期末经典题型检测卷-2023-2024学年数学九年级上册苏科版（含解析）

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期末经典题型检测卷-2023-2024学年数学九年级上册苏科版
一、单选题
1．下列方程一定是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为（　　）
A． B．1 C． D．2
3．在一次体育测试中，嘉琪所在小组人的成绩分别是：，，，，．．则这人体育测试成绩的中位数是（ ）
A．47 B．48 C． D．49
4．下列命题中，真命题的个数是（　　）
①圆的每一条直径都是它的对称轴；②平分弦的直径必定垂直于这条弦；③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；④在同圆中，相等的弦所对的弧相等．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5．参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛场，设共有个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，是的直径，垂直于弦于点D，的延长线交于点E．若，，则的长是（　　）
A．1 B． C．2 D．4
7．如图，在中，弦的长，圆心到的距离是，那么的半径是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，、、是上的三点，并且，点是圆上的一个动点点不与点、、重合，连接、，则的度数是( )
A． B． C．或 D．或
二、填空题
9．一元二次方程的根的情况是 ．
10．若圆锥的底面圆半径为2，母线长为5，则该圆锥的侧面积是 ．
11．圆周率是无限不循环小数．历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对有过深入的研究．目前，超级计算机已计算出的小数部分超过31.4万亿位．有学者发现，这10个数字出现的频率趋于稳定接近相同，从的小数部分随机取出一个数字，估计数字是6的概率为 ．
12．已知关于x的一元二次方程的两根为，则 ．
13．在方差计算公式中，可以看出的值为 ．
14．如图，在的内接四边形中，，点E在上，则 ．
15．如图，在中，，是的外接圆，，则图中阴影部分的面积 （结果保留和根号）．
16．如图，中，，，，D为内一动点，为的外接圆，交于点E，直线交于点P，，则的最小值为 ．
三、解答题
17．一个三角形两边长是3和4，第三边的长是方程的根，求该三角形的周长．
18．随着人们生活水平的提高，节假日大家都喜欢游览观光祖国的大好河山，但一定要注意安全，特别要防止病毒的传染．我们利用学过的数学知识来解决一个关于病毒传染的问题：一个游客在旅游时，因不意防范，患上了流感，回家后，经两轮传染后有81人患上了流感，那么平均一个人传染了几个人？经过三轮传染后共有多少人患上了流感？
19．某餐饮店开拓线上团购业务，于今年五月底上线团购券，六月份销售了256张，七、八月份该团购券十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，八月份的销售量达到400张，求七、八月份该团购券销售量的月平均增长率．
20．广州的白云山、越秀山、莲花山和大夫山被誉为广州四大名山，不仅风景秀美而且有丰厚的历史底蕴，是广州市民喜欢游玩之地．小明、小丽两家人决定周末去游玩，并用抽卡片的方式从白云山、越秀山、莲花山和大夫山（分别记为、、、）选出一个景点．他们准备了张不透明的卡片，正面分别写上、、和．卡片除正面字母不同外其余均相同．
(1)小明随机抽取一张卡片，则抽取到卡片的概率是_______；
(2)小明随机抽取一张卡片后，放回洗匀，小丽再随机抽取一张卡片，请用列或画树状图的方法求他们都抽取到同一地点的概率．
21．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．将绕点顺时针旋转，得到，
(1)画出，并直接写出点的坐标为 ．
(2)求出旋转过程中边扫过的面积．
22．如图，在中，，以为直径的交于点，，垂足为．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
23．如图①，点、、在上，且，是弧上的一点，（点不与点、重合），连接、、，在上截取，连接．若，解答下列问题：
(1)求证：是等边三角形；
(2)求证：是等边三角形；
(3)如图②，若点和圆心重合，，则的长为 ．
参考答案：
1．C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义；只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程有三个特点：只含有一个未知数；未知数的最高次数是2；是整式方程．
【详解】解：A. 是二元一次方程，故本选项不符合题意；
B. 当时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C. 是一元二次方程，故本选项符合题意
D. 是分式方程，故本选项不符合题意；
故选：C．
2．B
【分析】根据一元二次方程的根的定义把方程根代入，得到关于m的方程，解方程即可得到m的值．此题考查了一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的定义是解题的关键．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是，
∴，
解得，
故选：B
3．B
【分析】本题考查了中位数的知识，解答本题的关键是掌握中位数的定义，注意在求解前观察：数据是否按大小顺序排列．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，由此计算即可．
【详解】解：将这组数据从小到大排序后，这组数据的中间两个数为，，
这组数据的中位数为．
故选：B．
4．D
【分析】本题考查判断命题的真假，圆的对称性，垂径定理，圆周角定理．掌握相关知识点，是解题的关键．
【详解】解：①圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴；故①是假命题；
②平分弦（不是直径）的直径必定垂直于这条弦；故②是假命题；
③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；故③是真命题；
④在同圆中，一弦对两弧，所以相等的弦所对的弧不一定相等，故④是假命题；
故选D．
5．D
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握每两队之间都进行两场比赛的意义是解题的关键．
【详解】根据题意，得，
故选D．
6．C
