吉林省长春市部分中学2023-2024年高一上学期期末考试数学试题（含答案）

长春市部分中学2023-2024年高一上学期期末考试数学试卷
注意事项：
1．答题前，考生须将自己的班级、姓名、学号填写在答题卡指定的位置上；
2．选择题的每小题选出答案后，涂在答题卡指定的位置上；
3．非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答．在其它题的答题区域内书写的答案无效：在草稿纸、本试题卷上答题无效。
本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分120分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．将化为弧度，正确的是（ ）
A． B． c． D．
2．若角的终边经过点，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．已知，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数，下列区间中包含零点的区间是（ ）
A． B． C． D．
5．若，，．财a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
6．扇面书画在中国传统绘画中由来已久．最早关于扇面书画的文献记载，是王羲之书六角扇．扇面书画发展到明清时期，折扇开始逐渐成为主流．如图，该折扇扇面画的外弧长为24，内弧长为10，且该扇面画所在扇形的圆心角约为120°，则该扇面画的面积约为（ ）（）
A．185 B．180 C．119 D．120
7．对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到
B．函数的图象可由函数图象上各点的横坐标体伸长到原来的2倍，纵坐标不变得到
C．若且，则的最小值为
D．若为偶函数，则，
8．已知是定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，，则（ ）
A．的周期为2
B．
C．的所有零点之和为16
D．
二、多选题：本题共4小题，每小题4分，共16分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．对于实数a，b，c，下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，，则
10．下列函数中，最小正周期为，且在区间上单调递减的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数（，），为的零点，对任意，恒成立，且在区间上单调．则下列结论正确的是（ ）
A．是奇数 B．的最大值为7
C．不存在，使得是偶函数 D．
12．已知函数，（其中e为自然对数的底数），设m，n分别为，的零点，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分
13．函数的定义域为________．
14．函数，的值域为________．
15．已知函数在区间上恰有三个最大值点，则的取值范围为________．
16．已知函数，，方程恰有两个不相等的实数根，（），设，则实数t的取值范围是________．
四、解答题：共计56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分8分）
（1）计算：；
（2）计算：．
18．（本小题满分8分）
已知．
（1）化简；
（2）若是第三象限角，且，求的值．
19．（本小题满分8分）
已知．
（1）当时，解不等式；
（2）若关于x的方程在区间内恰有一个实数解，求实数a的取值范围．
20．（本小题满分10分）
随着经济的发展，越来越多的家庭开始关注到家庭成员的关系，一个以“从心定义家庭关系”为主题的应用心理学的学习平台，从建立起，得到了很多人的关注，也有越来越多的人成为平台的会员，主动在平台上进行学习，已知前3年平台会员的个数如下表所示（其中第4年为预估人数，仅供参考）：
建立平台第x年 1 2 3 4
会员个数y（千人） 14 20 29 43
（1）依据表中数据，从下列三种模型中选择一个恰当的模型，估算建立平台年后平台会员人数y（千人），并求出你选择模型的解析式：
①； ②（且）：
③（且）．
（2）为控制平台会员人数盲目扩大，平台规定会员人数不得超过（）千人，依据（1）中你选择的函数模型，求k的最小值．
21．（本小题满分10分）
已知函数，且．
（1）设，若对任意，总存在，使成立，求实数t的取值范围；
（2）函数的图象与函数的图象关于直线对称，求不等式的解集．
22．（本小题满分12分）
对于函数，若，则称实数为函数的不动点．
设函数，．
（1）若，求函数的不动点；
（2）若函数在区间上存在两个不动点，求实数a的取值范围；
（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
长春市部分中学2023-2024年高一上学期期末考试（数学）参考答案
一、单选题
1 2 3 4 5 6 7 8
C A B C B C C D
二、多选题
9 10 11 12
AD BD ACD ABD
三、填空题
13．，； 14．；
15．； 16．．
四、解答题
17．解：（1）原式
（2）原式
18．解：（1）．
（2）因为，，所以，又因为是第三象限角，所以为第三象限角，所以，
故．
19．解：（1）当时，，
∵在上单调递增，∴，即，
∴，∴不等式的解集为．
（2）关于的方程在区间恰有一个实数解，化简方程得，
即方程在区间恰有一个实数解，
即方程在区间恰有一个实数解，且，
即方程区间恰有一个实数解，且，
故有，解得．
20．解：（1）从表格数据可以得知，函数是一个增函数，故不可能是①，
∵函数增长的速度越来越快，∴选择③（且）
代入表格中的三个点可得：，解得：，∴，．
（2）由（1）可知：，
故不等式对恒成立，
∴对恒成立，
令，则，∴，，
∵在单调递增，则∴，
∴ ∴．
21．解：（1）因为，
则，可得，
因为，则，所以，可得，
所以．
当时，，则，
依题意，，使得，所以
，
因为，则，
令，函数在上单调递减，
所以，所以，，
因此，实数t的取值范围是．
（2）因为与的图象关于直线对称，
则
，因为，令，
则，即，
作出函数的图象如下图所示：
由可得，
即，
因为，故，可得，
解得或，
即，
因此，原不等式的解集为．
22．解：（1）当时，方程可化为，解得或；
所以，函数的不动点为0和1．
（2）方程，即，可化为．
令，则当时，关于单调递增，且．
由题意，关于的方程在上有两个不等实根．
由于对勾函数在上单调递减，在上单调递增，
且，，．
所以，，即．
综上，实数的取值范围为．
（3）不等式可化为．
易知，函数在上最大值为，最小值为；
由题意，，，即．
上述不等式可化为．令，则当时，．
由题意，，不等式恒成立．
函数在上单调递增，最大值为；
函数在上单调递减，最小值为．
所以，，即．
综上，实数a的取值范围为．