7.1.2 全概率公式 课件（共18张PPT）

(共18张PPT)
7.1.2 全概率公式
1.结合古典概型，理解全概率公式，会利用全概率公式计算概率；
2.了解贝叶斯公式.
知识点一：全概率公式的概念
问题1 从有a个红球和b个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的
球不再放回.显然，第1次摸到红球的概率为 .那么第2次摸到红球的概率
是多大？如何计算这个概率呢？
因为抽签具有公平性，所以第二次摸到红球的概率也应该是
用 Ri表示事件“第i次摸到红球”，Bi表示事件“第i次摸到蓝球”，i=1，2.事件R2可按第1次可能的摸球结果(红球或蓝球)表示为两个互斥事件的并，即R2=R1R2 ∪ B1R2.利用概率的加法公式和乘法公式，得
P(R2|R1)
P(B2|R1)
P(R2|B1)
P(B2|B1)
追问(1) ：如何证明第2次摸到红球的概率是 .
按照某种标准，将一个复杂事件表示为两个互斥事件的并，再由概率的加法公式和乘法公式求得这个复杂事件的概率.
追问(2)：将以上问题一般化，你能得到什么结果？
设A1，A2，...，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪...∪An=Ω，且P(Ai)>0，i=1，2，...，n，则对任意的事件，求事件B的概率P(B).
上述过程采用的方法：
概念生成
一般地，设A1，A2，...，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪...∪An=Ω，
且P(Ai)>0，i=1，2，...，n，则对任意的事件，有
称上面的公式为全概率公式.
A1
A1B
A2
A2B
A3B
A3
An
AnB
...
...
Ω
B
例1 某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8，计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率.
解：设A1=“第1天去A餐厅用餐”， B1=“第1天去B餐厅用餐”， A2=“第2天去A餐厅用餐”，则Ω=A1∪B1,且A1与B1互斥，根据题意得
P(A2)= P(A1) P(A2| A1)+ P(B1) P(A2| B1)
=0.5×0.6+0.5 ×0.8=0.7
因此，王同学第2天去A餐厅用餐的概率为0.7.
由全概率公式，得
P(A1)=P(B1)=0.5, P(A2| A1)=0.6, P(A2| B1)=0.8.
知识点二：全概率公式的运用
P(A2|A1)=( )
P(A2|B1)=( )
归纳总结
运用全概率公式求概率的解题步骤：
(1)用符号表示随机事件；
(2)划分样本空间；
(3)分别计算概率；
(4)由全概率公式求出概率.
例2 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.
(1)任取一个零件，计算它是次品的概率；
(2)如果取到的零件是次品，计算它是第i (i=1，2，3)台车床加工的概率.
解：设B=“任取一个零件为次品”，Ai=“零件为第i台车床加工”(i=1，2，3)，
则Ω= A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥.
A1
A2
A3
A3B
A1B
A2B
Ω
B
P (A1)=0.25， P (A2)=0.3， P (A3)=0.45，
P (B|A1)=0.06, P (B|A2)= P (B|A3)=0.05.
根据题意得：
(1)由全概率公式，得
P(B)=P(A1) P (B|A1)+ P(A2) P (B|A2)+ P(A3)P (B|A3)
=0.25×0.06+0.3×0.05+0.45×0.05
=0.0525
(2)“如果取到的零件是次品，计算它是第i( i =1，2，3)台车床加工的概率”，就是计算在B发生的条件下，事件Ai发生的概率.
同理可得
； .
问题2：在上面的例题解答中，概率P(Ai)，P(Ai|B)的实际意义是什么？你能梳理出解决问题(2)过程中的关键等式吗？
P(Ai)是试验之前就已知的概率，它是第i台车床加工的零件所占的比例，称为先验概率.当已知抽到的零件是次品（B发生），P(Ai│B)是这件次品来自第i台车床加工的可能性大小，通常称为后验概率.
如果对加工的次品，要求操作员承担相应的责任，那么，，就分别是第1，2，3台车床操作员应承担的份额.
解决问题的关键等式：
概念生成
贝叶斯公式：设A1，A2，...，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪...∪An=Ω，
且P(Ai)>0，i=1，2，...，n，则对任意的事件B Ω，P(B)>0，有
注意：贝叶斯公式一般适用于已知事件的结果，求某一种情况发生的概率.
例3 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干
扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为
0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和
0.05.假设发送信号0和1是等可能的.
（1）分别求接收的信号为0和1的概率；
（2）已知接收的信号为0，求发送的信号是1的概率.
发送0(A)
发送1()
接收0(B)
接收1()
解：设A=“发送的信号为0”，B=“接收到的信号为0”，则=“发送的信号为1”，=“接收到的信号为1”.由题意得
练一练
同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应．由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95，0.90，0.80，三家产品数按2∶3∶5的比例混合在一起．
(1)从中任取一件，求此产品为正品的概率；
(2)现取到一件产品为正品，问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大？
＝0.2×0.95＋0.3×0.9＋0.5×0.8＝0.86，
(1)由全概率公式得：
解：设事件A表示“取到的产品为正品”，B1，B2，B3分别表示“产品由甲、乙、丙厂生产”，由已知P(B1)＝0.2，P(B2)＝0.3，P(B3)＝0.5，
P(A|B1)＝0.95，P(A|B2)＝0.9，P(A|B3)＝0.8，
(2)由贝叶斯公式得
由以上3个数作比较，可知这件产品由丙厂生产的可能性最大，由甲厂生产的可能性最小．
根据今天所学，回答下列问题：
1.全概率公式中将样本空间拆分成若干个两两互斥事件的作用是什么？
2.应用全概率公式的步骤是什么？