期末易错专项：解决问题-2023-2024学年九年级上册苏科版（含解析）

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期末易错专项：解决问题-2023-2024学年九年级上册苏科版
1．如图是一个竖直放置的钉板，其中黑色圆面表示钉板上的钉子，分别表示相邻两颗钉子之间的空隙，这些空隙大小均相等，从入口处投放一个直径略小于两颗钉子之间空隙的圆球，圆球下落过程中，总是碰到空隙正下方的钉子，且沿该钉子左右两个相邻空隙继续下落的机会相等，直至圆球落入下面的某个槽内．请用画树状图的方法求圆球落到槽②的概率．

2．3月5日是学习雷锋纪念日，为此某班设计了多个献爱心送温暖活动，具体内容有三项：A．宣传公益环保；B．敬老院为老人文艺演出；C．福利院探望小朋友，每位同学从中随机选择一项参加．
(1)该班小明同学选择“宣传公益环保”的概率是______．
(2)请用列表或画树状图的方法，求该班小明同学和小亮同学同时选择“宣传公益环保”的概率．
3．某中学为了解八年级学生的体能状况，从八年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A，B，C，D四个等级．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：

(1)求测试结果为C等级的学生数．
(2)若从体能为A等级的2名男生2名女生中随机的抽取2名学生，做为该校培养运动员的重点对象，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率．
4．为了落实教育部“双减”工作要求，促进学生全面发展，丰富学生的课外生活，挖掘学生的兴趣、特长，某中学面向校内全体学生开设课后延时服务，课后延时课内容包括：A舞蹈、B篮球、C美术、D阅读、E合唱、F排球共六个兴趣组，每个学生只能选择其中一项参加．现随机调查了部分学生参加兴趣组的情况，将调查结果绘制成如下不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题：

(1)本次调查的学生有_______人，C美术兴趣组所在扇形的圆心角为_____°；
(2)八年级8班有3名男同学和2名女同学参加了学校的美术兴趣小组，现需选派其中的2名同学参加比赛，用树状图或列表法求恰好抽到一男一女的概率．
5．抗美援朝战争是新中国的立国之战，中国人民志愿军打破了美军不可战胜的神话． 电影《长津湖》将这一段波澜壮阔的历史重新带进了人们的视野，并一举拿下了国庆档的票房冠军，激发了大家的爱国热情，因此，某校开展了抗美援朝专题知识竞赛，所有同学得分都不低于分，现从该校八、九年级中各抽取名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x（分）表示，共分成四个等级，A：；B：；C．；D．），下面给出了部分信息：

八年级抽取的学生等级的成绩为：
九年级抽取的学生等级的成绩为：
八，九年级抽取的学生竞赛成绩统计表：
年级 平均分 中位数 众数 方差
八年级
九年级
请根据相关信息，回答以下问题：
(1)填空： ， ，并补全九年级抽取的学生竞赛成绩条形统计图；
(2)若八年级甲同学测试成绩为分，九年级乙同学测试成绩为分，请问谁的成绩在本年级排名更靠前；
(3)规定成绩在分以上（含 分）的同学被评为优秀，已知该校八年级共有人参加知识竞赛，请计算该校八年级约有多少名同学被评为优秀？
6．某校准备从甲、乙两名同学中选派一名参加全市组织的“学宪法，讲宪法”比赛，分别对两名同学进行了八次模拟测试，每次测试满分为分．现将测试结果绘制成如下统计图表，请根据统计图表中的信息解答下列问题：
平均（分） 中位数（分） 众数（分） 方差（分2）
甲
乙
(1)表中 ； ．
(2)求出乙得分的方差．
(3)根据已有的信息，你认为应选谁参赛较好，请说明理由．
7．新学期，某校开设了一门课程．为了解学生对新开设课程的掌握情况，从八年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次综合测试．测试结果分为四个等级：级分分，级分分，级分分，级分分．将测试结果绘制了如图两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题：

