2024年中考数学专题复习 二次函数的最值（含答案）

2024年中考数学专题复习--二次函数的最值
1．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，2）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P从点O出发，乙每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点E也从点O出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，设点P的运动时间t秒（0＜t＜2）．
①过点E作x轴的平行线，与BC相交于点D（如图所示），当t为何值时， 的值最小，求出这个最小值并写出此时点E、P的坐标；
②在满足①的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点F，使△EFP为直角三角形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
2．设二次函数 （m是常数）．
（1）当 时，求该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；
（2）试判断二次函数图象与x轴的交点情况；
（3）设二次函数的图象与y轴交于点 ，当 时，求n的最大值．
3．如图，抛物线与x轴的交点为A和B，其中点，且点在该抛物线上.
（1）求该抛物线所对应的函数解析式；
（2）点P是线段上的动点（点P不与点A，B重合），过点P作轴交该抛物线于点Q，连接，，记点P的横坐标为t.若时，求面积的最大值.
4．已知抛物线（为常数，且）．
（1）当，时，直接写出顶点坐标　 　；当，时，直接写出顶点坐标　 　；
（2）抛物线的顶点坐标随的取值而改变，若，当抛物线的顶点在最低位置时：
①求与满足的关系式；
②抛物线上有两点，，当时，求的取值范围．
5．在平面直角坐标系 中，抛物线 的对称轴是直线 ．
（1）求抛物线 的顶点坐标；
（2）当 时，y的最大值是5，求a的值；
（3）在（2）的条件下，当 时，y的最大值是m，最小值是n，且 ，求t的值．
6．如图，x轴上依次有A，B，D，C四个点，且，从点A处向右上方沿抛物线发出一个带光的点
（1）求点A的横坐标，且在图中补画出y轴；
（2）通过计算说明点P是否会落在点C处，并补全抛物线；
（3）求抛物线的顶点坐标和对称轴；
（4）在x轴上从左到右有两点E，F，且，从点F向上作轴，且在沿x轴左右平移时，必须保证沿抛物线下落的点P能落在边(包括端点)上，直接写出点G横坐标的最大值与最小值．
7．某商店购进一批进价为20元/件的日用商品，第一个月，按进价提高50%的价格出售，售出400件；第二个月，商店准备在不低于原售价的基础上进行加价销售，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少．销售量y(件)与销售单价x(元)的关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）第二个月的销售单价定为多少元时，可获得最大利润？最大利润是多少？
8．一次函数y=x﹣3的图象与x轴、y轴分别交于点A、B．一个二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A、B．
（1）求点A、B的坐标；
（2）求二次函数的解析式及它的最小值．
9．如图1，对于平面上小于或等于的，我们给出如下定义：若点P在的内部或边上，作于点E，于点F，则将称为点P与的“点角距”，记作.如图2，在平面直角坐标系中，x、y正半轴所组成的角记为.
（1）已知点、点，则　 　，　 　.
（2）若点P为内部或边上的动点，且满足，在图2中画出点P运动所形成的图形.
（3）如图3与图4，在平面直角坐标系中，射线的函数关系式为.
①在图3中，点C的坐标为，试求的值；
②在图4中，抛物线经过，与射线交于点D，点Q是A，D两点之间的抛物线上的动点（点Q可与A，D两点重合），求c的值和当取最大值时点Q的坐标.
10．已知二次函数 的图象过点A（ 1，0），点B（3，0）和点C.
（1）若点C(0，3)，求二次函数表达式；
（2）若点C(m，n)，证明：当 时，总有am2+bm a+b .
11．如图，直线y＝2x﹣8分别交x轴、y轴于点A、点B，抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A，且顶点Q在直线AB上.
（1）求a，b的值.
（2）点P是第四象限内抛物线上的点，连结OP、AP、BP，设点P的横坐标为t，△OAP的面积为s1，△OBP的面积为s2，记s＝s1+s2，试求s的最值.
