2024年中考数学高频考点突破——圆的切线的证明（含解析）

2024年中考数学高频考点突破——圆的切线的证明
1．如图，已知为的直径，点为外一点，，连接，是的垂直平分线，交于点，垂足为点，连接、，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的值．
2．如图，内接于，是的直径，作，与的延长线交于点，，交的延长线于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
3．如图，点E在以为直径的圆O上，点C是的中点，过点C作垂直，交的延长线于点D，连接交于点F．

(1)求证：是圆O的切线．
(2)若，，求的长．
4．如图，是的直径，为上一点，平分交于点．过点作交的延长线于点．
(1)求证：是的切线．
(2)若，，求的长．
5．如图，中，，点D在边上，以为直径画与交于点E．
(1)求证是的切线；
(2)若，求的长度．
6．如图，在中，是它的角平分线，，D在边上， ，以为直径的圆O经过点E．
(1)求证：是的切线；
(2)求图中阴影部分的面积;
7．如图，在中，，是边上一点，以为圆心，为半径的圆与相交于点，连接，且．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
8．如图，在ABC中，点O是BC中点，以O为圆心，BC为直径作圆，刚好经过A点，延长BC于点D，连接AD．已知∠CAD＝∠B．
(1)求证：AD是⊙O的切线；
(2)若BD=8，tanB=，求⊙O的半径．
9．如图，是的外接圆，为的直径，点为上一点，交的延长线于点，与交于点，连接，若．
(1)求证：是的切线．
(2)若，，求的半径．
10．如图，在半径为10cm的⊙O中，AB是⊙O的直径，CD是过⊙O上一点C的直线，且AD⊥DC于点D，AC平分∠BAD，点E是BC的中点，OE＝6cm．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)求AD的长．
11．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，点D为边AB的中点，点O在边BC上，以点O为圆心的圆过顶点C，与边AB交于点D．
(1)求证：直线AB是⊙O的切线；
(2)若，求图中阴影部分的面积．
12．如图，AB为⊙O的直径，弦于，连接，过作，交⊙O于点，连接DF，过作，交DF的延长线于点．
（1）求证：BG是⊙O的切线；
（2）若，DF=4，求FG的长．
13．如图，AC是⊙O的直径，OD与⊙O相交于点B，∠DAB＝∠ACB．
（1）求证：AD是⊙O的切线．
（2）若∠ADB＝30°，DB＝2，求直径AC的长度．
14．如图①，是的弦，，垂足为P，交于点E，且，．
（Ⅰ）求的半径；
（Ⅱ）如图②，过点E作的切线，连接并延长与该切线交于点D，延长交于C，求的长．
15．如图，以为直径作半圆O，C是半圆上一点，的平分线交于点E，D为延长线上一点，且．
（1）求证：为的切线；
（2）若，求的长．
16．如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OF⊥AD于点E，交CD于点F．
（1）求证：∠ADC=∠AOF；
（2）若sinC=，BD=8，求EF的长．
17．如图，AB、CD是⊙O中两条互相垂直的弦，垂足为点E，且AE＝CE，点F是BC的中点，延长FE交AD于点G，已知AE＝1，BE＝3，OE＝．

（1）求证：△AED≌△CEB；
（2）求证：FG⊥AD；
（3）若一条直线l到圆心O的距离d＝，试判断直线l是否是圆O的切线，并说明理由．
18．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，过点O作OD∥BC，交AC于点D．

