7.4.1 二项分布 课件（共24张PPT）

(共24张PPT)
7.4.1 二项分布
1.通过具体实例，了解伯努利试验与n重伯努利试验.
2.掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题.
知识点一：伯努利试验与n重伯努利试验的概念
思考：观察下列随机试验，它们的结果有什么共同特征？
(1)投掷一枚硬币5次，每次正面向上的概率为0.5.
(2)玩射击气球游戏，每次击破气球的概率为0.7，现有10次机会进行射击.
(3)某篮球队员罚球命中率为0.8，罚球6次.
每次试验只有两种可能的结果.
概念生成
只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.
将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.
n重伯努利试验的特征：
(1)同一个伯努利试验重复做n次；
(2)各次试验的结果相互独立.
伯努利试验
各次试验成功的概率相同
1.抛掷一枚质地均匀的硬币10次，其中恰好有4次正面朝上的概率是多少？
2.某医院一天出生8个婴儿，其中恰好有4个男婴的概率是多少？
3.某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击3次，其中2次中靶的概率是多少？
问题：下列试验是否是n重伯努利试验？为什么？
编号 伯努利试验 事件A P(A) n 各次试验的结果是否相互独立 关注的随机变量X
1
2
3
掷枚硬币
正面向上
0.5
10
是
正面朝上的次数
观察婴儿性别
男婴
0.5
8
是
出生的男婴数
射击一次
中靶
3
是
0.8
中靶的次数
随机试验1-3都是n重伯努利试验
练一练
A.一批产品的次品率为5％，有放回地随机抽取20件,其中次品的个数.
B.假设每名学生一年内发生意外伤害事故的概率为0.001，那么1000名学生一年内恰发生意外伤害事故的人数．
C.一个盒子中装有5个球(3个红球和2个黑球),从中不放回的依次摸四个球，其中红球的个数.
D.实力相等的甲、乙两人进行5局乒乓球比赛.
下列随机试验不是伯努利试验的是( )
C
思考：(1)某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8.连续3次射击，中靶次数X的概率分布列是怎样的？
用Ai表示“第i次射击中靶”(i=1，2，3)，用如下图的树状图表示试验的可能结果：
3
2
2
1
2
1
1
0
试验结果 X的值
知识点二：二项分布的概念及应用
由分步乘法计数原理，3次独立重复试验共有23=8种可能结果，它们两两互斥，每个结果都是3个相互独立事件的积.由概率的加法公式和乘法公式得
每次射击用1表示中靶，用0表示脱靶，那么3次射击恰好2次中靶的所有可能结果可表示为011，110，101，这三个结果发生的概率都相等，均为0.82×0.2.因此，3次射击恰好2次中靶的概率为
同理可求中靶0次、1次、3次的概率：
中靶次数X的分布列为：
(2)如果连续射击4次，类比上面的分析，表示中靶次数X等于2的结果有哪些 写出中靶次数X的分布列.
表示中靶次数X等于2的结果有：
中靶次数X的分布列：
(3)连续射击n次中靶次数X的分布列如何表示？
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，
记作X~B(n，p)
概念生成
由二项式定理可知，
思考：对比二项分布和二项式定理，他们之间有什么联系？
二项分布的判断：
1、在一次试验中，事件A发生与不发生二者必居其一；
2、事件A在每次的试验中发生的概率相同；
3、试验重复的进行了n (n≥2) 次，且每次试验结果相互独立，互不影响.
例1 将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求：
(1)恰好出现5次正面朝上的概率；
(2)正面朝上出现的频率在[0.4，0.6]内的概率.
解：设A=“正面朝上”，则P(A)=0.5，用X表示事件A发生的次数，则X~B(10，0.5)
(2)正面朝上出现的频率在[0.4，0.6]内等价于4≤X≤6，则
(1)恰好出现5次正面朝上等价于X=5，则
例2 如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为0，1，2，...，10，用X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列.
解：设A=”向右下落”，则=“向左下落”，则P(A)=P()=0.5.
X的概率分布图如图所示：
因为小球最后落入格子的号码X等于事件A发生的次数，而小球在下落的过程中共碰撞小木钉10次，所以X~B(10，0.5)，于是X的分布列为
P(X=k)=.
例3 甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利？
解法1：采用3局2胜制，甲最终获胜有两种可能的比分，2：0或2：1.因为每局比赛的结果是相互独立的，甲最终获胜的概率为：
同理，采用5局3胜制，甲最终获胜有3种比分3：0或3：1或3：2，因为每局
比赛的结果是相互独立的，甲最终获胜的概率为：
解法2：采用3局2胜制，不妨设赛满3局，用X表示3局比赛中甲胜的局数，
则X~B(3，0.6)，甲最终获胜的概率为
采用5局3胜制，不妨设赛满5局，用X表示5局比赛中甲胜的局数，则
X~B(5，0.6)，甲最终获胜的概率为
因为p2>p1，所以5局3胜制对甲有利.
设赛满局数对甲获胜的概率有没有影响？为什么？
归纳总结
确定二项分布模型的步骤：
1、明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生的概率p；
2、明确重复试验的次数n，并判断各次试验的独立性；
3、设X为n次独立重复试验中事件A发生的次数，则X~B(n，p)
“三个臭皮匠顶个诸葛亮”是一句俗语，比喻人多智慧多．假设每个“臭皮匠”单独解决某个问题的概率均为0.6，现让三个“臭皮匠”分别独立处理这个问题，则至少有一人解决该问题的概率为(　　)
A．0.6 B．0.784 C．0.8 D．0.936
练一练
D
(1)当n=1时，X服从两点分布，分布列为：P(X=0)=1-p，P(X=1)=p.
因此，E(X)=p，D(X)=p(1-p)
(2)当n=2时，X的分布列为：P(X=0)=(1-p)2，P(X=1)=2p(1-p)，P(X=2)=p2，
因此，E(X)=0 × (1-p)2+1 × 2p(1-p)+2 × p2=2p，
D(X)=02 × (1-p)2+12 × 2p(1-p)+22 ×p2 - (2p)2=2p(1-p).
思考：假设随机变量X服从二项分布X~B(n，p)，则X的均值和方差各是什么？
知识点三：二项分布的均值与方差
一般地，如果X~B(n，p)，那么E(X)=np，D(X)=np(1-p).
对均值进行证明：
令q=1-p，由 ，可得
令k-1=m，则
例4 一出租车司机从某饭店到火车站途中有6个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率是.
(1)求这位司机遇到红灯数X的期望与方差．
(2)若遇上红灯，则需等待30秒，求司机总共等待时间η的期望与方差.
解：(1)易知司机遇上红灯次数X服从二项分布，且X～B(6，)，
D(η)＝900D(X)＝1200.
D(X)＝6××(1-＝.
所以E(X)＝6×＝2，
(2)由已知η＝30X，所以E(η)＝30E(X)＝60，
根据今天所学，回答下列问题：
1.伯努利试验和n重伯努利试验特征是什么？
2. 随机变量X满足什么条件称其服从二项分布，如何表示？