8.3.2 独立性检验 课件（共22张PPT）

(共22张PPT)
8.3.2 独立性检验
1.通过实例了解独立性检验的基本思想，掌握独立性检验的基本思想，会用独立性检验解决简单的实际问题.
问题：在上节例1中，通过频率比较得到“两所学校学生的数学成绩优秀率存在差异”的结论，但由于数据的随机性，这一推断有可能是错误的.如何从概率的角度去研究两个分类变量X和Y是否有关联？
设X和Y为定义在样本空间Ω上的两个分类变量，可设X，Y∈{0，1}.
例：
我们希望判别的是性别是否影响学生的数学成绩，即事件{Y=1}和{X=1}或
{X=0}之间是否有关联.
用概率语言表示，就是判断下面的关系是否成立：
H0：P(Y=1|X=0)=P(Y=1|X=1)
知识点一：零假设
考虑以Ω为样本空间的古典概型，设X和Y为定义在Ω上，取值于{0，1}的成对分类变量，判断事件{X=1}和{Y=1}之间是否有关联.
即判断下面的假定关系
H0：P(Y=1|X=0)=P(Y=1|X=1)
是否成立,通常称H0为零假设或原假设.
P(Y=1|X=0)表示从{X=0}中随机选取一个样本点，该样本点属于{X=0，Y=1}的概率；P(Y=1|X=1)表示从{X=1}中随机选取一个样本点,该样本点属于{X=1，Y=1}的概率.
概念生成
注意：{X=0}和{X=1}, {Y=0}和{Y=1}都是互对立事件.
由条件概率的定义可知，零假设H0等价于
或P(X=0,Y=1)P(X=1)=P(X=1,Y=1)P(X=0) ①
因为{X=0}和{X=1}为对立事件，P(X=0)=1-P(X=1)
所以 P(X=0,Y=1)=P(Y=1)-P(X=1,Y=1),P(X=0,Y=1)=P(Y=1)-P(X=1,Y=1),
①式等价于 P(X=1)P(Y=1)=P(X=1,Y=1).
因此，零假设H0等价于{X=0}和{X=1}独立.
思考：请用条件概率的知识，分析零假设，给出分类变量X和Y独立的定义.
知识点二：独立性检验
{X=0}与{Y=0}独立;{X=0}与{Y=1}独立;
{X=1}与{Y=0}独立;{X=1}与{Y=1}独立.
根据已经学过的概率知识，下面的四条性质彼此等价:
以上性质成立，分类变量X和Y独立，即下面四个等式成立：
H0：分类变量X和Y独立.
用概率语言,将零假设改述为
P(X=0,Y=0)=P(X=0)P(Y=0); P(X=0,Y=1)=P(X=0)P(Y=1);
P(X=1,Y=0)=P(X=1)P(Y=0); P(X=1,Y=1)=P(X=1)P(Y=1).
②
假定我们通过简单随机抽样得到了X和Y的抽样数据列联表，如下表所示.
X Y 合计
Y=0 Y=1
X=0 a b a+b
X=1 c d c+d
合计 a+c b+d n=a+b+c+d
对于随机样本，表中的频数a，b，c，d 都是随机变量，而表中的相应数据是这些随机变量的一次观测结果.
(1)请根据分类变量X和Y独立的定义及等价条件，利用列联表中的数据，构造一个用于推断两个分类变量是否独立的统计量.
事件{Y=0}和{Y=1}的频数
事件{X=0}和{X=1}的频数
n是样本容量
事件{X=x，Y=y}(x，y=0，1)的频数
(2)如何基于②中的四个等式及列联表中的数据，构造适当的统计量，对
成对分类变量X和Y是否相互独立作出推断
在零假设H0成立的条件下，根据频率稳定于概率的原理，由②中的第一个等式，用概率P(X=0)和P(Y=0)对应的频率的乘积
估计概率P(X=0，Y=0),
该频数的观测值a和期望值 应该比较接近.
视为事件{X=0，Y=0}发生的频数的期望值(或预期值).
而把
综合②中的四个式子,如果零假设H0成立,下面四个量的取值都不应该太大:
, ,, ③
反之,当这些量的取值较大时,就可以推断H0不成立.
一般来说，若频数的期望值较大，则③中相应的差的绝对值也会较大；而若频数的期望值较小，则③中相应的差的绝对值也会较小.为了合理地平衡这种影响，作如下处理：
化简得
由④式可知，只要把概率值α取得充分小，在假设H0成立的情况下，事件不大可能发生的.根据这个规律，如果该事件发生，我们就可以推断H0不成立.不过这个推断有可能犯错误，但犯错误的概率不会超过α.
对于任何小概率值，可以找到相应的正实数，使得
成立，我们称为的临界值，这个临界值可作为判断大小的标准.
概率值越小，临界值越大.
④
P(χ2≥)=
基于小概率值α的检验规则：
用χ2取值的大小作为判断零假设H0是否成立的依据，当它比较大时推断H0不成立，否则认为H0成立.这种利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验.
概念生成
当χ2≥xα时，推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不
超过α；
当χ2χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值.
