7.2 离散型随机变量及其分布 课件（共26张PPT）

(共26张PPT)
7.2 离散型随机变量及其分布
1.了解随机变量及离散型随机变量的含义.
2.理解离散型随机变量的分布列的意义，会求某些简单的离散型随机变量的分布列.
情境：为随机试验建立样本空间便于求随机事件的概率，样本空间的确定是研究概率的基础.
请为以下随机试验建立样本空间：
(1)掷一枚骰子，观察出现的点数;
(2)掷两枚骰子，观察两个点数之和;
(3)掷一枚硬币，观察出现正、反面的情况;
(4)从装有5个红球、3个白球的袋中依次摸出两球，观察球的颜色.
知识点一：随机变量及离散型随机变量的含义
例如，随机抽取一件产品，有“抽到次品”和“抽到正品”两种可能结果，如何建立样本点与实数建立对应关系.
“抽到次品”用1表示，“抽到正品”用0表示,即定义
问题1：若随机试验的样本点与数值没有关系，如何将样本点与实数建立联系？
抽到次品，
抽到正品，
请同学们建立情境中的(3)(4)样本空间与实数的对应关系.
对于任何一个随机试验,总可以把它的每个样本点与一个实数对应.
即通过引入取值依赖于样本点的变量X,来刻画样本点和实数的对应关系,实现样本点的数量化.
因为在随机试验中样本点的出现具有随机性，所以变量X的取值也具有随机性.
总结提升
问题2：考察下列随机试验及其引入的变量：
试验1：从100个电子元件(至少含3个以上次品)中随机抽取三个进行检验，变量X表示三个元件中的次品数；
试验2：抛掷一枚硬币直到出现正面为止，变量Y表示需要的抛掷次数.
(1)这两个随机试验的样本空间各是什么？各个样本点与变量的值是如何对应的？
对于试验1，如果用0表示“元件为合格品”，1表示“元件为次品”，用0和1构成的长度为3的字符串表示样本点:
样本空间Ω1={000，001，010，100，011，101，110，111}，各样本点与变量X的值的对应关系如图所示.
000
001
010
011
100
101
110
111
0
1
1
2
1
2
2
3
Ω1
X
对于试验2，如果用h表示“正面向上”，t表示“反面向上”：
样本空间Ω2={h，th，tth，ttth，…}，包含无穷多个样本点.各样本点与变量Y的值的对应关系如图所示.
h
th
tth
ttth
...
Ω1
Y
1
2
3
4
...
(2)变量X，Y有哪些共同的特征？
在上面两个随机试验中，每个样本点都有唯一的一个实数与之对应.变量X，Y有如下共同点：
(1)取值依赖于样本点；
(2)所有可能取值是明确的.
概念生成
一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点，都有唯一的实数X()与之对应，我们称X为随机变量.
可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，称之为离散型随机变量.
通常用大写英文字母表示随机变量，例如 X，Y，Z；
用小写英文字母表示随机变量的取值，例如 x，y，z．
随机试验结果
随机变量
实数
实数
实数
函数
两者都是映射
试验结果的范围相当于函数的定义域；
随机变量的取值范围相当于函数的值域.
随机变量和函数的联系：
问题3：写出下列各随机变量可能的取值，并说明它们各自所表示的随机试验的结果：
(1)从10张已编号的卡片(从1号到10号)中任取1张，被取出的卡片的号数X;
(2)抛掷两个骰子，所得点数之和Y；
(3)某城市1天之中发生的火警次数X；
(4)某品牌的电灯泡的寿命X；
(5)某林场树木最高达30米，最低是0.5米，则此林场任意一棵树木的高度X.
[0.5,30]
(X=1、2、3、 、10)
(Y=2、3、 、12)
(X=0、1、2、3、 )
[0,+∞)
思考：你能举出一些离散型随机变量和不是离散型的随机变量的例子吗？
离散型随机变量:
某射击运动员射击一次可能命中的环数X，X=0，1，2，…，10；
在一个装有8个红球，4个白球的袋子中，随机摸出4个球，这4个球中白球的个数Y，Y=0，1，2，3，4.