（1）求∠ADO的度数；
（2）延长DO交⊙O于点E，过E作⊙O的切线，交CB延长线于点F，连接DF交OB于点G．
①试判断四边形CDEF的形状，并说明理由；
②若BG＝2，AD＝3，求四边形CDEF的面积．
参考答案：
1．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由等腰三角形的性质可得由线段垂直平分线的性质可得由可得证明 ，从而可得结论；
（2）连接，由线段垂直平分线的性质可得再由勾股定理求出相关线段长即可．
【详解】（1）证明∵O为圆心，
∴，
∵，
∴即∠，
∵是的垂直平分线，
∴
∴∠
∵∠
∴∠
∴
∴∠，即
又AB是圆O的直径，
∴是的切线；
（2）解：连接，如图，
由（1）知，
∵∠
∴
∴
在中，，
∴，
在中，
，
∴，
∴
∴．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，切线的判定，勾股定理以及求锐角余弦值，熟练运用相关知识解答本题的关键．
2．(1)见解析
(2)6
【分析】(1) 如图，连接，则，，因为，所以 ，于是可证，所以是的切线；
（2）由（1）结论及已知易证，所以，再求证，所以，进而解得．
【详解】（1）证明：如图，连接，
是的直径，
，
∴
，
，
∵
∴ ，
∴，即，
是的半径，
是的切线．
（2）∵
，
，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
，．
【点睛】本题主要考查切线的判定定理、平行线的判定、相似三角形的判定及性质；根据题意作出过切点的半径是（1）问的关键；结合题意及审图发现相似三角形是（2）的关键．
3．(1)见解析
(2)16
【分析】（1）连接，根据垂径定理的推论可知，根据直径所对的圆周角为90度可知，进而得出，根据可得；
（2）连接，根据直径所对的圆周角为90度可知，根据圆周角定理可证，进而可得，在中，设，，则，再根据求出k值即可．
【详解】（1）证明：连接，如图所示，

点C是的中点，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
是圆O的切线．
（2）解：连接，如图所示，

是的直径，
，
点C是的中点，
，，
，
，
，
在中，设，，
则，
，
，
．
【点睛】本题考查锐角三角函数，垂径定理，圆周角定理，切线的判定，勾股定理等，解题的关键是掌握直径所对的圆周角为90度，同弧或等弧所对的圆周角相等．
4．(1)见详解
(2)5
【分析】（1）根据角平分线的定义和平行线的判定和性质以及切线的判定定理即可得到结论；
（2）连接，交与点，首先借助圆周角定理证明四边形为矩形，由矩形性质可得，，利用垂径定理即可推导；然后在中，由勾股定理计算的长即可．
【详解】（1）证明：连接，如下图，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵为半径，
∴是的切线；
（2）解：连接，交与点，如下图，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，，即，
∵为半径，
∴，
∴在中，由勾股定理可得．
【点睛】本题主要考查了切线的判定、圆周角定理、垂径定理、矩形的判定与性质、平行线的判定与性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线，灵活运用相关知识是解题关键．
5．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据得出，，得出，可得，由是直径，可得，则，又，得出，等量代换可得，即可得证；
（2）在中，勾股定理求得，证明，根据相似三角形的性质求得的长，即可求解．
【详解】（1）解：如图，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即，
∵是直径，
∴，
即，
又，
∴，
∴，
∴，
即，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）∵，
∴，
在中，，
∵是的切线，
∴，
∴，
又，
∴，
∴ ，
即，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，切线的判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
6．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）直接利用角平分线的性质结合等腰三角形的性质得出，进而得出，即可得出答案；
（2）首先求出的长，进而利用阴影部分的面积等于 ，进而得出答案；
【详解】（1）证明：连接；
∵平分
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴是的切线；
（2）解：∵
∴
∵
∴
∴
∴
故图中阴影部分的面积为：
【点睛】此题主要考查了切线的判定与性质以及扇形面积求法，正确得出BE的长是解题关键．
7．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接OD．由等腰三角形的性质及圆的性质可得∠A＝∠ADC，∠B＝∠BDO．再根据余角性质及三角形的内角和定理可得∠ODC＝180°﹣（∠ADC+∠BDO）＝90°．最后由切线的判定定理可得结论；
（2）根据等边三角形的判定与性质可得∠DCO＝∠ACB﹣∠ACD＝30°．再由解直角三角形及三角形内角和定理可得∠BOD的度数，最后根据弧长公式可得答案．
【详解】（1）证明：连接OD．

