7.1.1 条件概率 课件（共23张PPT）

(共23张PPT)
7.1.1 条件概率
1.结合古典概型，了解条件概率与概率的乘法公式，能计算简单随机事件的条件概率.
2.结合古典概型，了解条件概率与独立性的关系.
知识点一：条件概率
思考：当事件A与B相互独立时，有P(AB)=P(A)P(B)；如果事件A与B不独立，如何表示积事件AB的概率呢？
问题1 某个班级有45名学生，其中男生、女生的人数及团员的人数如下表
所示.
团员 非团员 合计
男生 16 9 25
女生 14 6 20
合计 30 15 45
在班级里随机选择一人做代表.
(1)选到男生的概率是多少
(2)如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是多大？
解：随机选择一人做代表，则样本空间Ω包含45个等可能的样本点.
用A表示事件“选到团员”，B表示事件“选到男生”，
据表可得，n(Ω)=45，n(A)=30，n(B)=25.
团员 非团员 合计
男生 16 9 25
女生 14 6 20
合计 30 15 45
(1)根据古典概型知识可知，选到男生的概率为：
(2)如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是多大？
“在选到团员的条件下，选到男生”的概率就是“在事件A发生的条件下，事件B发生”的概率，记为P(B|A).
以A为样本空间来考虑事件B发生的概率，在新的样本空间中事件B就是积事件AB，包含的样本点数n(AB)=16.
根据古典概型知识可知，
问题2 假设生男孩与生女孩是等可能的，现考虑有两个小孩的家庭，随机选择一个家庭，那么：
(1)该家庭中两个小孩都是女孩的概率是多大？
(2)如果已经知道这个家庭有女孩，那么两个小孩都是女孩的概率有多大？
解：用b表示男孩，g表示女孩，则样本空间Ω={bb，bg，gb，gg}，且所有样本点是等可能的.
用A表示事件“选择的家庭中有女孩”，B表示事件“选择的家庭中两个孩子都是女孩”，则A={bg，gb，gg}，B={gg}.
(1)根据古典概型知识可知，该家庭中两个小孩都是女孩的概率为：
(2)“在选择的家庭有女孩的条件下，两个小孩都是女孩”的概率就是“在事件A发生的条件下，事件B发生”的概率，记为P(B|A).
此时，A成为样本空间，事件B就是积事件AB.
根据古典概型知识可知：
如图所示，若已知事件A发生，则A成为样本空间.此时，事件B发生的概率是AB包含的样本点数与A包含的样本点数的比值，即这个结论对于一般的古典概型仍然成立.
A
B
AB
Ω
因为
所以，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率还可以通过来计算.
概念生成
一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称
为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率.
知识点二：条件概率与独立性的关系及概率的乘法公式
问题4 在问题1和问题2中，都有P(B|A)≠P(B).一般地， P(B | A)与P(B)不一定相等.如果P(B | A)与P(B)相等，那么事件A与B应满足什么条件？
若事件A与B相互独立，即P(AB)=P(A)P(B)，且P(A)>0，则
反之，若P(B | A)=P(B)，且P(A)>0，则
当P(A)>0时，当且仅当事件A与B相互独立时，有P(B|A)=P(B)
思考：对于任意两个事件A与B，如果已知P(A)与P(B|A)，如何计算P(AB)呢？
概念生成
由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则
P(AB)=P(A)P(B|A).
我们称上式为概率的乘法公式.
例1 在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.求:
(1)第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率;
(2)在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率.
解法1：设A=“第1次抽到代数题”，B=“第2次抽到几何题”.
(1)“第1次抽到代数题且第2次抽到几何题”就是事件AB.
n(Ω)==5×4=20.
因为n(AB)=
所以
(2)“在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题”的概率就是事件A发生的条件下，事件B发生的概率.显然P(A)=.利用条件概率公式，得
解法2：在缩小的样本空间A上求P(B | A).已知第1次抽到代数题，这时还余下4道试题，其中代数题和几何题各2道.因此，事件A发生的条件下，事件B发生的概率为
又P(A)=，利用乘法公式可得
P(AB)=P(A)P(B|A)= = .
归纳总结
1.求条件概率有两种方法：
①基于样本空间Ω，先计算P(A)和P(AB)，再利用条件概率公式求P(B|A)；
②根据条件概率的直观意义，增加了“A发生”的条件后，样本空间缩小为A，求P(B|A)就是以A为样本空间计算AB的概率.
设P(A)>0，则
（1）P(Ω|A)=1;
（2）如果B，C是两个互斥事件，则P(B∪C | A)=P(B|A)+P(C|A);
（3）设和B互为对立事件，则
2.条件概率的性质：
例2 已知3张奖券中只有1张有奖，甲、乙、丙3名同学依次不放回地各随机抽取1张.他们中奖的概率与抽奖的次序有关吗？
解：用A，B，C分别表示甲、乙、丙中奖的事件，则
因为P(A)=P(B)=P(C)，所以中奖的概率与抽奖的次序无关.
.
A B C
追问：如果是放回随机抽样，中奖的概率与抽奖的次序有关吗？获奖的情况会有什么改变？
在抽奖问题中，无论是放回随机抽取还是不放回随机抽取，中奖的概率都与抽奖的次序无关.
例3 银行储蓄卡的密码由6位数字组成.某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字.求：
（1）任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率；
（2）如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率.
解：（1）设Ai =”第i次按对密码”（i=1,2），则事件“不超过2次就按对密码”可表示为：，事件A1 与互斥，则
所以，任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率为.
（2）设B=”最后1位密码为偶数”，则
因此，如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率为.
.
练一练
在一个袋子中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个球，求在第1个球是红球的条件下，第2个球是黄球或黑球的概率．
解：设“摸出第1个球为红球”为事件A，“摸出第2个球为黄球”为事件B，
“摸出第2个球为黑球”为事件C，则
，
所以 .
则所求条件概率为.
根据今天所学，回答下列问题：
1.条件概念的概率是什么？
2.条件概率的性质有哪几条？
3.求条件概率的两种方法分别是什么？