12．由于雾霾天气对人们健康的影响，市场上的空气净化器成了热销产品．某公司经销一种空气净化器，每台净化器的成本价为200元．经过一段时间的销售发现，每月的销售量y（台）与销售单价x（元）的关系为y=－2x+1000．
（1）该公司每月的利润为w元，写出利润w与销售单价x的函数关系式；
（2）若要使每月的利润为40000元，销售单价应定为多少元？
（3）公司要求销售单价不低于250元，也不高于400元，求该公司每月的最高利润和最低利润分别为多少？
13．小红根据学习函数的经验对函数y＝|x（x﹣8）|的图象与性质进行了探究.下面是小红的探究过程，请补充完整：
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应数值如表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 …
y … 20 9 0 7 12 15 m 15 12 7 0 9 20 …
其中m＝　 　；
（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以如表中各组对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
（3）观察函数图象，写出一条该函数的性质　 　；
（4）进一步探究函数图象发现：
①当x＝　 　时|x（x﹣8）|的值为0；
②有两个点（x1，y1）和（x2，y2）在此函数图象上，当x2＞x1＞8时，比较y1和y2的大小关系为：y1　 　y2（填“＞”、“＜”或“＝”）；
③若关于x的方程|x（x﹣8）|＝a有4个互不相等的解，则a的取值范围是　 　.
④当2≤x≤10时，y的取值范围是　 　.
14．综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接.若在第四象限的抛物线上取一点M，过点M作轴于点D，交直线于点E.
（1）求抛物线的表达式；
（2）试探究抛物线上是否存在点M，使有最大值？若存在，求出点M的坐标和的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）连接 ，试探究是否存在点M，使得以M，C，E为顶点的三角形和相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，直线与抛物线交于C、D两点，与坐标轴交于E、F两点. 点P是抛物线在第四象限内图象上的一个动点.过点P作PG⊥CD，垂足为G，PQ∥y轴，交x轴于点Q.
（1）求抛物线的解析式；
（2）当取得最大值时，求点P的坐标和的最大值；
（3）将抛物线向右平移个单位得到新抛物线，M为新抛物线对称轴上的一点，点N是平面内一点.当（2）中最大时，直接写出所有使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形的点N的坐标.
16．如图，抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知 .
（1）若 ，求抛物线解析式及顶点坐标；
（2）在（1）的条件下，抛物线对称轴是否存在一点Q，使得 ，若存在请求出Q点坐标，若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若（2）中存在点Q，取x轴上方的点为点Q，若不存在，取点C关于x轴的对称点为点Q，点D为抛物线顶点，过点D作y轴垂线 ，点P为 上任意一点，过点P作x轴垂线 ，点M为 上一点，始终有 ，设点P的横坐标为t，用含t的代数式表示点 的长， 的最小值是多少.
答案解析部分
1．【答案】（1）解：∵y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，2）．
∴ ，
解得：
∴抛物线的解析式为y= x2﹣ x+2．
（2）解：①由题意得：OP=2t，OE=t，
∵DE∥OB，
∴△CDE∽△CBO，
∴ ，即 ，
∴DE=4﹣2t，
∴ ，
∵0＜t＜2，1﹣（t﹣1）2始终为正数，且t=1时，1﹣（t﹣1）2有最大值1，
∴t=1时， 有最小值1，即t=1时， 有最小值1，此时OP=2，OE=1，
∴E（0，1），P（2，0）；
②存在，
∵抛物线y= x2﹣ x+2的对称轴方程为x=3，
设F（3，m），
∴EP2=5，PF2=（3﹣2）2+m2，EF2=（m﹣1）2+32，
当△EFP为直角三角形时，
（a）当∠EPF=90°时，
EP2+PF2=EF2，
即5+1+m2=（m﹣1）2+32，
解得：m=2，
（b）当∠EFP=90°时，
EF2+FP2=PE2，
即（m﹣1）2+32+（3﹣2）2+m2=5，
此方程无解，不合题意舍去，
∴当∠EFP=90°时，
这种情况不存在，
（c）当∠PEF=90°时，
EF2+PE2=PF2，
即（m﹣1）2+32+5=（3﹣2）2+m2，
解得：m=7，
∴F（3，2），（3，7）．
2．【答案】（1）解：当m＝3时，二次函数y＝x2﹣4x+17＝（x﹣2）2+13，
∴该二次函数图象的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，13）；
（2）解：令x2﹣（m+1）x+m2+2m+2＝0，
∴Δ＝（m+1）2﹣4（m2+2m+2）＝﹣3（m+1）2﹣4＜0，
∴该一元二次方程无解，
∴二次函数图象与x轴无交点；
（3）解：令x＝0，
∴n＝m2+2m+2＝（m+1）2+1，
∴对称轴为m=-1，
∵﹣2≤m≤2，抛物线开口向上，
∴当m＝2时，二次函数有最大值，即n的最大值为10．
3．【答案】（1）解：将和点代入得，
，
解得，
∴该抛物线的解析式为.