∵AC＝CD，
∴∠A＝∠ADC．
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠BDO．
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°．
∴∠ADC+∠BDO＝90°．
∴∠ODC＝180°﹣（∠ADC+∠BDO）＝90°．
又∵OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：∵AC＝CD，∠A＝60°，
∴△ACD是等边三角形．
∴∠ACD＝60°．
∴∠DCO＝∠ACB﹣∠ACD＝30°．
在Rt△OCD中，OD＝CDtan∠DCOtan30°＝2．
∵∠B＝90°﹣∠A＝30°，OB＝OD，
∴∠ODB＝∠B＝30°．
∴∠BOD＝180°﹣（∠B+∠BDO）＝120°．
∴的长．
【点睛】此题考查的是切线的判定与性质、直角三角形的性质、弧长公式，正确作出辅助线是解决此题的关键．
8．(1)见解析
(2)⊙O的半径为3．
【分析】（1）连接AO，由等腰三角形的性质及圆周角定理得出∠DAO=∠CAD+∠CAO=90°，则可得出结论；
（2）根据相似三角形的判定方法△ACD∽△BAD，由相似三角形的性质推出，求出DC=2，则可得出答案．
【详解】（1）证明：连接AO，
∵BC是直径，
∴∠BAC=90°，
∴∠B+∠ACO=90°，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠OAC，
∵∠CAD=∠B．
∴∠DAO=∠CAD+∠CAO=90°，
∴OA⊥AD，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：∵∠CAD=∠B，∠ADC=∠BDA，
∴△ACD∽△BAD，
∴，
∵tanB=，
∴，
∴，
∵BD=8，
∴，
∴AD=4，
∴CD=AD=×4=2，
∴BC=BD-CD=8-2=6，
∴⊙O的半径为3．
【点睛】此题考查了切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及圆周角定理．解决问题的关键：（1）熟练掌握切线的判定方法；（2）正确证得△ACD∽△BAD．
9．(1)过程见解析
(2)3
【分析】（1）连接OE，先根据圆周角定理及已知条件得出∠ABC=∠BOE，进而得出，再由，根据平行线的性质得出∠FEO=∠ACB，然后根据直径所对的是直角，即可得出答案；
（2）先说明，再设的半径为r，并表示，，，然后根据对应边成比例得出，根据比例式求出半径即可．
【详解】（1）证明：连接OE．
∵，，
∴∠ABC=∠BOE，
∴，
∴∠OED=∠BCD．
∵，
∴∠FEC=∠ACE，
∴∠OED+∠FEC=∠BCD+∠ACE，
即∠FEO=∠ACB．
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠FEO=90°，
∴．
∵EO是的半径，
∴EF是的切线．
（2）∵，
∴．
∵BF=2，．
设的半径为r，
∴，，．
∵，
∴，
解得，
∴的半径是3．
【点睛】本题主要考查了切线的性质和判定，解直角三角形，熟练掌握相关定理是解题的关键．
10．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接OC，由AC平分∠BAD，OA＝OC，可得∠DAC＝∠OCA，ADOC，根据AD⊥DC，即可证明CD是⊙O的切线；
（2）由OE是△ABC的中位线，得AC＝12，再证明△DAC∽△CAB，，即，从而得到AD．
【详解】（1）证明：连接OC，如图：
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠CAO，
∵OA＝OC，
∴∠CAO＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴ADOC，
∵AD⊥DC，
∴CO⊥DC，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵E是BC的中点，且OA＝OB，
∴OE是△ABC的中位线，AC＝2OE，
∵OE＝6，
∴AC＝12，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°＝∠ADC，
又∠DAC＝∠CAB，
∴△DAC∽△CAB，
∴，即，
∴AD．
【点睛】本题考查圆的切线的判定定理，相似三角形的判定及性质等知识，解题的关键是熟练应用圆的相关性质，转化圆中的角和线段．
11．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接OD，CD，根据含30度角的直角三角形的性质得出AC=AB，求出∠A=90°-∠B=60°，根据直角三角形的性质得出BD=AD=AB，求出AD=AC，根据等边三角形的判定得出△ADC是等边三角形，根据等边三角形的性质得出∠ADC=∠ACD=60°，求出∠ODC=∠DCO=30°，求出OD⊥AB，再根据切线的判定得出即可；
（2）求出BD=AC=，BO=2DO，根据勾股定理得出BO2=OD2+BD2，求出OD，再分别求出△BDO和扇形DOE的面积即可．
【详解】（1）证明：连接OD，CD，
∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴AC=AB，∠A=90°-∠B=60°，
∵D为AB的中点，
∴BD=AD=AB，
∴AD=AC，
∴△ADC是等边三角形，
∴∠ADC=∠ACD=60°，
∵∠ACB=90°，
∴∠DCO=90°-60°=30°，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠DCO=30°，
∴∠ADO=∠ADC+∠ODC=60°+30°=90°，
即OD⊥AB，
∵OD过圆心O，
∴直线AB是⊙O的切线；
（2）解：由（1）可知：AC=AD=BD=AB，
又∵AC=，
∴BD=AC=，
∵∠B=30°，∠BDO=∠ADO=90°，
∴∠BOD=60°，BO=2DO，
由勾股定理得：BO2=OD2+BD2，
即（2OD）2=OD2+（）2，
解得：OD=1（负数舍去），
