期末易错专项：解决问题-2023-2024学年八年级上册苏科版（含解析）

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期末易错专项：解决问题-2023-2024学年八年级上册苏科版
1．如图是等腰直角三角形所在的平面，，先过点A画一条直线，然后分别过点B，C作直线的垂线，垂足分别为M，N，若，，求的长．

(1)补全图形，求出的长；
(2)连接，直接写出的面积为________．
2．某综合与实践小组想要测量如图所示的池塘，两个端点的距离，但没有足够长的测量工具，于是根据平时学习到的知识，设计了如下的测量方案：
①先在池塘一侧的平地上取一个可以直接到达，两点的点（可以测得，的距离）；
②连接并延长至点，使________，连接并延长至点，使________；
③连接并测量出它的长度，则________的长度就是，两个端点的距离.
④用直尺和圆规在图中画出测量示意图；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
⑤成员任务分配与实地测量（略）．
(1)请你将此测量方案补充完整；
(2)说明此测量方案合理的理由．
3．如图，，点、在上，，．问：线段和有什么关系？请说明理由．
4．如图，为等边三角形，在内作射线，点B关于射线的对称点为点D，连接，作射线交于点E，连接．

(1)依题意补全图形；
(2)设，求的大小（用含的代数式表示）；
(3)用等式表示，，之间的数量关系，并证明．
5．已知：如图中，，，平分，平分，过作直线平行于，交，于，．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)求的周长．
6．如图，在正方形网格上有一个，网格上的每个小正方形的边长为1（无刻度直尺作图）．
(1)在图1中画关于直线的对称图形；的面积______；
(2)在图1中直线上画一点P，使的周长最小；
(3)在图2中直线上画点Q，使得．
7．已知：
(1)如图1，若是等边三角形，求证：；
(2)如图2，若是中点，与交于点，，，求证：；
(3)如图3，在（1）的条件下，过作交延长线于点，，，求的长．
8．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标，，．
(1)图中画出关于轴对称的图形其中分别是的对应点，不写画法；
(2)写出，，三点的坐标：______，______，______；
(3)在y轴上找一点，使得最小，这个最小值为______．
(4)若线段上存在点D，连结，满足，则D点坐标为：______．
9．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，已知的三个顶点在格点上．
(1)画出关于直线l对称的；
(2)在直线l上找一点P，使的长最短；（不写画法，保留画图痕迹）；
(3)求的面积．
10．我们定义：在一个图形上画一条直线，若这条直线既平分该图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“等分积周线”．

(1)如图1，在中，，且，请你在图1中作出的一条“等分积周线”；
(2)在图1中，过点C能否画出一条“等分积周线”？若能，说出确定的方法；若不能，请说明理由．
(3)如图2，四边形中，，垂直平分，垂足为F，交于点E，已知，，．求证：直线为四边形的“等分积周线”；
(4)如图3，在中，，，请你不过的顶点，画出的一条“等分积周线”，并说明理由．
11．如图，长方形边沿折痕折叠，使点D落在上的F处，已知，的面积为24，

(1)求的长度；
(2)求的长度．
12．已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分．
(1)求a，b，c的值；
(2)求的平方根．
13．如图1，已知并排放置的正方形和正方形的边长分别为、， A、B、E三点在一直线上，且正方形和正方形的面积之差为 12．
(1)用含有、的代数式，表示图中阴影部分的面积；
(2)、，则四边形的面积是多少？
(3)图中正方形绕点B顺时针旋转后的对应图形， 连接、，若四边形的面积是，求、的值．
14．我们规定用表示一对数对，给出如下定义：记，将与称为数对的一对“对称数对”．例如的一对“对称数对”为与．
(1)数对的一对“对称数对”是______和______；
(2)若数对的一对“对称数对”的一个数对是，求的值．
15．如图，在平面直角坐标系中，，，．
(1)求的面积；
(2)在图中作出关于轴对称的；
(3)写出点，，的坐标．
16．某儿童乐园每月的场地租金和工资共计元，每月利润（元）与售出门票数量（张）的变化关系如表所示：
/张 …
/元 …
(1)在这个过程中，自变量是______，因变量是______；
(2)观察表中数据可知，每月售票量至少达到______张时，该儿童乐园才不会亏损？
(3)若想获利元，则当月应卖出多少张门票？
17．一个容器内有进水管和出水管，开始内只进水不出水，在随后的内既进水又出水，第后只出水不进水.进水管每分钟的进水量和出水管每分钟的出水量始终不变，容器内水量y（单位：L）与时间x（单位：）之间的关系如图所示.根据图象
求：
(1)进水管每分钟的进水量为多少？
(2)时，y与x的关系；
(3)求当时，y的值.
18．如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于，两点，过轴负半轴上一点作直线交轴正半轴于点，且．请解答：
(1)的长为______，的长为______；
(2)如图，点是线段上一点，连接，作交于点，连接，求点的坐标并判断的形状；
(3)如备用图，若点为直线上的点，点为轴上的点，请问：直线上是否存在点，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．(1)补全图形见解析；的长为5或1
(2)2
【分析】（1）分两种情况补全图形，证明，得出，，即可得出结果；
（2）分两种情况，根据三角形面积公式进行计算即可．
【详解】（1）解：当点B、C在同侧时，补全图形，如图所示：

