7.3.2 离散型随机变量的方差 课件（共21张PPT）

(共21张PPT)
7.3.2 离散型随机变量的方差
回顾：1、离散型随机变量的数学期望：
2、数学期望的性质：
(1)E(X＋b)＝E(X)＋b，
(2) E(aX)＝aE(X)，
(3) E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
1.通过具体实例，理解离散型随机变量方差及标准差的概念与意义.
2.掌握方差的性质，能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些简单的实际问题.
问题1 从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表1和表2所示：
应该派哪名同学参赛？按什么标准选拔？
X 6 7 8 9 10
P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07
Y 6 7 8 9 10
P 0.07 0.22 0.38 0.3 0.03
知识点一：离散型随机变量的方差和标准差
E(X)= 8 ；E(Y)=8 .
均值相等
评价射击水平，除了要考虑击中环数的均值外，还要考虑稳定性，即击中环数的离散程度，下图分别是X和Y的概率分布图：
乙同学的射击成绩更集中于8环，即乙同学的射击成绩更稳定.
思考：根据以前所学知识，样本数据的离散程度是如何表示的？该如何定量刻画随机变量取值的离散程度？
随机变量的离散程度
样本数据的离散程度
(样本方差)
所有数据与样本均值的
“偏差平方的平均值”

可能取值与均值的
“偏差平方的平均值”
(随机变量的方差)
通过类比，可按如下步骤定义随机变量的方差：
(1)计算随机变量的可能取值 xi 与均值E(X)的偏差
(xi-E(X))，i=1，2，3，...，n.
(2)取偏差的平方：
(xi-E(X))2，i=1，2，3，...，n.
(3)偏差平方的加权平均
为避免正负偏差相互抵消
则称
为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称 为随机变量X的标准差，记为 .
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
概念生成
设离散型随机变量X的分布列如表所示:
随机变量的方差和标准差度量了随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度.
方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；
方差或标准差越大，随机变量的取值越分散.
思考：通过计算方差和标准差，比较问题1中甲、乙成绩的稳定性.
因为D(Y)X 6 7 8 9 10
P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07
Y 6 7 8 9 10
P 0.07 0.22 0.38 0.3 0.03
在方差计算中,利用下面的结论可以使计算简化：
解:抛掷散子所得点数X 的分布列为
P
6
5
4
3
2
1
X
例1 掷一枚质地均匀的骰子,求掷出的点数X 的方差
例2 投资A、B两种股票，每股收益的分布列分别如表1和表2所示：
收益X/元 -1 0 2
概率 0.1 0.3 0.6
收益Y/元 0 1 2
概率 0.3 0.4 0.3
表1
表2
(1)投资哪种股票的期望收益大？
(2)投资哪种股票的风险较高？
解：(1)股票A和股票B投资收益的期望分别为
E(X)=(-1)×0.1+0×0.3+2×0.6=1.1,
E(Y)=0×0.3+1×0.4+2×0.3=1.
因为E(X)>E(Y),所以投资股票A的期望收益较大.
(2)股票A和股票B投资收益的方差分别为
D(X)=(-1)2×0.1+02×0.3+22×0.6-1.12=1.29,
D(Y)=02×0.3+12×0.4+22×0.3-12=0.6.
因为E(X)和E(Y)相差不大，且D(X)>D(Y),
所以投资股票A比投资股票B的风险高.
求离散型随机变量X的方差的基本步骤：
归纳总结
(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值；
(2)求X取各个值的概率，写出分布列；
(3)根据分布列，由均值的定义求出E(X)；
(4)根据方差的定义求出D(X).
A、B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，产出次品的概率如下表所示：
问哪一台机床加工质量较好？
次品数ξ1 0 1 2 3
概率P 0.7 0.2 0.06 0.04
次品数ξ2 0 1 2 3
概率P 0.8 0.06 0.04 0.10
练一练
Eξ1=0×0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04=0.44,
Eξ2=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.10=0.44.
它们的期望相同，再比较它们的方差.
Dξ1=(0-0.44)2×0.7+(1-0.44)2×0.2+(2-0.44)2
×0.06+(3-0.44)2×0.04=0.6064,
Dξ2=(0-0.44)2×0.8+(1-0.44)2×0.06+(2-0.44)2
×0.04+(3-0.44)2×0.10=0.9264.
∴Dξ1< Dξ2 故A机床加工较稳定、质量较好.
解：
思考：联系以前所学知识，分析D(X+b)，D(aX)，D(aX+b)与D(X)分别有什么关系？与期望的性质有何不同？
离散型随机变量X加上一个常数b，仅仅使X的值产生一个平移，不改变X与其均值的离散程度，方差保持不变，即
D(X+b)= D(X)
因此，
D(aX+b)=a2D(X)
知识点二：离散型随机变量的方差的性质
由 ，可得
D(aX)=a2D(X)
证明：
练一练
已知随机变量的分布列为 ，k=1，2，3，4，则D(2X-1)=( )
A．
C．4
D．5
B．
D
根据今天所学，回答下列问题：
1.如何求离散型随机变量的方差？
2.离散型随机变量的方差有什么意义？与期望有什么样的联系？
2.离散型随机变量的方差有什么性质？