所以阴影部分的面积S=S△BDO-S扇形DOE=．
【点睛】本题考查了切线的判定，直角三角形的性质，圆周角定理，扇形的面积计算等知识点，能熟记直角三角形的性质、切线的判定和扇形的面积公式是解此题的关键．
12．（1）见解析；（2）
【分析】（1）由题意根据切线的判定证明半径OB⊥BG即可BG是⊙O的切线；
（2）根据题意连接CF，根据圆周角定理和中位线性质得出，进而依据等边三角形和四边形BEDG是矩形进行分析即可得出FG的长．
【详解】解：（1）证明：∵ C，A，D，F在⊙O上，∠CAF=90°，
∴ ∠D=∠CAF=90°．
∵ AB⊥CE，BG⊥DF，
∴ ∠BED=∠G=90°．
∴ 四边形BEDG中，∠ABG=90°．
∴ 半径OB⊥BG．
∴ BG是⊙O的切线．　　　　　　　　　　　
（2）连接CF，
∵ ∠CAF=90°，
∴ CF是⊙O的直径．
∴ OC=OF．
∵ 直径AB⊥CD于E，
∴ CE=DE．
∴ OE是△CDF的中位线．
∴ ．
∵ ，∠AFD=30°，
∴ ∠ACD=∠AFD=30°．
∴ ．
∵ OA=OC，
∴ △AOC是等边三角形．
∵ CE⊥AB，
∴ E为AO中点，
∴ OA=2OE=4，OB=4．
∴ ．
∵ ∠BED=∠D=∠G=90°，
∴ 四边形BEDG是矩形．
∴ DG=BE=6．
∴ ．
【点睛】本题考查圆的综合问题，熟练掌握切线的判定和圆周角定理和中位线性质以及等边三角形和矩形性质是解题的关键.
13．（1）见解析；（2）AC＝4．
【分析】（1）根据和证明 ，再根据经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线来判定；
（2）根据（1）中的结论和∠ADB＝30°来说明在中，直角边OA等于斜边 OD的一半，又因为OA=OB，所以OA=OB=DB=2，所以 AC=2OA=4．
【详解】（1）证明：∵AC是⊙O的直径，
∴，
∴，
又∵，
∴，即，
∵OA是⊙O的半径，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：由（1）可知，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】 这道题考查的是切线的判定和30°所对直角边是斜边一半的概念．对圆相关概念、性质，以及特殊直角三角形性质熟练掌握是解题的关键．
14．（Ⅰ）8；（Ⅱ）
【分析】（Ⅰ）已知，由垂径定理可得．设，则，，在中，由勾股定理可得，解方程求得x的值，即可求得半径的值．
（Ⅱ）由切线的性质可得．再由，可得，根据平行线分线段成比例定理可得，由此即可求得．
【详解】（Ⅰ）∵，
∴．
设，则，，
在中，，
即，
解得，（负舍）
∴，
∴半径为8．
（Ⅱ）∵为的切线，
∴．
又∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∴．
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理及平行线分线段成比例定理，熟练运用相关定理是解决问题的关键．
15．（1）见解析；（2）．
【分析】（1）根据圆周角定理得到∠C=∠AEB=90°，求得∠D=∠AFD，根据角平分线的定义得到∠ABD=∠CBF，求得∠DAB=90°，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）根据圆周角定理得到∠CBF=∠CAE=∠EBA，解直角三角形即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴为的切线；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，三角函数的定义，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的识别图形是解题的关键．
16．（1）见解析；（2）2．
【分析】（1）连接OD，根据CD是⊙O的切线，可推出∠ADC+∠ODA=90°，根据OF⊥AD，∠AOF+∠DAO=90°，根据OD=OA，可得∠ODA=∠DAO，即可证明；
（2）设半径为r，根据在Rt△OCD中，，可得，AC=2r，由AB为⊙O的直径，得出∠ADB=90°，再根据推出OF⊥AD，OF∥BD，然后由平行线分线段成比例定理可得，求出OE，，求出OF，即可求出EF．
【详解】（1）证明：连接OD，
∵CD是⊙O的切线，
∴OD⊥CD，
∴∠ADC+∠ODA=90°，
∵OF⊥AD，
∴∠AOF+∠DAO=90°，
∵OD=OA，
∴∠ODA=∠DAO，
∴∠ADC=∠AOF；
（2）设半径为r，
在Rt△OCD中，，
∴，
∴，
∵OA=r，
∴AC=OC-OA=2r，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
又∵OF⊥AD，
∴OF∥BD，
∴，
∴OE=4，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，锐角三角函数，切线的性质，直径所对的圆周角是90°，灵活运用知识点是解题关键．
17．（1）见解析；（2）见解析；（3）直线l是圆O的切线，理由见解析
【分析】（1）由圆周角定理得∠A＝∠C，由ASA得出△AED≌△CEB；
（2）由直角三角形斜边上的中线性质得EF＝BC＝BF，由等腰三角形的性质得∠FEB＝∠B，由圆周角定理和对顶角相等证出∠A＋∠AEG＝90°，进而得出结论；
（3）作OH⊥AB于H，连接OB，由垂径定理得出AH＝BH＝AB＝2，则EH＝AH AE＝1，由勾股定理求出OH＝1，OB＝，由一条直线l到圆心O的距离d＝等于⊙O的半径，即可得出结论．
【详解】（1）证明：由圆周角定理得：∠A＝∠C，
在△AED和△CEB中，
，
∴△AED≌△CEB（ASA）；
（2）证明：∵AB⊥CD，
∴∠AED＝∠CEB＝90°，
∴∠C+∠B＝90°，
∵点F是BC的中点，
∴EF＝BC＝BF，
∴∠FEB＝∠B，
∵∠A＝∠C，∠AEG＝∠FEB＝∠B，
∴∠A+∠AEG＝∠C+∠B＝90°，
∴∠AGE＝90°，∴FG⊥AD；
（3）解：直线l是圆O的切线，理由如下：作OH⊥AB于H，连接OB，如图所示：

