7.4.2 超几何分布 课件（共19张PPT）

(共19张PPT)
7.4.2 超几何分布
1.通过具体实例，了解超几何分布及其均值.
2.能用超几何分布解决简单的实际问题.
回顾：
1.什么是n重伯努利试验？
2.二项分布：
若X~B(n，p)，则
3.如果
，那么
知识点一：超几何分布
问题：(1)已知100件产品中有8件次品，现采用有放回方式随机抽取4件.设抽取的4件产品中次品数为X，求随机变量X的分布列.
采用有放回抽样，则每次抽到次品的概率为0.08，且各次抽样的结果相互独立 ，此时X服从二项分布，即X～B(4，0.08).
(2)如果采用不放回抽样,抽取的4件产品中次品数X服从二项分布吗？为什么？
每次抽取不是同一个试验，而且各次抽取的结果也不独立，不符合n重伯努利试验的特征，因此X不服从二项分布.
(3)当X=1时，其概率P为多少？X的分布列是什么？
从100件样本中任取4件，样本空间包含个样本点，且每个样本点都是等可能发生的.其中4件产品中恰有1件的结果数为
X的分布列为
4件产品中恰有k件的结果数为
概念生成
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为
如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布.
其中
超几何分布主要用于不放回简单随机抽样中概率的计算，其中对抽取的每个个体只考虑是否具有某种特征(抽取的产品是否合格；选择的学生代表是否男生；抽取的小球是否红球等).
思考：逐个不放回摸出n个球(考虑次序)和一次性摸出(不考虑次序）n个球，对分布列的计算有影响吗？为什么？
不考虑次序：
其中
考虑次序：
max{0，n-N+M}≤k≤min{n，m}
因此，无论考不考虑次序，X的分布列都是相同的，没有影响.
例1 从50名学生中随机选出5名学生代表，求甲被选中的概率.
解：设X表示选出的5名学生中含甲的人数(只能取0或1)，则X服从超几何分布，且N=50，M=1，n=5.
因此甲被选中的概率为
例2 一批零件共有30个，其中有3个不合格，随机抽取10个零件进行检测，
求至少有1件不合格的概率.
则至少有1件不合格的概率为
另解:
解：设抽取的10个零件中不合格品数为X，则X服从超几何分步，且N=30，M=3，n=10，X的分布列为
归纳总结
1.判断随机变量是否服从超几何分布;
2.根据已知条件，确定M，N，n对应的值;
3.代入超几何分布的概率公式，求出结果.
超几何分布求概率解题步骤：
学校要从12名候选人中选4名同学组成学生会，已知有4名候选人来自甲班.假设每名候选人都有相同的机会被选到，求
(1)甲班恰有2名同学被选到的概率.
(2)甲班至多1名同学被选到的概率.
解:(1)设甲班恰有X人被选到，则X服从超几何分布，且N=12，M=4，n=4,
则：
练一练
(2)
思考：服从超几何分布的随机变量的均值是什么 说说你的猜想并证明.
知识点二：超几何分布的均值.
由随机变量均值的定义，令
因为
所以
令 p是N件产品的次品率，
X满足
猜想
是抽取的n件产品的次品率，
摸球方式 X的分布 E(X) D(X)
放回摸球
不放回摸球
令p=，设X表示摸出的n个球中红球个数，则二项分布和超几何分布的均值、方差对比如表：
超几何分布
H(N，M，n)
np
二项分布
B(n，p)
np
np(1-p)
例3 一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中随机地摸出20个球作为样本.用X表示样本中黄球的个数.
(1)分别就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列；
(2)分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中
黄球的比例，求误差不超过0.1的概率.
解：(1)对于有放回摸球，由题意知X~B(20，0.4)，X的分布列为
对于不放回的摸球，由题意知，X服从超几何分布，X的分布列为
(2)样本中黄球的比例f20=是一个随机变量，根据下表计算得
有放回摸球：P(|f20-0.4|≤0.1)=P(6≤X≤10)≈0.7469.
不放回摸球：P(|f20-0.4|≤0.1)=P(6≤X≤10)≈0.7988.
两种摸球方式下，随机变量X服从二项分布和超几何分布.
这两种分布的均值相等都等于8.
但从两种分布的概率分布图看，超几何分布更集中在均值附近.
对于不放回抽样，当n远远小于N时，每次抽取一次,对N的影响很小.
此时，超几何分布可以用二项分布近似.
归纳总结
二项分布与超几何分布的联系与区别:
(1)超几何分布的模型是“取次品”，是不放回抽样，而二项分布的模型则是“独立重复试验”，是有放回抽样．
(2)对于同一个模型，两个分布的均值相同，但超几何分布的方差较小，说
明超几何分布中随机变量的取值更集中于均值附近.
(3)对于不放回摸球，当N充分大，且n远远小于N时，各次抽样结果彼此影
响很小，可近似认为是独立的.此时，超几何分布可以用二项分布近似.
(4)在确定分布列时，超几何分布必须同时知道N和M，而二项分布只需要知
道p=即可.
根据今天所学，回答下列问题：
1.随机变量X服从超几何分布，则随机变量X的分布列具有怎样的形式？
2.超几何分布的均值如何表示？