(1)本次抽样测试的学生人数是______名；
(2)扇形统计图中表示级的扇形圆心角的度数是______；
(3)请求出被抽取出来这部分学生的平均成绩．
8．市体育局对甲、乙两运动队的某体育项目进行测试，两队人数相等，测试后统计队员的成绩分别为：7分、8分、9分、10分（满分为10分）．依据测试成绩绘制了如图所示尚不完整的统计图表：
甲队成绩统计表
成绩 7分 8分 9分 10分
人数 0 1 m 7
请根据图表信息解答下列问题：
(1)填空：__________，_________；
(2)补齐乙队成绩条形统计图；
(3)①甲队成绩的中位数为_________，乙队成绩的中位数为___________；
②分别计算甲、乙两队成绩的平均数，并从中位数和平均数的角度分析哪个运动队的成绩较好．
9．已知关于x的一元二次方程．
(1)若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；
(2)若方程两实数根为，，且满足，求实数m的值．
10．关于x的方程有两个不相等的实数根．
(1)求实数k的取值范围；
(2)设方程的两个实数根分别为，存不存在这样的实数k，使得？若存在，求出这样的k值；若不存在，说明理由．
11．某批发商以每件元的价格购进件T恤，第一个月以单价元销售，售出了件，第二个月如果单价不变，预计仍可售出件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出件，但最低单价应高于购进的价格，并且已知第二个月后T恤还有剩余；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为元．设第二个月单价降低x元．
(1)填表
时间 第一个月 第二个月 清仓时
单价（元） 80 ______ 40
销售量（件） 200 ______ ______
(2)如果批发商希望通过销售这批T恤获利元，那么第二个月的单价应为多少元？
12．某杨梅采摘园收费信息如下表：
成人票 儿童票 带出杨梅价格
不超过人 超过人 元/人 元/斤
元/人 每增加1人，人均票价下降1元，但不低于儿童票价
(1)某公司员工（均为成人）在该杨梅采摘园组织团建活动，共支付票价元，求这次参加团建的共多少人？
(2)某社团共人去该采摘园进行综合实践活动，购买了张儿童票，其余均为成人票，总费用不超过元，求本次活动他们最多共带出杨梅多少斤？
13．如图，点A、B、C在上，，求的度数．
14．如图，经过原点且与两坐标轴分别交于点A和点B，点A的坐标为．D是在第一象限内的一点，且．
(1)求的半径．
(2)求圆心C的坐标．
15．如图，为的切线，C为切点，D是上一点，过点D作，垂足为F，交于点E，连接并延长交于点G，连接，已知E为弧的中点．

(1)若的直径为10，求的长；
(2)试探究出与之间的数量关系，并说明你的结论（用两种方法证明）
16．如图，已知中，，以为直径的圆交于，交于 ．
(1)若，求证：为的切线．
(2)若为的切线，，，求的长．
17．图1是传统的手工推磨工具，根据它的原理设计了如图2所示的机械设备，磨盘半径，用长为的连杆将点Q与动力装置P相连（大小可变），点P在轨道上滑动，并带动磨盘绕点O转动，，．
(1)如图2，当与相切时，求的长．
(2)在磨盘转动过程中，求的最大值及最小值
18．如图1，正方形内接于，连接．P是上的动点（不与点A重合），连接．
(1)如图2，当P是的中点时，过点D作的切线，与的延长线交于点Q．
①与之间的位置关系是______．并说明理由；
②求的度数；
(2)连接，请直接写出的度数．
参考答案：
1．
【分析】根据题意，画出树状图，求出所有可能结果数以及圆球落到槽②的结果数，即可求解．
【详解】解：画树状图如下：

所有可能的结果数为4，圆球落到槽②的结果数为2，
（落入槽②）．
【点睛】此题考查了树状图法求概率，解题的关键是理解题意，正确的画出树状图，求出所有可能结果数以及圆球落到槽②的结果数．
2．(1)
(2)
【分析】（1）所有等可能结果有3个，其中选择“宣传公益环保”为其中1种，根据概率定义求解；
（2）运用树状图，或表格工具列示所有可能情况，根据概率定义求解．
【详解】（1）解：所有等可能结果有3个，其中选择“宣传公益环保”为其中1种，故概率为．
（2）解：树状图如下，
两人同时选择A．宣传公益环保的概率为：．

