6.2.4 组合数 课件（共17张PPT）

(共17张PPT)
6.2.4 组合数
1.了解组合数的定义，并能区别组合与组合数
2.通过利用计数原理分析和解决具体的组合问题，掌握组合数公式，并能利用公式求具体问题的组合数
上节课已知从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，通过列举数数知有3种组合方式：
甲、乙； 甲、丙； 乙、丙.
若从50名同学中选择选择2名同学参加一项活动，求有多少种组合方式，上述方法是否便捷？
知识点一：组合数的定义
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合数.用符号 .
概念生成
例如，从3个不同元素中取出2个元素的组合数表示为
从4个不同元素中取出3个元素的组合数表示为
思考：根据以上例子，组合和组合数有什么区别？
“组合”是指“从n个不同元素中取m(m≤n)个元素作为一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；
“组合数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数”，它是一个数.
问题：组合和排列有对应关系，能否利用这种关系，由排列数 来求组合数 呢？
知识点二：组合数公式的推导
组合：
甲乙
甲丙
乙丙
甲乙，乙甲
甲丙，丙甲
乙丙，丙乙
排列：
(1)：由排列数公式知：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动
的排列数为 ，能否在此基础上求出其组合数？
(2):能否用与(1)相同的方法,求从4个不同元素中取出3个元素的组合数
取出3个元素的排列数
以“元素相同”为标准分为4个组，
因此
设这4个元素为a，b，c，d.
abc
abd
acd
bcd
组合
abc bac cab
acb bca cba
abd bad dab
adb bda dba
acd cad dac
adc cda dca
bcd cbd dbc
bdc cdb dcb
排列
①方法一：
abc
abd
acd
bcd
组合
abc bac cab
acb bca cba
abd bad dab
adb bda dba
acd cad dac
adc cda dca
bcd cbd dbc
bdc cdb dcb
排列
②方法二：
根据分布乘法原理，有
即：
第2步，将取出的3个元素作全排列，共有 种不同的排法.
第1步，从4个元素中取出3个元素作为一组，共有 种不同的取法；
(3)：依据求组合 和 的方法，如何求组合数 ？
由以下两个步骤得到：
第2步，将取出的m个元素作全排列，共有 种不同的排法.
第1步，从n个不同元素中取出m个元素作为一组，共有的排列数 种
不同的取法；
因此，
这里n,m∈N*,并且m≤n.这个公式叫做组合数公式.
因为
另外，规定
所以，上面的组合数公式还可以写成
问题2：组合数公式有什么特点？与排列式公式比较，二者有什么相似和不同？
组合数公式 分子 右边第一个因数是n，后边每个因数都比它前
面的一个因数少1，最后一个因数是n-m+1，共有m个连续的正整数相乘，分母
为m！.
例1 计算：
解：根据组合数公式，可得
思考：1.观察例1的(1)与(2)，(3)与(4)的结果，你有什么发现？
2.比较不同形式的组合数公式，你对公式的选择有什么想法？
2.公式
一般用于求值计算；
公式 一般用于m，n较大时的计算，或对于含有字母的组合数的式子进行化简或证明.
例2 在100件产品中，有98件合格品，2件次品.从这100件产品中任意抽出3件.
(1)有多少种不同的抽法？
(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种
(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？
解：(1)
(2)从2件次品中抽出1件的抽法有 种，从98件合格品中抽出2件的抽法有 种，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法种数为
(3)方法1：从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品两种情况，因此根据分类加法计数原理，抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数为
方法2：抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数，就是从100件产品中抽出3件的抽法种数减去3件都是合格品的抽法种数，即
(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？
练一练
有政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门学科的学业水平考试成绩，现要从中选3门考试成绩.
(1)共有多少种不同的选法？
(2)如果物理和化学恰有1门被选，那么共有多少种不同的选法？
(3)如果物理和化学至少有1门被选，那么共有多少种不同的选法？
解：
(3)方法一：
方法二：
根据今天所学，回答下列问题：
1.组合与组合数的区别是什么？
2.如何判断一个计数问题是排列问题还是组合问题？
3.如何解决组合问题？应用组合数问题时需要注意什么？