∵，，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴．
当点B、C在异侧时，补全图形，如图所示：
∵，，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴；
综上分析可知，的长为5或1．
（2）解：当点B、C在同侧时，如图所示：
；
当点B、C在同侧时，如图所示：
．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，垂线定义，余角性质，三角形面积的计算，解题的关键是根据题意画出图形，熟练掌握三角形全等的判定方法．注意分类讨论．
2．(1)；；；作图见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形判定和性质，（1）构造全等三角形，使得，即可解答；（2）证明即可说明，题中想测，就需要得到与相等的线段，据此构造全等三角形是解题的关键．
【详解】（1）解：①先在池塘一侧的平地上取一个可以直接到达，两点的点（可以测得，的距离）；
②连接并延长至点，使，连接并延长至点，使；
③连接并测量出它的长度，则的长度就是，两个端点的距离.
④用直尺和圆规在图中画出测量示意图；（如图所示，即为测量示意图）
⑤成员任务分配与实地测量（略），
故答案为：；；；
（2）解：在与中，
，
，
．
3．，理由见解析
【分析】本题考查三角形全等的性质与判定；由已知，可以得出，，又因为，则根据来判定，根据全等三角形的性质即可得出，，从而得出．
【详解】证明：，；理由如下，
，
，
又，
，
在与中 ，
．
，．
．
4．(1)见详解
(2)
(3)，证明见详解
【分析】（1）依题意补全图形；
（2）先得出，，再得出，，进而得出，，得出，即可得出结论；
（3）如图2，在上取一点F，使，先判断出是等边三角形，得出，，再判断出，得出，即可得出结论
【详解】（1）解：依题意，补全图形如图1所示