【点睛】本题考查列举法求概率，运用树状图或表格工具将所有可能情况列举出来是解题的关键．
3．(1)测试结果为C等级的学生数为16人；
(2)抽取的两人恰好都是男生的概率为．
【分析】（1）根据A等级的人数和百分比得出总人数，根据总人数得出C等级的人数；
（2）根据题意画出树状图，然后根据概率的计算法则得出答案．
【详解】（1）解：本次抽样调查抽查的人数为人，
C等级人数为人；
答：测试结果为C等级的学生数为16人；
（2）解：画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好都是男生的结果数为2，
所以抽取的两人恰好都是男生的概率．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
4．(1)；
(2)
【分析】（1）由B篮球兴趣组人数除以所占的百分比得出本次调查的学生人数，先求出C美术兴趣组所占的百分比，再乘以即可求出C美术兴趣组所在扇形的圆心角的度数；
（2）列表得出所有等可能的情况有20种，其中恰好抽到一男一女的情况有12种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：本次调查的学生有：（人），
C美术兴趣组所在扇形的圆心角：；
故答案为：，；
（2）在根据题意列表如下：
男1 男2 男3 女1 女2
男1 （男1，男2） （男1，男3） （男1，女1） （男1，女2）
男2 （男2，男1） （男2，男3） （男2，女1） （男2，女2）
男3 （男3，男1） （男3，男2） （男3，女1） （男3，女2）
女1 （女1，男1） （女1，男2） （女1，男3） （女1，女2）
女2 （女2，男1） （女2，男2） （女2，男3） （女2，女1）
由上表可知，所有等可能的情况有20种，其中恰好抽到一男一女的情况有12种，
恰好抽到一男一女的概率．
【点睛】本题考查了列表法求概率、条形统计图、扇形统计图等知识，正确列表是解题关键．
5．(1)，，见解析
(2)八年级
(3)人
【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可解答；
（2）根据八年级九年级的中位数判断即可解答；
（3）根据抽样调查中八年级优秀人数所占比例即可得到全校八年级的优秀人数．
【详解】（1）解：∵八年级抽查总人数为人，
∴八年级等级人数为（人），
八年级等级人数为（人），
八年级等级的人数为（人），
八年级等级的人数为（人），
∵八年级抽取的学生等级的成绩为：，
∴中位数为（分），
∴，
∵九年级抽取的学生等级的成绩为：
∴九年级的众数为，
∴，
∵九年级抽取的学生等级为人，等级为人，等级为人，
∴九年级抽取的学生等级的人数为人，

故答案为；
（2）解：∵八年级的中位数为分，九年级的中位数为，
∴八年级甲同学测试成绩为分比九年级乙同学测试成绩为分更靠前，
（3）解：∵八年级分以上是人，
∴该校八年级的优秀人数为（人），
【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，中位数的定义，众数的定义，读懂条形统计图和扇形统计图是解题的关键．
6．(1)；
(2)乙的方差为；
(3)应选甲参赛较好，理由见解析．
【分析】（1）根据中位数和众数的定义求出b、c的值；
（2）根据方差的定义列式计算即可；
（3）答案不唯一，根据平均数，方差，中位数，众数，可得答案．
【详解】（1）解：甲的成绩从小到大排列为：
∴甲的中位数，
∵出现了次，出现的次数最多，
∴众数是，
故答案为：；
（2）解：∵乙的平均数为，
∴乙的方差为：，
（3）解：应选甲参赛较好（答案不唯一），理由如下：
①从平均数和方差相结合看，甲、乙的平均数相等，乙的方差小于甲的方差，所以乙的成绩比甲的成绩稳定；
②从众数和中位数相结合看，甲的成绩好些．
【点睛】本题考查了中位数和众数的定义，方差的定义，根据平均数、方差、中位数、众数做决策，掌握中位数和众数的定义是解题的关键．
7．(1)
(2)
(3)被抽取出来这部分学生的平均成绩为分
【分析】（1）根据等级人数除以占比得出总人数；
（2）用等级的人数的占比乘以即可求解；
（3）取每组数据的组中值，根据平均数的定义，即可求解．
【详解】（1）本次抽样测试的学生人数是名；
故答案为：．
（2）扇形统计图中表示级的扇形圆心角的度数是，
故答案为：．
（3）、、、四个等级的组中值分别为：分，分，分，分
等级学生有人
所抽取的学生的平均分为：(分)
【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图综合运用，求平均数，从统计图中获取信息是解题的关键．
8．(1)
(2)见解析
(3)①9分，8分②，，中位数角度看甲队成绩较好，从平均数角度看甲队成绩较好
【分析】（1）根据样本容量=频数÷所占百分比，结合圆心角的计算解答即可．
（2）根据样本容量，求得7分的人数补图即可．
（3）①根据有序数据的中间数据或中间两个数据的平均数为中位数计算即可．
②根据加权平均数公式计算即可．
【详解】（1）解：本次抽样调查的样本容量是（人），
∴（人），，
故答案为：；12．
（2）∵（人），
∴补图如下：

