上海市浦东新区建平中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷（含答案）

建平中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷
2024.01
一．填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）
1．已知扇形的面积是4，半径为2，则扇形的圆心角为________弧度
2．已知是第二象限角，且，则________
3．若函数（且）的图像恒过定点A，则A的坐标是________
4．已知，若，则________
5．方程的解集为________
6．函数的值域是________
7．已知为锐角，，则________
8．已知函数，且，则________
9．若存在，使成立，则实数k的取值范围是________
10．已知函数，若，则实数m的取值范围是________
11．已知函数，，若函数有6个零点，则实数a的取值范围是________
12．若存在实数a、b，对任意实数，不等式恒成立，则实数m的取值范围是________
二．选择题（本大题共4题，满分20分）
13．“”是“”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
14．已知实数a、b满足，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
15．对于，角A、B、C的对边分别为a、b、c，有如下判断：①若，则为等腰三角形；②若，则；③若，，，则符合条件的有两个：④若，则是钝角三角形．其中正确的个数是（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
16．已知集合S是由某些正整数组成的集合，且满足：若，则当且仅当（其中正整数、且）或（其中正整数、且）．现有如下两个命题：①；②集合．则下列判断正确的是（ ）
A．①对②对 B．①对②错 C．①错②对 D．①错②错
三．解答题（本大题共有5题，满分76分）
17．已知角的终边经过点．
（1）求的值；（2）求的值．
18．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．
（1）求角B的大小；
（2）若的面积为6，，求b的长．
19．某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现，某水果的产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：，且施用肥料及其它成本总投入为元．已知这种水果的市场售价大约10元/千克，且生产的水果都能售出．记该水果利润为（单位：元）．（）
（1）写出利润（元）关于施用肥料x（千克）的关系式；
（2）当施用肥料为多少千克时，该水果利润最大？最大利润是多少？
20．对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点．
（1）已知函数，求函数的不动点；
（2）若对于任意的，二次函数（）恒有两个相异的不动点，求实数a的取值范围；
（3）若函数在区间上有唯一的不动点，求实数m的取值范围．
21．若函数满足：对任意正数s、t，都有，则称函数为“H函数”．
（1）试判断函数与是否为“H函数”，并说明理由；
（2）若函数是“H函数”，求实数a的取值范围；
（3）若函数为“H函数”，，对任意正数s、t，都有，，求证：对任意，都有．
参考答案
一．填空题
1．2 2． 3． 4． 5．
6． 7． 8．8 9． 10．
11． 12．
二．选择题
13．A 14．C 15．C 16．A
三．解答题
17．【解】：（1）由已知得，
∴；
（2）∵，
∴，
则．
18．【解】（1）因为，所以．
因为，所以，又，，所以．
（2）因为，所以．
由余弦定理可得，
所以．
19．【解】（1）由已知，
又，
所以，
整理得．
（2）当时，，
∴当时，，
当时，
，
当且仅当，即时等号成立，，
因为
综上，所以的最大值为400．
故当施用肥料为3千克时，该水果的利润最大，最大利润是400元．
20．【解】（1）设为不动点，
因此，
解得或，
所以，3为函数的不动点．
（2）方程，即，有，，
于是得方程有两个不等实根，
即，
依题意，对于任意的，不等式恒成立，则，
整理得，解得，
所以实数a的取值范围是．
（3）由于函数有且只有一个不动点在上
所以，
即在上有且只有一个解
令
①，则，解得；
②即时
方程可化为，另一个根为，不符合题意，舍去；
③即时
方程可化为，另一个根为1，满足；
④，即，解得，
（Ⅰ）当时，方程的根为，满足；
（Ⅱ）当时，方程的根为，不符合题意，舍去；
综上，m的取值范围是或．
21．【解】（1）对于任意，，，
∴，即成立；
故是“H函数”．
对于，
取，则，．
因为，故不是“H函数”．
（2）因为函数是“H函数”，故对于任意的
有恒成立，
即恒成立
所以恒成立．
又，故，则
则，即．
（3）由函数为“H函数”，可知对于任意正数s，t，
都有，，且，
令，可知，即，
故对于自然数k与正数s，都有
，
对任意，可得，又，
所以，
同理，
故．