，代入中得：，
∴，
∴直线的解析式为，
在中，当时，，
∴，
把代入中得：，
∴，
∴反比例函数的表达式；
（2）解：联立，解得或，
∴一次函数与反比例函数的两个交点坐标分别为，
∴由函数图象可知，当或时，一次函数图象在反比例函数图象上方，
∴当时，或；
（3）解：如图所示，
设直线交y轴于点，
∵，，
∴，，，
∵是以点A为直角顶点的直角三角形，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
同理可得直线的解析式为，
联立，解得或，
∴点P的坐标为或．
【解析】【分析】（1）先运用待定系数法求一次函数解析式，再运用待定系数法求反比例函数即可求解；
（2）联立解析式即可得到一次函数与反比例函数的交点坐标，再根据一次函数的图象和反比例函数的图象即可求解；
（3）设直线交y轴于点，先根据A和B的坐标结合坐标系中两点间的距离即可得到，，，进而根据勾股定理即可求出m的值，进而得到点M的坐标，再运用待定系数法求一次函数解析式即可求解。
6．【答案】（1）解：如图，连接AO，
，的面积是，
，
∴|k|=8．
图象在第二象限，
，
反比例函数解析式为：；
（2）解：点，在的图象上，
，，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
轴交轴于点，
，
．
设直线上在第一象限的点，
，
，
，
．
【解析】【分析】（1）连接AO，由同高三角形的面积之比等于底之比可得S△AOC=4，进而根据反比例函数k的几何意义可得S△AOC=|k|，据此并结合反比例函数图象所在的象限可求出k的值，从而得到反比例函数的解析式；
（2）将A（-2，m）、B（n，2）分别代入（1）所求的反比例函数解析式可算出m、n的值，从而得到点A、B的坐标，进而利用待定系数法求出直线AB的解析式；根据点的坐标与图形性质求出点C的坐标，然后利用三角形面积计算公式算出△ABC的面积；根据直线上的点的坐标特点设P（m，m+6），再根据三角形面积计算公式及△PAC的面积等于△BAC面积的2倍建立方程可求出m的值，从而得到点P的坐标.
7．【答案】（1）解：点在比例函数上，
∴，
∴，
∴反比例函数解析式为，
∵点在反比例函数上，
∴，
∴，
∴，
∵点，点在一次函数的图象上，
∴，
解得：，
∴一次函数解析式为；
（2）解：如图，所示：
根据题意：设点，
∵点E是一次函数与y轴的交点，
∴点，
∴，
∵，，
∴，
，
∵，
∴，
∴或，
∴点C的坐标为或．
【解析】【分析】（1）将点A（2，4）代入 反比例函数 可求出m的值，从而求出反比例函数的解析式；将点B（4，2）代入所求的反比例函数的解析式可求出n的值，从而得出点B的坐标，进而将点A、B的坐标代入一次函数y=kx+b可得关于字母k、b的方程组，求解得出k、b的值，从而求出一次函数的解析式；
（2）设C（0，t），根据一次函数图象与y轴交点的坐标特点求出点E的坐标，进而表示出CE=|6-t|，然后根据S△ABC=S△BEC-S△AEC及三角形面积计算公式建立方程可求出t的值，从而可得点C的坐标.
8．【答案】（1）解：把代入一次函数，
得，
解得：，
一次函数的解析式为：，
把代入反比例函数，
得，
解得：，
反比例函数的解析式为：；
（2）解：联立，
解得：或，
，
令直线与交于点，如图，
，
当时，，
解得：，
，
（3）解：由图象可得：
，
当在的上方时，的取值范围为：或．
【解析】【分析】（1）将点A的坐标分别代入两函数解析式，分别求出m，k的值，即可求出两函数解析式.
（2）将两函数解析式联立方程组，解方程组求出其解，可得到点B的坐标；设直线AB交x轴于点C，利用一次函数解析式求出点C的坐标，再根据S△AOB=S△AOC-S△OBC，然后利用三角形的面积公式求出△AOB的面积.
（3）点M在点N的上方时，可知有两段，利用点A，B的横坐标，可得到t的取值范围，当t＜0时，点M也在点N的上方；综上所述可得到t的取值范围.
9．【答案】（1）解：正比例函数与反比例函数的图象交于、两点，
、关于原点对称，
的横坐标为，的纵坐标为，
，，
点在反比例函数的图象上，
，
，
反比例函数的表达式为；
（2）解：不等式的解集为或
（3）解：方法一：连接，作轴于点，
在直线上，
，解得，
直线的表达式为，
，
，
，
，
，
，
，
直线为．
方法二：
连接，作轴于，
在直线上，
，
直线的表达式为，
，
，
，
，
，
，
设直线的表达式为，
代入点的坐标得，
解得，
直线为．
【解析】【分析】（1）首先根据反比例函数图象的对称性得出A、B的坐标，然后把其一代入中，即可求得 反比例函数的表达式；
（2）观察图像直接写出解集即可；
（3）首先求得直线AB的表达式为：，因为AB∥CD，所以S△OBE=S△OBD，根据两三角形面积相等，可求得OE=10，所以E（0，10），利用待定系数法，即可求得直线CD的表达式。
10．【答案】（1）解：∵，轴，
∴，点的纵坐标为，
∵点在图象上，
∴当时，，解得：，
∴点坐标为，
∵反比例函数的图象过点，
∴，
∴反比例函数的表达式为：；
（2）
（3）解：如图，过作轴于点，
∵轴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，即：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由得：时，，解得：，
∴点，
∴，，
∴，
∴，
∴点．
【解析】【解答】（2）由（1）知：y1=-2x+2与在第二象限相较于点A（-1，4），∴在第二象限内，当y1＜y2时，-1＜x＜0.
【分析】（1）先根据点A在直线y1=-2x+2上，求得点A的坐标，再根据点A在上，求得k的值，从而得出反比例函数解析式；
（2）根据一次函数与反比例函数在第二象限内的交点坐标，结合函数图象，直接写出x的取值范围即可；
（3）因为点P在X轴上，所以纵坐标为0，要求点P的横坐标，只需求出PO的长度即可。如图，过A作AM⊥x轴于点M， 根据点D是直线y1=-2x+2与x轴的交点，可求得点D的坐标，从而得出OD的长度为1，又OM=OE=1，所以BM=2，根据两点间的距离公式可求得AD的长，然后根据， 可以得出PD的长度。PD-DO是PO的长度，根据点P所在的位置，确定横坐标的正负即可。