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
我们推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过0.05；
(2)当χ2我们没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y独立.
例如：对于小概率值α=0.05，我们有如下的具体检测规则：
(1)当χ2≥x0.05=3.841时，
例1：采用简单随机抽样的方法抽取甲乙两校数学测试成绩，整理成2×2列联表，如表所示
解：零假设为H0：分类变量X与Y相互独立，即两校学生的数学成绩优
秀率无差异.
学校 数学成绩 合计
不优秀(Y=0) 优秀(Y=1)
甲校(X=0) 33 10 43
乙校(X=1) 38 7 45
合计 71 17 88
计算得：
根据小概率值=0.1的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此
可以认为H0成立，即认为两校的数学成绩优秀率没有差异.
依据小概率值=0.1的独立性检验，能否据此推断两校学生的数学成绩优秀率有差异？
思考：基于同一组数据的分析，采用独立性检验却得出了与上节例1不同的结论，你能说明其中的原因吗
上节例1没有考虑由样本随机性可能导致的错误，推断依据不太充分.
相对于简单比较两个频率的推断，用独立性检验得到的结果更理性、更全面，理论依据也更充分.
在本例中，≈0.837小于α=0.1所对应的临界值2.706，因此认为没有充分证据推断H0不成立，所以接受H0，推断出两校学生的数学优秀率没有显著差异的结论.
当我们接受零假设H0时，也可能犯错误.我们不知道犯这类错误的概率p的大小，但是知道，若α越大，则p越小
例2：某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良.采用有放回简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到了如下数据：抽到接受甲种疗法的患儿67名，其中未治愈15名，治愈52名；抽到接受乙种疗法的患儿69名，其中未治愈6名，治愈63名.试根据小概率值=0.005的独立性检验，分析乙种疗法的效果是否比甲种疗法好.
根据小概率值=0.005的独立性检验，没有充分证据推断 H0不成立，
因此可以认为H0成立，即认为两种疗法效果没有差异.
疗法 疗效 合计
未治愈 治愈
甲 15 52 67
乙 6 63 69
合计 21 115 136
解：零假设为H0：疗法与疗效独立，即两种疗法效果没有差异.
将所给数据进行整理，得到两种疗法治疗数据的列联表，
根据列联表中的数据，经计算得到
问题：若对调两种疗法的位置或对调两种疗效的位置，这样做会影响取值的计算结果吗？
不影响
疗法 疗效 合计
未治愈 治愈
甲 15 52 67
乙 6 63 69
合计 21 115 136
疗法 疗效 合计
未治愈 治愈
乙 6 63 69
甲 15 52 67
合计 21 115 136
疗法 疗效 合计
治愈 未治愈
甲 52 15 67
乙 63 6 69
合计 115 21 136
例3：为了调查吸烟是否对肺癌有影响，某肿瘤研究所采取有放回简单随机抽样，调查了9965人，得到如下结果(单位：人)依据小概率值α=0.001的独立性检验，分析吸烟是否会增加患肺癌的风险.
解：零假设为H0：吸烟和患肺癌之间没有关系根据列联表中的数据，经计算得
χ2 =
根据小概率值α=0.001的独立性检验，推断H0不成立，即认为吸烟与患肺癌有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001，即我们有99.9％的把握认为“吸烟与患肺癌有关系”.
吸烟 肺癌 合计
非肺癌患者 肺癌患者
非吸烟者 7775 42 7817
吸烟者 2099 49 2148
合计 9874 91 9965
根据表中的数据计算不吸烟者中不患肺癌和患肺癌的频率分别为
吸烟者中不患肺癌和患肺癌的评率分别为
可见，在被调查者中，吸烟者患肺癌的频率是不吸烟者患肺癌频率的4倍以上.于是，根据频率稳定于概率的原理，我们可以认为吸烟者患肺癌的概率明显大于不吸烟者患肺癌概率，即吸烟更容易引发肺癌.
由
通过频率分析吸烟对患肺癌影响的规律：
(1)提出零假设H0：X和Y相互独立，并给出在问题中的解释.
(2)根据抽样数据整理出2×2列联表，计算的值，并与临界值比较.
(3)根据检验规则得出推断结论.
(4)在X和Y不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析X和Y间的影响规律.
应用独立性检验解决实际问题大致应包括以下几个主要环节：
归纳总结
思考：独立性检验的思想类似于我们常用的反证法，你能指出二者之间的相同和不同之处吗？
反证法是在某种假设H0之下，推出一个矛盾结论，从而证明H0不成立；而独立性检验是在零假设H0之下，如果出现一个与H0相矛盾的小概率事件，就推断H0不成立，且该推断犯错误的概率不大于这个小概率.
在全部逻辑推理正确的情况下，反证法不会犯错误，但独立性检验会犯随机性错误.
根据今天所学，回答下列问题：
1.总结应用独立性检验解决实际问题时大致包括几个主要环节？
2.你能说说独立性检验的本质吗？
通过比较观测值和期望值之间的差异，来判断事件发生的概率大小.具体的，由所代表的这种差异大小是通过确定的小概率值进行判断的.