期末易错精选题练习-2023-2024学年数学九年级上册人教版（含解析）

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期末易错精选题练习-2023-2024学年数学九年级上册人教版
一、单选题
1．做好“垃圾分类”，倡导绿色健康的生活方式，是我们做为公民应尽的义务，如图所示垃圾分类标志，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．在一只不透明的口袋中放入除颜色外规格完全相同的白球个，黑球8个，黄球4个，搅匀后随机从中摸取一个恰好是白球的概率为，则的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．下列函数中，y是x的二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
4．解一元二次方程，配方后正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知等腰三角形的边长分别是、、3，且、是关于的一元二次方程的两根，则的值为（ ）
A．23 B．19 C．23或19 D．23或18
6．如图、在同一平而直角坐标系中、直线和抛物线的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，中，，内切于点，，，则的半径为（ ）
A． B． C． D．
8．如图在中，弦相交于点P．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．请在横线上写一个常数，使得关于的方程 ．有两个相等的实数根．
10．某地区前年参加中考的人数为5万人，今年参加中考的人数为万人．则这两年该地区参加中考人数的年平均增长率是 ．
11．将一种树苗移植至特殊环境下成活的情况如图所示，由此可估计这种树苗移植至该环境下成活的概率约为 .
12．对于一个函数，自变量取时，函数值y也等于，则称a是这个函数的不动点．已知二次函数．
（1）若3是此函数的不动点，则m的值为 ．
（2）若此函数有两个相异的不动点，，且，则m的取值范围为 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，点，，以点B为中心，把线段顺时针旋转得到线段，则点C的坐标为 ．
14．如图，是上的点．若，则的度数为 ，的度数为 .
15．如图，在菱形中，对角线和交于点，分别以为圆心，为半径作弧，若，，则图中阴影部分的面积是 ．
16．如图是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若为函数图象上的两点，则．其中正确结论有 （填入序号）．
三、解答题
17．已知某多项选择题的四个选项中有两个正确答案，该题满分为4分，得分规则是：选出两个正确答案且没有选错误答案得4分；只选出一个正确答案没有选错误答案得2分；不选或所选答案中有错误答案的0分．
(1)任选一个答案，得到2分的概率是______．
(2)请利用树状图或表格求任选两个答案，得到4分的概率．
18．某商店经销的某种商品，每件成本为30元，经市场调查，当售价为每件70元时，可销售20件，假设在一定范围内，售价每降低1元，销售量平均增加2件．如果用x表示商品售价．
(1)当售价为每件50元，销量为________件：
(2)用含x的代数式表示商品的销量为________件；
(3)如果降价后商店销售这批商品获利1200元，问这种商品每件售价是多少元？
19．如图，某校准备一面利用墙，其余各面用篱笆围成一个矩形花辅．已知旧墙可用的最大长度为13m，篱笆长为24m，设垂直于墙的边长为x．
(1)若围成的花圃面积为时，求的长；
(2)如图，若计划将花圃面积围成，请你判断能否围成这样的花圃？如果能，求的长；如果不能，请说明理由．
20．如图①，正方形的边长为5，点为正方形边上一动点，过点作于点，将绕点逆时针旋转得，连接．
(1)证明：；
(2)如图②，延长交于点．判断四边形的形状，并说明理由．
21．如图，是的直径，直线与相切于点，，垂足为．求证：平分．
22．如图，中，以为直径的交于点，是的切线，且，垂足为，延长交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
23．已知二次函数．
(1)求证：当时，二次函数图像与轴有两个公共点．
(2)当，时，求的取值范围．
(3)若二次函数图像与轴的两个交点在与之间（不包含这两点），则的取值范围是______．
24．在2024年元旦即将到来之际，学校准备开展“冬日情暖，喜迎元旦”活动，小星同学对会场进行装饰，如图1所示，他在会场的两墙、之间悬挂一条近似抛物线的彩带，如图2所示，已知墙与等高，且、之间的水平距离为8米．
(1)如图2，两墙、的高度是________米，抛物线的顶点坐标为________；
(2)为了使彩带的造型美观，小星把彩带从点M处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点M到墙距离为3米，使抛物线的最低点距墙的距离为2米，离地面2米，求点M到地面的距离．
参考答案：
1．C
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，仔细观察图形根据定义正确判断是解答本题的关键．根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A、本选项图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
B、本选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、本选项图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
D、本选项图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．
