2024年九年级中考数学二次函数压轴题专题---平行四边形存在性（巩固篇）（含答案）

2024年九年级中考数学二次函数压轴题专题---
平行四边形存在性（巩固篇）
1．如图，抛物线经过点，，点是直线上的动点，过点作轴的垂线交抛物线于点．设点的横坐标为．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若点在第一象限，连接，当线段最长时，求的面积；
(3)是否存在这样的点，使以点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，已知抛物线：与轴交于点，点（在的左侧），与轴交于点，抛物线与关于轴对称．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线与轴交于点，点是抛物线的一个动点，作轴的垂线交所在的直线于点，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，求点的坐标．
3．如图，在平面直角坐标系中，绕原点O逆时针旋转得到，其中，．
(1)若二次函数经过A、B、C三点，求该二次函数的解析式；
(2)在（1）条件下，在二次函数的对称轴上是否存在一点P，使得最小？若P点存在，求出P点坐标；若P点不存在，请说明理由．
(3)在（1）条件下，若E为x轴上一个动点，F为抛物线上的一个动点，使得B、C、E、F构成平行四边形时，求E点坐标．
4．如图，已知抛物线：与轴交于点，点（在的左侧），与轴交于点．是关于轴对称的抛物线．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线与轴交于点，点是抛物线的一个动点，过点作轴的垂线交所在的直线于点．当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，求点的坐标．
5．如图，抛物线经过点和点．
(1)求抛物线解析式及顶点坐标；
(2)设点是抛物线上一动点，且位于第一象限，四边形是以为对角线的平行四边形，求平行四边形的面积与之间的函数关系式；
(3)当（2）中的平行四边形的面积为32时，请你判断平行四边形是否为菱形，并说明理由．
6．如图，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且.
(1)求抛物线的表达式及对称轴.
(2)在抛物线上任取一点F，作平行四边形，在线段上任取一点P，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，记点Q的纵坐标为．当点F到抛物线对称轴的距离不超过个单位长度时，求的取值范围．
7．已知二次函数与x数轴交于点A、B（A在B的左侧），与y轴交于点C，连接．
发现：点A的坐标为__________，求出直线的解析式；
拓展：如图1，点P是直线下方抛物线上一点，连接、，当面积最大时，求出P点的坐标；
探究：如图2，抛物线顶点为D，抛物线对称轴交于点E，M是线段上一动点（M不与B、C两点重合），连接，设M点的横坐标为，当m为何值时，四边形为平行四边形？
8．已知抛物线与x轴相交于两点与y轴交于点C，作直线BC．
(1)求抛物线和直线对应的函数表达式；
(2)利用图象求不等式的解集；
(3)点P是位于第四象限内抛物线上的一个动点，连接，
①当的面积最大时，求点P的坐标及的面积
②在x轴上是否存在一点Q，使得以P，C，Q，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
9．在平面直角坐标系xOy中，抛物线G：（m为常数）的顶点为P，且过点．
(1)求证：无论m为何值，点P必在同一条直线上；
(2)若点在函数的图象H上，对于任意的实数t，都有点B和点C关于对称，函数y2的图象H与抛物线G从左到右依次交于E，F两点．
①若点E，F中有一个落在坐标轴上时，求函数的表达式；
②在①的条件下，若，试问四边形能否是平行四边形？请说明理由，并求出四边形面积的最大值．
10．如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若点D是抛物线上的一点，当的面积为10时，求点D的坐标；
(3)点P是抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在一点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
11．如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，连接．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P为线段上的一动点（不与B、C重合），轴，且交抛物线于点M，交x轴于点N，当的面积最大时，求点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，当的面积最大时，点D是抛物线的对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点E，使得以A、P、D、E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
12．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴相交于点，，顶点为A点，连接．

(1)点A的坐标和的度数；
(2)将抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到抛物线其顶点为连接和，把沿翻折得到四边形，试判断其形状，说明理由；
(3)在（2）的情况下，判断点是否在抛物线上，请说明理由；
(4)为轴上的一个动点，在抛物线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
13．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其顶点为点，连接．

(1)求这条抛物线所对应的二次函数的表达式及顶点D的坐标；
(2)在抛物线的对称轴上取一点E，点F为抛物线上一动点，使得以点A、C、E、F为顶点、为边的四边形为平行四边形，求点F的坐标．
14．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线相交于A，B两点，其中．
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)点P为直线下方抛物线上的任意一点，连接，求面积的最大值；
(3)若点M为抛物线对称轴上的点，抛物线上是否存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．
15．如图，一条抛物线经过的三个顶点，其中为坐标原点，点，点在第一象限内，对称轴是直线，且的面积为18

(1)求该抛物线对应的函数表达式；
(2)求点的坐标；
(3)设为线段的中点，为直线上的一个动点，连接，，将沿翻折，点的对应点为．问是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．(1)
(2)当时，最长为，此时
(3)存在点，使以点为顶点的四边形为平行四边形，坐标为或
2．(1)
(2)或
3．(1)
(2)存在，
(3)或或
4．(1)
(2)或
5．(1)，顶点坐标为．
(2)；
6．(1)，
(2)
7．发现：，直线的解析式为；拓展：；探究：当时，四边形为平行四边形
8．(1)；
(2)或
(3)①当的面积最大时，点P的坐标为；的面积为
②或
9．
(2)①；②四边形能是平行四边形，理由见解析，四边形面积的最大值为2．
10．(1)抛物线的解析式为：
(2)点D的坐标为或
(3)存在满足条件的Q点的坐标为或或
11．(1)
(2)
(3)存在，点使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标是或或
12．(1)，45°
(2)菱形，
(3)不在，
(4)存在，Q（6，4）
13．(1)，
(2)或
14．(1)
(2)
(3)N的坐标为或或
15．(1)
(2)
(3)存在，点的坐标为或或或
答案第1页，共2页