（3）①∵甲队的第10个，11个数据都是9分，
∴中位数是（分）；
∵乙队的第10个，11个数据都是8分，
∴中位数是（分）；
故答案为：9分，8分．
②②（分），
（分），
故从中位数角度看甲队成绩较好，从平均数角度看甲队成绩较好．
【点睛】本题考查了中位数，条形统计图，扇形统计图，熟练掌握中位数，平均数，扇形统计图，条形统计图的基本计算是解题的关键．
9．(1)
(2)
【分析】（1）本题考查一元二次方程判别式的意义，直接根据判别式直接进行求解即可；
（2）本题考查一元二次方程根于系数的关系，利用根于系数的关系带入原始即可求解．
【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
∴．
（2）解：由根与系数的关系：，，
∴，
∴．
10．(1)
(2)存在，
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数之间的关系．
（1）根据一元二次方程方程有两个不相等的实数根，得到判别式大于0，列出不等式求解即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，以及，得到，进行求解即可．
掌握根的判别式与根的个数之间的关系，以及根与系数的关系，是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意，得：，
解得：；
（2）存在，
由题意，得：，
∵，
∴，
∴，即：，
解得：．
11．(1)，，
(2)
【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用．根据题意正确的表示单价，销售量，并正确的列方程是解题的关键．
（1）由题意知，第二月的单价为元，销售量为件，清仓时的销售量根据，计算求解，然后补表即可；
（2）依题意得，，计算求出满足要求的解，然后作答即可．
【详解】（1）解：由题意知，第二月的单价为元，销售量为件，清仓时的销售量为件，
补表如下：
时间 第一个月 第二个月 清仓时
单价（元） 80 40
销售量（件） 200
故答案为：，，；
（2）解：依题意得，，
整理得，，
解得，或，
∵当时，，与题意矛盾，
∴（舍去），
∴，
∴，
∴第二个月的单价应为元．
12．(1)
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用．解题的关键在于根据题意正确的列等式、不等式．
（1）设这次参加团建的共人，由题意求得，依题意得，，计算求出满足要求的解即可；
（2）由题意求得，当成人人数大于或等于人时，成人票都是元/人， 由（人），，可得该社团购买的成人票为元/人，设本次活动他们最多共带出杨梅斤，依题意得，，计算求解，然后作答即可．
【详解】（1）解：设这次参加团建的共人，
由题意知，（元），（元），
∵，
∴，
依题意得，，整理得，，
，
∴或，
解得，或（舍去）
∴这次参加团建的共人；
（2）解：∵（人），（人），
∴当成人人数大于或等于人时，成人票都是元/人，
∵（人），，
∴该社团购买的成人票为元/人，
设本次活动他们最多共带出杨梅斤，
依题意得，，
解得，，
∴本次活动他们最多共带出杨梅斤．
13．
【分析】连接，根据圆周角定理可以求出，再根据等腰三角形的性质即可求出，本题考查圆周角定理，解题的关键是熟知一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半．
【详解】解：如下图所示，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
14．(1)4
(2)
【分析】本题考查了圆周角定理、坐标与图形的性质，在圆中找到各定理的适用条件是解题的关键．
（1）连接，判断出，从而得到，根据，可求出的半径．
（2）在中，由勾股定理得到的长，再根据垂径定理求出、的长，从而得到点坐标．
【详解】（1）连接，
∵，
∴，
，，
，
是直角，
是的直径，，
，
的半径是4；
（2）在中，由勾股定理得：，
，
过点作于，于，
由垂径定理得：，，
，，
的坐标为．
15．(1)
(2)，证明见解析
【分析】（1）根据角之间的关系和边之间的关系得是等边三角形，在中，根据含30度角的直角三角形的性质即可得；
（2）方法一：由为等边三角形，可得，在中，根据直角三角形的性质得，即；
方法二：连接，过点O作，垂足为H，根据题意得，四边形是矩形，所以，根据等边三角形的性质得，根据边之间的关系得CE=OE，根据HL得，即可得，由此即可得．
【详解】（1）解：如图所示，连接．

