6.3.2 二项式系数的性质 课件（共16张PPT）

(共16张PPT)
6.3.2 二项式系数的性质
回顾：二项式定理:
二项式系数:
通项:
1.掌握二项式系数的性质，会进行简单的应用.
2.会用赋值法求二项展开式系数的和.
知识点一：二项式系数的性质
1.计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表:
(a+b)n展开式的二项式系数
1
2
3
4
5
6
通过计算、填表，你发现了什么规律？
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
每一行中的系数具有对称性
2.将上表写成如下形式:
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
观察上图，你还能发现哪些规律？
①在同一行中,每行两端都是1,与这两个1“等距离”的二项式系数相等.
②在相邻的两行中,除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和.
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 Cn1 Cn2 …… Cnk-1 Cnk …… Cnn-1 1
… … … … … …
1 Cn+11 Cn+12 …… Cn+1k …… Cn+1n 1
对于(a+b)n的展开式的二项式系数
可看成以r为自变量的函数
当n=6时，其图像是7个离散点，如图所示：
f (r)
r
O
5
15
20
10
思考：观察函数图像，它有什么特点？
对称
f (r) (r∈{0，1，2，.... ，n}).
3
6
二项式系数的性质：
(1)对称性
图象的对称轴：r = .
f (r)
r
O
5
15
20
10
3
6
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.
这一性质可直接由以下公式得到：
(2)增减性与最大值
即
因为
当
，即 时，
由对称性知， 时，
Cnk随k的增加而增加；
Cnk随k的增加而减小.
当n是偶数时，中间的一项 取得最大值；
当n是奇数时，中间的两项 和 相等,且同时取得最大值.
f (r)
r
O
···
···
n是偶数
f (r)
r
O
···
···
n是奇数
(3)各二项式系数的和
已知
令x=1，得
1.在(a＋b)20展开式中,与第五项的二项式系数相同的项是( )
练一练
A.第15项 B.第16项
C.第17项 D.第18项
C
2.在(a＋b)10展开式中,二项式系数最大的项是( ).
A.第6项 B.第7项
C.第6项和第7项 D.第5项和第7项
A
例1 求证:在(a+b)n 的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
令a=-1，b=-1，则得
即
因此
知识点二：赋值法
赋值法
证明：在展开式
中，
练一练
解：(1)令展开式左、右两边x＝1，得各项系数和为1；
(2)各二项式系数之和为26＝64.
在(2x－1)6展开式中,求：
(1)各项系数的和;
(2)各项的二项式系数和.
归纳总结
一般地， 展开式的二项式系数 有如下性质：
(1)
(2)
(3)
当 时，
当 时，
(4)
根据今天所学，回答下列问题：
1.二项式系数的三条性质分别是什么？