连续型随机变量:
种子含水量的测量误差X1；
某品牌电视机的使用寿命X2；
某一个零件长度的测量误差X3等.
有以下随机试验：①某路口一天内经过的机动车的辆数为X；②一天内的温度为X；③某单位的某部电话在单位时间内被呼叫的次数为X；④某篮球运动员在一次训练中，投中球的个数为X．上述问题中的X是离散型随机变量的是(　　)
A．①②③④ B．②③④
C．①③④ D．①②④
练一练
C
知识点二：离散型随机变量的分布列
抛掷一枚质地均匀的骰子，表示掷出的点数，
(1)用X表示下列事件：
①事件“掷出m点”可以表示为______________________________；
②事件“掷出的点数不大于2”可以表示为________；
③事件“掷出偶数点”可以表示为_________________________.
{X=m} (m=1，2，3，4，5，6)
{X≤2}
{X=2}∪{X=4}∪{X=6}
这一规律可以用下表表示
(2)X取各个值的概率分别是多少？
由掷出各种点数的等可能性,可得
1 2 3 4 5 6
P
概念生成
一般地，设离散型随机变量X的可能取的不同值为x1，x2，…，xn，称X取每一个xi 的概率P(X=xi)=Pi， i=1，2，…，n，为X的概率分布列，简称分布列.
(1)表示方法：
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
表格法、图象法
概率分布图
(2)离散型随机变量的分布列的性质
①Pi ≥0，i=1，2， …，n；
②P1+P2+ … +Pn =1．
例：投掷骰子的实验中，由概率的加法公式，得事件“掷出的点数不大于2”的概率为：
P(X≤2)=P(X=1)+P(X=2)= +
P({X=2}U{X=4}U{X=6})=P(X=2)+P(X=4)+P(X=6)=
事件“掷出偶数点”的概率：
例1 一批产品中次品率为5%，随机抽取1件，定义
抽到次品
抽到正品
求X的分布列.
解：根据X的定义，{X=1}=“抽到次品”，{X=0}=“抽到正品”，X的分布列为
X 0 1
P 0.95 0.05
对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示成功，表示失败，定义
A发生
发生
如果P(A)=p，P( )=1-p，则X的分布列可以如下表所示
X 0 1
P 1-p p
称X服从两点分布或0-1分布.
概念生成
例2 某学校高二年级有200名学生，他们的体育综合测试分5个等级，每个等级对应的分数和人数如表所示.
等级 不及格 及格 中等 良 优
分数 1 2 3 4 5
人数 20 50 60 40 30
从这200名学生中任意选取1人，求所选同学分数X的分布列，以及≥4).
(2)根据古典概型的知识， 求随机变量取每个值时的概率，即：X的分布列，
(3)利用分布列求概率：所以≥4)= =4)+=5)= + = .
X 1 2 3 4 5
P
解：(1)确定离散型随机变量的取值集合：X是一个离散型随机变量，其可取值为1,2,3,4,5，且{X=1}=“不及格”,{X=2}=“及格”, {X=3}=“中等”,{X=4}=“良”， {X=5}=“优”.
归纳总结
根据离散型随机变量的分布列求随机事件概率的解题步骤：
(1)确定离散型随机变量的取值集合；
(2)根据古典概型的知识，求随机变量取每个值时的概率；
(3)利用分布列求概率.
例3 一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台，B品牌7台.如果从中随机挑选2台，求这2台电脑中A品牌台数的分布列.
解：设挑选的2台电脑中A品牌的台数为X，则X的可能取值为0，1，2.
根据古典概型的知识，可得X的分布列为
X 0 1 2
P
用表格表示X的分布列，如下表所示，
归纳总结
求离散型随机变量分布列的一般步骤：
(1)根据问题设立一个随机变量X，并写出随机变量X的所有可能取值；
(2)利用古典概型，求随机变量X的每一个可能取值所对应的概率；
(3)用解析式或表格表示X的分布列.
根据今天所学，回答下列问题：
1.为什么要研究离散型随机变量的分布列？离散型随机变量的分布列有什么作用？
2.离散型随机变量的一般步骤是什么？分布列的性质在求解随机事件概率的过程中起到什么作用？