（2）解：由P的横坐标为t，则，，
因为直线过和点，所以直线的解析式为；
如图：设点C为直线与直线的交点，
当时，，
∴点C坐标为，
，
，
，
，
，
，
，
∵抛物线开口向下，
∴当时，面积最大为.
4．【答案】（1）（1，4）；（-1，0）
（2）解：①
，
当时，，
所以抛物线必经过定点；
∴当，抛物线的顶点在最低位置时，即是抛物线的顶点，
此时，
∴；
②当两点，在右侧时：
∵，
∴，
当，在左侧时，如图：
由图象知，当时，，
综上所述，时，．
5．【答案】（1）解：∵对称轴是直线 ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴顶点坐标为 ．
（2）解：若a<0，则抛物线的开口向下，从而y有最大值4
∵当 时，y的最大值是5，且抛物线的对称轴为直线x=1，
∴函数此时在 时取得最大值5，
这与y有最大值4矛盾，从而a>0．
∴抛物线的顶点为图象的最低点．
∵1-（-2）>3-1
∴当 时， ．
代入解析式，得
．
（3）解：①当 时，此时0≤t≤1，
∴ ，函数的最大值在t+1或t处取得，即 或
∴m的最大值为 ．
此时 ．
不符合题意，舍去．
②当 ，即 时，
．
∵ ，
∴ ．
③当 时，
同理可得 ．
综上所述， 或 ．
6．【答案】（1）解：图形如图所示，
抛物线，
令，则，
解得或，
，
点A的横坐标为；
（2）解：由可知抛物线与x轴的另一个交点为，
，，
，
点P不会落在点C处，
补全抛物线如图所示；
（3）解：，
抛物线的顶点为，对称轴为直线；
（4）点横坐标的最大值为8，最小值为
7．【答案】（1）解：设y与x之间的函数表达式为y＝kx＋b，将点(30，400)、(35，300)代入y＝kx＋b中得 ，解得 ，
∴y与x之间的函数表达式为y＝－20x＋1000
（2）解：设第二个月的利润为w元，由已知得w＝(x－20)y＝(x－20)(－20x＋1000)＝－20x2＋1400x－20000＝－20(x－35)2＋4500，
∵－20＜0，∴当x＝35时，w取最大值，最大值为4500.故第二个月的销售单价定为35元时，可获得最大利润，最大利润是4500元
8．【答案】（1）解：令y=0，得x=3，
∴点A的坐标是（3，0），
令x=0，得y=﹣3，
∴点B的坐标是（0，﹣3）
（2）解：∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A，B，
∴ ，解得： ，
∴二次函数y=x2+bx+c的解析式是y=x2﹣2x﹣3，
∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
∴函数y=x2﹣2x﹣3的最小值为﹣4
9．【答案】（1）4；4
（2）解：设点P的坐标是，
，
，
∴点P运动所形成的图形是线段，如图2所示：
（3）解：①如图3，过点C作于点E，轴于点F，延长交于点H，则，
∵直线对应的函数关系式为，
∴点H的坐标为，
，，
，
，
又，
，
在和中，，，
，
，
，
，
；
②如图4，过点Q作于点G，作轴于点H，交于点K，
把代入，得
，
解得.
令，
解得，，
故点D的横坐标为3，
设点Q的坐标为，其中，
则，
∴点K的坐标为，，
，.
，
，
，
，
，，
∴当时，取得最大值为，
此时，点Q的坐标为.
10．【答案】（1）解：设y=a（x+1）（x-3），代入点C (0，3)
解得a=-1
∴y=-（x+1）（x-3）
（2）解：方法一：∵图像过A（-1，0），点B（3，0），∴对称轴为直线x=1
a>0，当x=1时，图像有最小值，此时最小值为y=a+b+c
∴当x=m时，存在am2+bm+c≥a+b+c.
