7.3.1 离散型随机变量的均值 课件（共21张PPT）

(共21张PPT)
7.3.1 离散型随机变量的均值
1.通过实例，理解离散型随机变量的均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值.
2.理解离散型随机变量的均值的性质.
3.会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题.
情境：某城市随机抽查了1000户居民的住房情况，发现户型主要集中在160平方米，100平方米，60平方米三种，对应住房比例为1：5：4，能否说该市的户均住房面积为≈106.7平方米
知识点一：理解离散型随机变量的均值
问题1 甲、乙两名射箭运动员射中目标箭靶的环数的分布列如表所示：
环数X 7 8 9 10
甲射中的概率 0.1 0.2 0.3 0.4
乙射中的概率 0.15 0.25 0.4 0.2
如何比较他们射箭水平的高低呢？
假设甲射箭n次，射中7环、8环、9环和10环的频率分别为
甲n次射箭射中的平均环数为
从平均值的角度比较，甲的射箭水平比乙高.
当n足够大时，频率稳定于概率，所以稳定于
7×0.1+8×0.2+9×0.3+10×0.4=9.
同理，乙射中环数的平均值为
7 ×0.15+8×0.25+9×0.4+10×0.2=8.65.
概念生成
一般地，若离散型随机变量X的分布列为:
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望.
则称
例1 在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分X的均值是多少？
解：因为
P(X=1)=0.8，P(X=0)=0.2，
一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么
E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p.
X 0 1
P 1-p p
所以
E(X)=1×P(X=1)+0×P(X=0)=1×0.8+0×0.2 =0.8.
即该运动员罚球1次的得分X的均值是0.8.
变式1：在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球2次的得分X的均值是多少？
解：X的可能取值为0，1，2 .
，
所以 E(X)=0×0.04+1×0.32+2 0.64 =1.6.
(1)确定取值：根据随机变量X的意义，写出X可能取得的全部值；
(2)求概率：求X取每个值的概率；
(3)写分布列：写出X的分布列；
(4)求均值：由均值的定义求出E(X).
求离散型随机变量的均值的步骤：
归纳总结
例2 抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为X，求X的均值.
解：分布列为
所以.
思考：掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数X的均值为3.5.随机模拟这个试验，重复60次和重复300次各做6次，观测出现的点数并计算平均数，根据观测值的平均数(样本均值)绘制统计图，分别如图所示，观察图形， (1)在两组试验中，样本均值的分布有何特点？
(2)随机变量的均值与样本平均值有哪些区别与联系？
区别：随机变量的均值是一个确定的数，而样本均值具有随机性，它围绕随机变量的均值波动.
联系：随着重复试验次数的增加，样本均值的波动幅度一般会越来越小.常用随机变量的观测值的均值去估计随机变量的均值.
事件的频率
事件的的概率
稳定到
样本的均值
随机变量的均值
稳定到
类比
类比
思考：如果是一个离散型随机变量，将进行平移或伸缩后，其均值会怎样变化？即和(其中为常数)分别与有怎样的关系？
设的分布列为
则其分布列为
知识点二：离散型随机变量的均值的性质
X
P
Y
···
···
···
···
···
···
所以
同理，
离散型随机变量均值的运算性质：
)
(1) E(X＋b)＝E(X)＋b，
(2) E(aX)＝aE(X)，
(3) E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
例3 猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如表所示
规则如下：按照A，B，C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，求嘉宾获得的公益基金总额的分布列及均值.
歌曲 A B C
猜对的概率 0.8 0.6 0.4
获得的公益基金/元 1000 2000 3000
解：分别用A，B，C表示猜对歌曲A，B，C歌名的事件，A，B，C相互独立
X的分布列如下表所示：
X 0 1000 3000 6000
P 0.2 0.32 0.288 0.192
思考：如果改变猜歌的顺序，获得公益基金的均值是否相同？如果不同，你认为哪个顺序获得的公益基金均值最大？
如果按ACB的顺序来猜歌，获得的公益基金的均值是多少？
解：分别用A，B，C表示猜对歌曲A，B，C歌名的事件，则A，B，C相互独立.
所以
的分布列如下表：
X 0 1000 4000 6000
P 0.2 0.48 0.128 0.192
的均值为
0 0.2+1000 0.48+4000 0.128+6000 0.192=2144.
猜歌顺序 E(X)/元 猜歌顺序 E(X)/元
ABC 2336 BCA 2112
ACB 2144 CAB 1904
BAC 2256 CBA 1872
因此按由易到难的顺序猜歌，得到公益基金的期望值最大.
计算其他猜歌顺序，得：
例4 根据天气预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01.该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元.为保护设备，有以下3种方案：
方案1 运走设备，搬运费为3800元；
方案2 建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水；
方案3 不采取措施.
工地的领导该如何决策呢？
解：设方案1、方案2、方案3的总损失分别为X1，X2，X3
方案1，无论有无洪水，都损失3800元.因此，P(X1=3800)=1.
方案2，遇到大洪水时，总损失为2000+60000=62000元；没有大洪水时，总损失为2000元.因此，
P(X2=62000)=0.01，P(X2=2000)=0.99.
方案3，P(X3=60000)=0.01，P(X3=10000)=0.25，P(X3=0)=0.74.
所以，E(X1)=3800，E(X2)=62000×0.01+2000×0.99=2600，
E(X3)=60000×0.01+10000×0.25+0×0.74=3100.
因此，从期望损失最小的角度，应采取方案2.
根据今天所学，回答下列问题：
1.求离散型随机变量均值的步骤分为哪几步？
2.离散型随机变量的均值有什么性质？