∵AE＝1，BE＝3，
∴AB＝AE+BE＝4，
∵OH⊥AB，
∴AH＝BH＝AB＝2，
∴EH＝AH﹣AE＝1，
∴OH＝＝＝1，
∴OB＝＝＝，即⊙O的半径为，
∵一条直线l到圆心O的距离d＝＝⊙O的半径，
∴直线l是圆O的切线．
【点睛】本题是圆的综合题目，考查了圆周角定理、垂径定理、切线的判定、全等三角形的判定、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．
18．（1）90°；（2）①四边形CDEF为矩形，理由见解析；②
【分析】（1）由圆周角和平行线的性质求出结论．
（2）根据矩形的判定定理得出结论．
（3）根据全等三角形和勾股定理得到方程，联立方程组求出OA的长度，即可求出矩形的面积．
【详解】（1） ∵AB为直径，
∴∠C=90°．
∵OD∥BC，
∴∠ADO＝∠C=90°．
（2） ①四边形CDEF为矩形，理由如下：
∵∠C=90°，OD∥BC，
∴∠ODC=180°－90°=90°．
∵EF与⊙O相切于点E，
∴∠OEF=90°．
∵∠C=∠ODC=∠OEF=90° ，
∴四边形CDEF为矩形．
②如图，连接AE，OC，
∵OA＝OC，OD⊥AC，
∴AD＝DC＝3．
由①知四边形CDEF为矩形，
∴DE＝CF．
又∵∠ADE=∠DCF=90°，
∴△ADE≌△DCF（SAS）．
∴∠OEA=∠CFD．
∵DE∥CF，
∴∠CFD＝∠ODG．
∴∠ODG=∠OEA ．
∴DG∥AE，
∴∠OGD=∠OAE．
又由OA＝OE知∠OAE=∠OEA，
∴∠ODG=∠OGD，
∴OD＝OG．
设OA＝x，则OB＝OE=x．
∵BG＝2，
∴OG＝x﹣2
∴OD＝OG＝x﹣2．
又∵AD＝3，
∴在Rt△ADO中，32＋（x﹣2）2＝x2 ，解得x＝，
∴OE＝x＝，OD＝x﹣2＝，
∴DE＝OD+OE＝．
∴矩形CDEF的面积为：DC·DE＝3×＝．

【点睛】本题考查了切线的性质，矩形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，找准全等三角形是解题的关键．