∴am2+bm≥a+b
方法二：∵图像过A（-1，0），点B（3，0），∴ ，则b=-2a.
am2+bm- a-b= am2-2am-a+2a= am2-2am+a=a（m2-2m+1）=a(m-1)2≥0
∴am2+bm≥a+b.
11．【答案】（1）解：∵直线y＝2x﹣8分别交x轴、y轴于点A、点B，
∴点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，﹣8）.
∵抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A，点O，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2.
当x＝2时，y＝2x﹣8＝﹣4，
∴抛物线顶点Q的坐标为（2，﹣4）.
将A（4，0），Q（2，﹣4）代入y＝ax2+bx，得：
，解得： .
（2）解：由（1）得：抛物线解析式为y＝x2﹣4x，
∵点P的横坐标为t，
∴点P的坐标为（t，t2﹣4t），
∴s1＝ ×4×（4t﹣t2）＝8t﹣2t2，s2＝ ×8×t＝4t，
∴s＝s1+s2＝﹣2t2+12t＝﹣2（t﹣3）2+18.
∵﹣2＜0，且0＜t＜4，
∴当t＝3时，s取得最大值，最大值为18.
12．【答案】（1）解：由题意得：w=（x-200）y=（x-200）（-2x+1000）=-2x2+1400x-200000
（2）解：令w=-2x2+1400x-200000=40000，
解得：x=300或x=400，
故要使每月的利润为40000元，销售单价应定为300或400元
（3）解：y=-2x2+1400x-200000=-2（x-350）2+45000，
当x=250时y=-2×2502+1400×250-200000=25000；
故最高利润为45000元，最低利润为25000元
13．【答案】（1）16
（2）解：利用一条平滑曲线连接各点作图，如图所示：
（3）当 或 时，y随x的增大而减小；当 或 时，y随x的增大而增大
（4）0或8；＜；；0≤y≤20
14．【答案】（1）解：把点，，代入中
得：，
解得：
则抛物线的表达式为则抛物线的表达式为：；
（2）解：存在，理由如下：
由抛物线解析式可知：点
设的表达式为：，
将点B的坐标代入上式得：，
解得：，
则直线的表达式为：，
设点，则点，
则，
∵，故有最大值，
当时，的最大值为3，此时，点；
（3）解：存在，理由如下：
为顶点的三角形和相似，
①当为直角时，
则点C、M关于抛物线对称轴对称，
而抛物线的对称轴为，
则点；
②当时，如图：
由（1）得，设直线的解析式为：
，
把代入得，
设直线的解析式为：，
易知：
故直线的表达式为：，
联立抛物线表达式和上式得：，
解得：（舍去）或，
即点；
综上，点M的坐标为：或
15．【答案】（1）解：∵抛物线经过点和点
∴ 解得
∴抛物线的解析式为
（2）解：如图，延长PQ直线CD于点H
∵ 直线坐标轴交于E、F两点
∴，
∴△EOF是等腰直角三角形
∵PG⊥CD，PQ∥y轴
∴△PGH是等腰直角三角形
∴
设，则
∴
∴当时，有最大值，最大值为，此时点P的坐标为
（3）解：平移后抛物线的解析式为：
设，，
∴，，
当时，解得，由中点坐标公式得
当时，无解
当时，解得，由中点坐标公式得或
综上所述满足条件的点N的坐标为或或.
16．【答案】（1）解：设 ，则 ， ，
， ， ，
则抛物线解析式可表示为 ，
由点C在抛物线上，有： ，
，
解得 ；
由 ，则所设的 ，
抛物线解析式为为 ，
顶点D坐标为 ， .
（2）解：抛物线对称轴存在一点Q，使得 ，
由（1）可得： ， ， ，
， ，
，
，
，
，
如图1，以 为直径作圆必经过点C，
为以 为直径的圆的一个圆周角，
故点Q为该圆与直线 的交点，
圆心F的坐标为 ， ，半径为 ，
点Q坐标为 ， 或 ， .
（3）解：如图2，
设点M坐标为 ，过点M作 直线 于点E，
则 ， ， ，
在 中， ，
，
，
化简得： ，
，
当 时， 有最小值为 .