故选：C．
2．C
【分析】本题考查已知概率求数量，根据概率公式列分式方程，解方程即可．
【详解】解：由题意知：，
化为整式方程，得，
解得，
经检验，是分式方程的解，
故的值为6，
故选C．
3．B
【分析】本题考查二次函数的定义，根据“形如的式子叫二次函数”判断即可．
【详解】解：A. ，分母中有字母，不是整式函数，不符合题意；
B. 是二次函数，符合题意；
C. 是一次函数，不符合题意；
D. 是反比例函数，不符合题意；
故选：B．
4．D
【分析】本题考查了解一元二次方程，根据配方法则进行配方即可；能配方后得出是解此题的关键．
【详解】解：
故选：D．
5．A
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、三角形的三边关系：，代入数值，化简计算，然后结合“等腰三角形的边长分别是、、3”， 三角形的三边关系进行分类讨论，即可作答．
【详解】解：∵、是关于的一元二次方程的两根，
∴
∵等腰三角形的边长分别是、、3
∴当时，则
解得；
此时等腰三角形的边长分别是，不满足三边关系，故舍去；
当时，则
解得；
此时等腰三角形的边长分别是，不满足三边关系，故舍去；
当时，则
解得；
此时等腰三角形的边长分别是，满足三边关系；
故选：A
6．C
【分析】本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象，根据图形确定出、的正负情况是解题的关键．先根据一次函数图象确定出，，然后确定出抛物线开口方向和对称轴，即可得解．
【详解】解：A、由一次函数图象可知：，当时，抛物线开口向下，故此选项不符合题意；
B、由一次函数图象可知：，，当，，抛物线对称轴为直线，故此选项不符合题意；
C、由图可知，，，当，，抛物线开口向下，对称轴为直线，故此选项符合题意．
D、由一次函数图象可知：，，当，，抛物线对称轴为直线，故此选项不符合题意；
故选：C．
7．D
【分析】本题考查了切线长定理、切线的性质、正方形的判定与性质、勾股定理，连接、，，由切线长定理可得，，，证明四边形是正方形，设，则，，由勾股定理可得，进行计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，连接、，，
，
由切线长定理可得，，，
，，
，，
，，，，
四边形是正方形，
设，则，，
在中，由勾股定理可得：，
，
解得：或（不符合题意，舍去），
的半径为，
故选：D．
8．B
【分析】本题主要考查圆周角，三角形外角的性质，熟练掌握同弧或等弧所对的圆周角相等是解题的关键．根据题意可得，然后根据三角形外角的性质可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴；
故选B．
9．9
【分析】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的方程，求出的值即可．
【详解】解：，
故答案为：9．
10．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设这两年该地区参加中考人数的年平均增长率是，根据题意列出方程，解方程即可求解，根据题意列出方程是解题的关键．
【详解】解：设这两年该地区参加中考人数的年平均增长率是，根据题意得，
解得：（舍去），
故答案为：．
11．0.80
【分析】本题考查了由频率估计概率，由图可知，这种树苗移植后成活的频率在0.80附近波动，由此即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：由图可知，这种树苗移植后成活的频率在0.80附近波动，
这种树苗移植至该环境下成活的概率约为0.80，
故答案为：0.80．
12．
【分析】本题考查一元二次方程与二次函数结合．
（1）根据不动点定义当，代入解一元一次方程即可得到答案；
（2）根据不动点定义列方程解出一元二次方程的解，结合及判别式大于0即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
当，，代入可得，
，
解得：；
设函数不动点为n，由题意可得，
，且有两个解，，
解得：，，
且，解得：，
∵，
∴，，
解得：，
故答案为：；．
13．
【分析】本题考查坐标与图形，全等三角形的判定和性质等知识，过点作轴于点，证明，推出，，可得结论．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
【详解】解：过点作轴于点，
∵，，
∴，，
由旋转可知： ，，则，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了圆周角定理，由题意可得的度数为，，即可得解，熟练掌握圆周角定理是解此题的关键．
【详解】解：，
的度数为，，
故答案为：，．
15．/
【分析】本题主要考查菱形的性质，不规则图形面积的计算，扇形面积的计算，掌握菱形的性质，扇形面积的计算方法是解题的关键．
根据菱形的性质可求出，在中可求出的长度，由此可求出扇形的面积，所以阴影部分的面积为扇形的面积减去的面积的倍，由此即可求解．
【详解】解：∵四边形是菱形，，，
∴，，，
∴是直角三角形，
∴，则，
∴，，
∴，，则，
∴扇形的面积，，
∴阴影部分的面积，
故答案为：．
16．①②④
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系问题，根据抛物线的对称轴、的取值与抛物线与x轴的交点的个数关系、抛物线与x轴的交点与对称轴的关系及抛物线的特征进行分析判断．
【详解】解：①由函数的图形可知，抛物线与x轴有两个交点，
∴，即：，故结论①正确；
②∵二次函数的对称轴为直线，
∴
∴,即：，故结论②正确．
③∵二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为直线，
∴二次函数与x轴的另一个交点的坐标为，
∴当时，有，故结论③错误；