（2）解：∵是等边三角形，
∴，，
∵点B关于射线的对称点为点D，
∴，，
∴，，
∴，
∴；
（3）证明：，过程如下：
如图2，在上取一点F，使，

由（2）知，，
∵，
∴，
∴，
由折叠知，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
由（2）知，，
∴，
∴，
∴．
即
【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了对称性，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形的判定和性质，作出辅助线构造出全等三角形是解（3）的关键．
5．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了等腰三角形的判定及三角形周长计算，利用角平分线与平行结合构造等腰三角形是关键；
（1）根据，平分，即可得到为等腰三角形；
（2））根据，平分，可得到，再利用线段相等转化即可确定的周长；
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）∵，
∴
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴
．
6．(1)画图见解析，8.5
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查作图-轴对称变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，正确作出图形．
（1）利用网格特点和轴对称的性质画出关于的对称点即可，用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算的面积；
（2）连接交于，利用得到，则根据两点之间线段最短可判断此时点满足条件；
（3）利用网格的特点求解即可．
【详解】（1）如图所示，即为所求；
的面积．
（2）如图所示，点P即为所求；
（3）如图所示，点Q即为所求；
7．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据等边三角形的性质特点找到边长之间的关系以及角度的值，然后再根据边长之间的关系，得到角度之间的关系，进而求得结果；
（2）先根据题意得到所在直线是的中垂线，找到角度之间的关系，进而确定，作辅助线，构造出全等三角形，根据四边形内角和得到角度的大小，进而确定为等边三角形，即可得到结果；
（3）在（1）的条件下可找到，再结合（3）中给的条件，可以确定，作辅助线，构造出全等的三角形，可得到，再在上取一点，使，构造出另外一组全等三角形，然后可得到边长之间的关系，最后求得结果．
【详解】（1）证明：设，
是等边三角形，
，，
∵，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：∵，
为等腰三角形，
是中点，
是的中线，
，
，
所在直线是的中垂线，
，，
，，
，
设，则，
在中，，
，
，
，
，
作，，垂足分别为、，如图所示：
，
，
在和中，
，
，
，
在四边形中，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
∵，
；
（3）解：∵，
，
，
，
，
，
，
，
，
延长至，使，连接，
，
在和中，
，
，，
在上取一点，使，如图所示：
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的综合问题，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质，添加辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．
8．(1)见解析
(2)1，5； 1，0； 4，3
(3)
(4)
【分析】（1）根据轴对称的性质找出对应点即可求解；
（2）根据图形直接写出坐标；
（3）连接交y轴于点P，则点P即为所求，再根据勾股定理求出的即可；
（4）作于点E，证明，利用三线合一得，进而可求出点D的坐标．
【详解】（1）如图所示，即为所求；
（2），
故答案为：1，5；1，0；4，3；
（3）如图所示，点P即为所求，
最小值即为线段的长，
故答案为：．
（4）如图，作于点E．
∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了轴对称作图，轴对称的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握轴对称变换的性质是解题的关键．
9．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了作图-轴对称变换，最短路径问题，网格中求三角形的面积；
（1）利用网格特点和轴对称的性质画出、、关于直线的对称点、、即可；
（2）连接交直线l于P，则利用两点之间线段最短可判断点P满足条件；
（3）利用割补法求解即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，点P即为所求；
（3）解：的面积为：
10．(1)见解析
(2)不能，理由见解析
(3)见解析
(4)见解析
【分析】（1）根据等腰三角形的性质作出的中垂线即可求解．
（2）若直线平分的面积，那么，得出，则，进而可求解．
（3）根据勾股定理得：，求得，，进而得出，，进而可求证结论．
（4）在上取一点F，使得，在上取一点E，使得，作直线，利用全等三角形的判定及性质可推出结论，，则可说明是的“等分积周线”．
【详解】（1）解：，
为等腰三角形，
则由等腰三角形的“三线合一”可得，作线段的中垂线，
，
，，
如图所示，即为所求：

（2）解：不能，
理由：如图2，

若直线平分的面积，那么，
，
，
，
∴过点C不能画出一条“等分积周线”．
（3）证明：连接、，设，如图：

垂直平分，
，，，
，，，，
和中，根据勾股定理可得出：
，即，
解得：，
，，
，，
，
，
，
，
∴直线为四边形的“等分积周线”．
（4）解：如图4，在上取一点F，使得，在上取一点E，使得，
作直线，则是的“等分积周线”，

