2024年人教版中考数学一轮复习专题模拟练习：代数式（含答案）

一轮复习 数与代数
专题二 代数式
时间：100分钟 分值：120分
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 下列计算正确的是 （ ）
A.3x2y+5xy=8x3y2 B.(x+y)2=x2+y2
C.(-2x)2÷x=4x D. + =1
2. 单项式9xmy3与单项式4x2yn是同类项，则m+n的值是 （ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
3. 若分式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 （ ）
A.x>-2 B.x<-2 C.x=-2 D.x≠-2
4. 下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是 （ ）
A.a(m+n)=am+an
B.a2-b2-c2=(a-b)(a+b)-c2
C.10x2-5x=5x(2x-1)
D.x2-16+6x=(x+4)(x-4)+6x
5. 下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是 （ ）
A.a2+b2 B.2a-b2 C.a2-b2 D.-a2-b2
6. 试卷上一个正确的式子( + ) ÷ ☆= 被小颖同学不小心滴上墨汁，被墨汁遮住部分的代数式为 （ ）
A. B. C. D.
7. 若a+b=3，a-b=1，则a2-b2= （ ）
A.1 B.-1 C.3 D.-3
8. 按一定规律排列的单项式：x，3x2，5x3，7x4，9x5，…，第n个单项式是 （ ）
A.(2n-1)xn B.(2n+1)xn C.(n-1)xn D.(n+1)xn
9. 若单项式-3x2y2m+n与2xm+ny4是同类项，则m2+2mn的算术平方根为 （ ）
A.0 B.2 C.-2 D.±2
10. 如图1所示是一个边长为（m+n）的正方形，小樱将图1中的阴影部分拼成图2所示的形状，由图1和图2能验证的式子是 图1 图2 （ ）
A.(m+n)2-(m-n)2=4mn B.(m+n)2-(m2+n2)=2mn
C.(m-n)2+2mn=m2+n2 D.(m+n)(m-n)=m2-n2
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 一个两位数，十位数上的数字为a，个位上的数字比十位上的数字少2，则这个两位数是________.
12. 如图所示，从边长为（a+3）的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪成一个如图所示的长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形另一边长是_______.
13. 对于两个非零实数x、y，定义一种新的运算：x※y= + . 若1※（-1）=2，则（-2）※2的值是_______.
14. a是不为1的有理数，我们把成为a的差倒数，如2的差倒数为 = -1，-1的差倒数为 = ，已知a1=5，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，依次类推，a2022的值是_______.
15. 观察下列等式： 2+22=23-2； 2+22+23=24-2； 2+22+23+24=25-2； 2+22+23+24+25=26-2； … 已知按一定规律排列的一组数：220，221，222，223，224，…，238，239，240，若220=m，则220+221+222+223+224+…+238+239+240=________________.（结果用含m的代数式表示）.
三、解答题（共8个小题，共75分）
16. （12分）计算：
17. （9分）因式分解：
18. （8分）化简求值： （1）先化简，再求值：(2x+y)2+(x-y)(x+y)-5x(x-y)，其中x=√2+1，y=√2-1；
19. （8分）观察下面的等式： 按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）； 请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的.
20. （9分）阅读理解题： 定义：如果一个数的平方等于-1，即为i2=-1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a、b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似. 例如计算：(2-i)+(5+3i)=(2+5)+(-1+3)i=7+2i； (1+i)×(2-i)=1×2-i+2×i-i2=2+(-1+2)i+1=3+i. 根据以上信息，完成下列问题： 填空：i3=________，i4=_________； 计算：(1+i)×(3-4i)； 计算：i+i2+i3+…+i2022.
21. （9分）发现 任意五个连续整数的平方和是5的倍数. 验证（1）（-1）2+02+12+22+32的结果是5的几倍？ （2）设五个连续整数的中间一个为n，写出它们的平方和，并说明是5的倍数. 延伸 任意三个连续整数的平方和被3除的余数是几呢？请写出理由.
22. （10分）对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n为“极数”. 请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由； 如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数，若四位数m为“极数”，记D(m) = .求满足D(m)是完全平方数的所有m.
23. （10分）我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p、q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p、q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定：F(n)=p/q.例如12可以分解成1×12、2×6或3×4，因为12-1>6-2>4-3，所以3×4是12的最佳分解，所以F(12)=3/4. 如果一个正整数a是另外一个正整数b的平方，我们称正整数a是完全平方数.求证：对任意一个完全平方数m，总有F(m)=1； 如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x、y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”中F(t)的最大值.
答案解析
一、选择题
C
D
D
C
C
A
C
A
B
B
二、填空题
11a-2
a+6
-1
4/5
m(2m-1)
三、解答题
16.（1）原式=x+3 （2）原式=3 （3）原式= （4）原式=a+2
17.（1）原式=2x(x-2y)2 （2）原式=(y-2)(xy+2) （3）原式=(3x+y+2)(3x-y-2)
18.（1）原式=9xy 代入x、y后，值为9
（2）原式= 由题意得，x-2≥0，2-x≥0，即x-2=0，解得x=2，y=1
所以原式=2
19.（1） = +
20. （1）-i 1 （2）7-i （3）i-1
21.（1）3
（2）(n-2)2+(n-1)2+n2+(n+1)2+(n+2)2=5n2+10=5(n2+2)
因为n是整数，所以五个连续整数的平方和是5的倍数
延伸 余数是2
理由：设中间的整数为n，则有(n-1)2+n2+(n+1)2=3n2+2，被3除余2
22.（1）4 158，6 237，9 900（答案不唯一）
任意一个“极数”是99的倍数.理由：设任意一个“极数”n的千位数字为x，百位数字为y（其中1≤x≤9，0≤y≤9，且x、y为整数），则十位数字为9-x，个位上的数字为9-y.这个数可以表示为n=1 000x+100y+10(9-x)+9-y.
化简，得n=990x+99y+99=99（10x+y+1）
因为1≤x≤9，0≤y≤9，且x、y为整数，所以10x+y+1为整数，所以任意一个“极数”n都是99的倍数.
（2）m可以表示为m=990x+99y+99
D(m)=m/33=3(10x+y+1)
∵1≤x≤9，0≤y≤9，∴11≤10x+y+1≤100
∴33≤3(10x+y+1)≤300
∵D(m)为完全平方数且D(m)是3的倍数，
∴D(m)=36或81或144或225.
当D(m)=36时，得10x+y=11，解得x=1，y=1，此时m=1 188.
当D(m)=81时，得10x+y=26，解得x=2，y=6，此时m=2 673.
当D(m)=144时，得10x+y=47，解得x=4，y=7，此时m=4 752.
当D(m)=225时，得10x+y=74，解得x=7，y=4，此时m=7 425.
综上，满足条件的m为1 188，2 673，4 752，7 425.
23.（1）证明：设m=n2=n×n，其中m和n均为正整数，n-n=0，所以F(m)=n/n=1
（2）解：由题意得，10y+x-(10x+y)=18，即y=x+2.
所以t可能的值为13，24，35，46，57，68，79.
当t=13时，F(t)=1/13；当t=24时，F(t)=2/3；当t=35时，F(t)=5/7；当t=46时，F(t)=2/23；当t=57时，F(t)=3/19；当t=68时，F(t)=4/17；当t=79时，F(t)=1/79.
所以F(t)的最大值为5/7.