④∵抛物线的开口向下，对称轴，
∴当时，函数值y随着x的增大而减小，
∵，则，则结论④正确，
所以，正确的结论是①②④，
故答案为：①②④．
17．(1)
(2)
【分析】本题考查了简单的概率求解，列举法求概率．根据题意正确的列表格是解题的关键．
（1）根据简单的概率公式计算求解即可；
（2）根据题意列表格，然后求概率即可．
【详解】（1）解：由题意知，四个选项中有两个正确答案，任选一个答案，得到2分的概率是，
故答案为：；
（2）解：假设为正确选项，依题意列表如下：
由表格可知，共有种等可能的结果，其中得到4分共有2种等可能的结果，
∵，
∴得到4分的概率为．
18．(1)60
(2)
(3)60元或50元
【分析】本题考查的知识点是生活中常见的商品打折销售问题：
（1）根据销量等于原来的销量降低的价格，即可求解；
（2）根据销量等于原来的销量降低的价格，即可求解；
（3）根据题意得出，(售价成本)(原来的销量降低的价格)，据此列方程求解即可．
【详解】（1）解：根据题意得：当售价为每件50元，销量为件；
故答案为：60
（2）解：根据题意得：商品的销量为件；
故答案为：
（3）解：设每件商品应降价y元时，根据题意，得
整理得：，
解这个方程得：，
答：每件商品售价60元或50元时，该商店销售利润达到1200元．
19．(1)
(2)不能，理由见解析
【分析】（1）根据题意列方程，解方程即可得到结论；
（2）根据题意列方程，根据判别式即可得到结论．
此题主要考查了一元二次方程的应用，同时也利用了矩形的性质，解题时首先正确了解题意，然后根据题意列出方程即可解决问题．
【详解】（1）解：设垂直于墙的边长为x．
根据题意得：,
则，
解得：，
当时，，时，，
墙可利用的最大长度为，故舍去．
答：的长为；
（2）解：不能围成这样的花圃．理由如下：
依题意可知：，
即，，
所以方程无实数根，
答：不能围成这样的花圃．
20．(1)见解析
(2)四边形是正方形，理由见解析
【分析】本题考查了旋转的性质、正方形的判定与性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由旋转的性质可得，，由正方形的性质可得，，再证明，即可得出；
（2）先证明四边形是矩形，根据邻边相等的矩形是正方形即可证明．
【详解】（1）证明：由题意和旋转的性质可得：，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，即，
∵，，，
∴，
∴；
（2）解：四边形是正方形，
理由如下：由（1）得：，且，
∴，，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形．
21．证明见解析．
【分析】本题考查了圆的切线的性质，平行线的判定和性质，解题的关键是正确作出辅助线，推导出．
【详解】证明：连接，
∵直线与相切于点，
∴，
又∵，
∴，
∴,
∵，
∴，
∴，
即平分．
22．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据已知可得，则，又，等量代换得出，即可证明；
（2）过点作于设，证明四边形为矩形，在中，，列方程并解方程，即可求解．
【详解】（1）证明：连接，
是的切线，
半径，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：过点作于，设，
过圆心
.
，，
，
四边形为矩形，
，
在中，，
即
，
．
【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，等腰三角形的判定与性质，平行线的判定，矩形的判定与性质及勾股定理应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．
23．(1)见解析
(2)
(3)或
【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题、二次函数的性质、解不等式组，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
（1）计算出，由可得，，从而得出，即可得证；
（2）当时，，由抛物线开口方向和对称轴可得当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，计算出当时，，当时，，由此即可得出答案；
（3）求出抛物线的顶点为，再分两种情况：当时，则有；当时，则有，分别计算即可得出答案．
【详解】（1）证明：在中，，
，
，，
，即，
当时，二次函数图像与轴有两个公共点；
（2）解：当时，，
对称轴为直线，
，
抛物线开口向下，
当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，
当时，，当时，，
当，时，的取值范围为；
（3）解：，
抛物线的顶点为，
二次函数图像与轴的两个交点在与之间（不包含这两点），
当时，则有，
解得：；
当时，则有，
解得：；
综上所述：若二次函数图像与轴的两个交点在与之间（不包含这两点），则的取值范围是：或，
故答案为：或．
24．(1)3，
(2)2.25米
【分析】本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法求二次函数表达式、二次函数图像与性质、将二次函数一般式化为顶点式等知识，
（1）由待定系数法求出函数表达式，进而求解；
（2）由待定系数法求出函数表达式，当时，，即可求解；
解答此类问题的关键是明确题意，求出函数相应的解析式，根据函数的顶点式可以求得函数的最值．
【详解】（1）解：由题意得，抛物线的对称轴为，
则，解得：，
抛物线的表达式为，
∴点，即（米），
当时，，即顶点坐标为，
故答案为：3，；
（2）解：设抛物线的表达式为，
将点的坐标代入上式得，解得，
抛物线的表达式为，
当时，（米），
点到地面的距离为2.25米．
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