理由：由作图可得：，
在上取一点G，使得，则有，
，
，
在和中
，
，
，
又易得，
，
，
，
是的“等分积周线”．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、应用与设计作图、全等三角形的判定及性质、勾股定理，根据题意正确分割出“等分积周线”是解题的关键．
11．(1)
(2)
【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理的知识，解题的关键是掌握折叠的性质，勾股定理的运用．
（1）根据折叠的性质，得，；根据，解出，可得的值，
（2）根据直角三角形，利用勾股定理，即可求出．
【详解】（1）解：∵四边形是长方形，
∴，，，
∵是沿折痕折叠得到的，
∴，，
∵，
∴，
∴在直角三角形中，，
∴，
∴，
（2）∵，
∴，，
设，
∴，
∴在直角三角形，，
∴，
∴，
∴．
12．(1)，，
(2)
【分析】（1）根据立方根及算术平方根的定义求得，的值，然后利用无理数的估算求得的值即可；
（2）将，，的值代入中计算，再根据平方根的定义即可求得答案．
【详解】（1）解：的立方根是3，的算术平方根是4，
，，
解得：，；
，
，
是的整数部分，
；
（2），，，
，
的平方根是，
所以的平方根是．
【点睛】本题考查无理数的估算，平方根，算术平方根及立方根．
13．(1)
(2)6
(3)
【分析】本题考查了完全平方公式与图形面积、平方差公式与图形面积、平方根解方程、解二元一次方程组等知识点，熟练掌握乘法公式是解题关键．
（1）利用两个正方形的面积之和减去三个直角三角形的面积，整式的运算法则计算即可得；
（2）利用梯形的面积公式，平方差公式计算即可得；
（3）先利用梯形的面积公式、完全平方公式、平方根解方程可得，再求出，然后解二元一次方程组即可得．
【详解】（1）解：图中阴影部分的面积为
．
答：图中阴影部分的面积为．
（2）解：如图，连接、，
∵正方形和正方形的面积之差为 12，
，
则四边形的面积是，
答：四边形的面积是6．
（3）解：∵四边形的面积是，
∴，即，
解得或（不符合题意，舍去），
又，
，
，
联立，
解得．
14．(1)；
(2)
【分析】本题考查新定义及算术平方根，熟练掌握其定义是解题的关键．
（1）根据新定义及算术平方根的定义即可求得答案；
（2）根据新定义即可求得答案．
【详解】（1）∵，
∴的一对“对称数对”是和，
故答案为：；；
（2）由题意可得．
15．(1)
(2)见解析
(3)，，
【分析】本题主要考查了坐标与图形，坐标与图形变化—轴对称，熟知关于y轴对称的点的坐标特点是解题的关键．
（1）先求出，轴，再根据进行求解即可；
（2）利用关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同，找到A、B、C对应点的位置，然后描点，再顺次连接即可；
（3）根据（2）所求写出对应点的坐标即可．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，轴，
∴；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：由图可知，，．
16．(1)每月售出门票数量，每月利润；
(2)；
(3)．
【分析】（）应用自变量和因变量的定义进行判定即可得出答案；
（）直接读图理解，为负值是亏损，值为正值时盈利，为时，不亏不赚；
（）根据表格列出关于的函数解析式，再根据获利元即可解答；
本题考查了自变量与因变量的定义，一次函数的实际应用，掌握一次函数的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：∵每月利润随每月售出门票数量改变而改变，
∴每月售出门票数量是自变量，每月利润是因变量，
故答案为：每月售出门票数量，每月利润；
（2）解：观察表中数据可知每月售出门票数量达到张以上时，利润大于，则该儿童乐园才不会亏损，
故答案为：；
（3）解：由表中可知，每月利润与每月售出门票数量之间的关系为：，
当时，
，
解得，
答：想获利元，则当月应卖出张门票．
17．(1)
(2)
(3)30
【分析】本题考查一次函数的应用，理解图象的含义、利用待定系数法求解函数表达式是本题的关键．
（1）根据图象，在最初的内容器内的水量从0增加到，并且每分钟的进水量不变，据此作答即可；
（2）利用待定系数法，设与的关系式为．将坐标和代入求解即可；
（3）将代入（2）中的函数关系式，求出的值即可．
【详解】（1）解： ，
进水管每分钟的进水量为．
（2）当时，设与的关系式为．将坐标和代入，
得，解得，
时，与的关系为．
（3）当时，．
当时，的值为30．
18．(1)4，2
(2)，是等腰直角三角形；
(3)直线上存在点Q，使得是以E为直角顶点的等腰直角三角形，Q点的坐标为或．
【分析】（1）先求出，由全等三角形的性质可得；
（2）利用待定系数法可求直线的函数表达式，可得，由全等三角形的性质可得，由可证，可得，分别过点M、N作轴于点E，轴于点F，由全等三角形的判定和性质即可求解；
（3）分两种情况讨论，由全等三角形的性质和一次函数的性质可求点Q坐标．
【详解】（1）解：把代入得：，
∴点，
∴，
把代入得：，
∴点，
∴，
∵，
∴，
故答案为：4，2；
（2）解：设直线对应的函数表达式为：，
∵，
∴，
把代入得，
解得，
∴直线对应的函数表达式为，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
即，
∵，
即，
∴，
∴，
∴，则是等腰直角三角形；
分别过点M、N作轴于点E，轴于点F，

∴，
∵，
∴，
∴，
∴点N的坐标为；
（3）解：直线上存在点Q，使是以E为直角顶点的等腰三角形．
∵为直线上的点，
∴，
∴，
①当点P在点B下方时，如图，连接，过点Q作，交的延长线于M点，

∵，
∴轴，，点M的纵坐标为2，，
∵是以E为直角顶点的等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴Q点的纵坐标为3，
把代入中得：，
∴点；
②当点P在点B上方时，如图，过E点作轴，过点Q作于M点，过P点作交的延长线于N点．

则，
∴N点的横坐标为1，
则，
∵是以E为直角顶点的等腰三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴M点的纵坐标为1，
∴Q点的纵坐标为1，
把代入中得：，
∴；
综上所述，直线上存在点Q，使得是以E为直角顶点的等腰直角三角形，Q点的坐标为或．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
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