∵，点E为弧的中点，
∴，，
∵为的切线，C为切点，
∴，
∴，
∵，垂足为F，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
∵的直径为10，
∴，
∵是的直径，
∴，
在中，，，
∴，
∴；
（2）解：，证明如下
证明：方法一：如图所示，

∵，
∴，
∴．
∵，
∴为等边三角形，
∴．
∵，
∴．
∴在中，，
∴，
即；
方法二：如图所示，连接，过点O作，垂足为H，

∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，即DE=2EH，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，平行线的判定与性质，等边三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握这些知识点．
16．(1)见解析
(2)
【分析】（1）如图：连接、，根据圆周角定理可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后运用三角形的中位线的性质可得，进而得到即可证明结论；
（2）如图：连接，由圆周角定理可得，再解直角三角形可得，运用勾股定理可得;再运用等腰三角形的性质可得、，进而得到，任何根据切线的性质可得，即；最后根据三角形中位线的性质即可解答．
【详解】（1）解：如图：连接，，
∵为圆直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴为的切线．
（2）解：如图：连接，
∵为的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵为的切线，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了切线的证明、切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形中位线的性质等知识点，正确作出辅助线是解题的关键．
17．(1)10
(2)
【分析】本题主要考查切线的性质及勾股定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
（1）连接，根据切线的性质可得，然后根据勾股定理可进行求解；
（2）如图2，当点Q运动到点时，点P距离点A最远，求出此时的长度；当点Q运动到点时，点P距离点A最近，则可得此时的长度，然后问题可求解．
【详解】（1）连接，如图2，
∵与相切，
∴，
在中，
∴，
在中，；
（2）如图3，当运动到时，点运动在上距离点最远，
在中，，，
∴，
当运动到时，点运动在上距离点最近，
在中，，，
∴．
18．(1)①，理由见解析；②
(2)或
【分析】（1）①连接，由正方形的性质，得到，再根据圆的切线的性质，得到，即可得到与之间的位置关系；
②由正方形的性质可知，，再根据等弧所对的圆周角相等，得到，最后利用平行线的性质，即可得到的度数；
（2）由正方形的性质可知，，分两种情况讨论：①当点P在优弧上时，利用同弧所对的圆周角相等，即可求出的度数；②当点P在劣弧上时，利用圆内接四边形对角互补，即可求出的度数．
【详解】（1）解：①，理由如下：
如图，连接，
正方形内接于，
，
是的切线，
，
；
②正方形，
，
是的中点，
，
，
，
；
（2）解：正方形，
，
①如图1，当点P在优弧上时，
，
；
②如图2，当点P在劣弧上时，
四边形为圆内接四边形，
，
，
综上可知，的度数为或．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全的切线的性质，平行线的判定和性质，同弧或等弧所对的圆周角相等，圆内接四边形对角互补等知识．掌握圆的相关性质，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键．
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