【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，由垂径定理得到，设，则，由勾股定理得，解方程求出，由是的直径，得到，，则．
【详解】解：∵，
∴，，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∵是的直径，
∴，
∴，
故选C．
7．B
【分析】本题考查了勾股定理与垂径定理；根据图形可得，在中，勾股定理，即可求解．
【详解】解：∵弦的长，圆心到的距离是，
∴，
在中，，
故选：B．
8．D
【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补；根据同弧所对的圆周角相等以及圆内接四边形对角互补即可求解．
【详解】解：如图所示，
当在上时，，
当在上时，，
故选：D．
9．有两个不相等的实数根
【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式．求根的判别式，进而得出答案．
【详解】解：∵，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根
故答案为：有两个不相等的实数根．
10．
【分析】此题主要考查了圆锥侧面积公式，根据圆锥的底面半径为2，母线长为5，直接利用圆锥的侧面积公式求出它的侧面积即可．
【详解】解：根据圆锥侧面积公式：，
故答案为：．
11．
【分析】本题考查了利用频率估计概率，掌握大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解题的关键．
从的小数部分随机取出一个数字共有10种等可能的结果，其中出现数字6的只有1种结果，利用概率公式求解即可．
【详解】解：∵随着小数部分位数的增加，这10个数字出现的频率趋于稳定接近相同，
∴从的小数部分随机取出一个数字共有10种等可能的结果，其中出现数字2的只有1种结果，
∴P（数字是6）．
故答案为：．
12．
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此求出，再代值计算即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两根为，
∴，
∴，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了方差与平均数的计算，由方差的计算可得这组数据的平均数，然后利用平均数的计算方法即可求解，掌握方差的计算公式是解题的关键．
【详解】解：由题意可得，这组数据共个数，且它们的平均数是，
∴，
故答案为：．
14．126
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．等腰三角形的性质和三角形内角和定理．先根据圆内接四边形的性质计算出，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，然后再根据圆内接四边形的性质可得的度数．
【详解】解：连接，
在的内接四边形中，，
，
，
，
，
，
∵四边形为圆的内接四边形，
，
．
故答案为：126．
15．
【分析】本题考查了圆周角定理、含角的直角三角形的性质、勾股定理、垂径定理、扇形面积公式，连接，，作于，由圆周角定理可得，从而得出，由含角的直角三角形的性质可得，由垂径定理可得，由勾股定计算出，，最后根据进行计算即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，连接，，作于，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
故答案为：．
16．
【分析】本题主要考查了三角形的外接圆，圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的三边关系，解题的关键是证明出，分析出D在以为弦，的圆弧上运动；再根据A、D、M三点共线时，最小即可求解
【详解】解：，
点D在以为弦，的圆弧上运动，如图所示，设D点运动的圆弧圆心为M，取优弧上一点N，
连接，
则
是等腰三角形，
当A、D、M三点共线时，最小，
此时，
故答案为：．
17．
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，构成三角形的条件，先利用因式分解法解方程求出方程的两个根，再根据构成三角形的条件确定出第三边的长，最后根据三角形周长计算公式求解即可．
【详解】解：解方程得：或，
∵，
∴第三边长为5时能构成三角形，第三边长为7时不能构成三角形，
∴该三角形的周长为．
18．平均一个人传染了8个人，经过三轮传染后共有729人患上了流感
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意列方程求解．设平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，列方程求出x的值，进而表示出经过三轮传染后患上流感的人数．
【详解】解：设平均一人传染了x人，
，
解得（不符合题意，舍去）
经过三轮传染后患上流感的人数为：（人），
答：平均一个人传染了8个人，经过三轮传染后共有729人患上了流感．
19．七、八月份该团购券销售量的月平均增长率为．
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．设七、八月份该团购券销售量的月平均增长率为．根据六月份销售量乘以等于八月份的销售量，列出方程求解即可．
【详解】解：设七、八月份该团购券销售量的月平均增长率为．
根据题意，得，
解得（不符合题意，舍去）．
答：七、八月份该团购券销售量的月平均增长率为．
20．(1)；
(2)．
【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）画树状图展示所有16种等可能的结果数，找出小明与小亮抽到同一卡片的结果数，然后根据概率公式计算．
【详解】（1）解：小明抽到A卡片的概率是；
（2）解：画树状图为：
共有16种等可能的结果数，其中小明与小丽抽到同一卡片的结果数为4，
所以小明与小丽抽到同一地点的概率．
21．(1)
(2)
【分析】本题考查了旋转的性质、坐标与图形、三角形全等的判定与性质、勾股定理、扇形面积的计算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据旋转的性质作出即可，由旋转的性质可得，，作轴于，轴于，则，证明得到，，由，，得出，，，从而得出，，，即可得到答案；
（2）作轴于，轴于 ，由，，结合勾股定理可得，，由旋转的性质可得，，则，再根据，进行计算即可．
【详解】（1）解：如图，即为所作，
，
由旋转的性质可得，，
作轴于，轴于，则，
，，
，
，
，，
，，
，，，
，，
，
，
故答案为：；
（2）解：如图，作轴于，轴于 ，
，
，，，
，，，，
，
，，
由旋转的性质可得，，
，
由图可得：旋转过程中边扫过的面积为：
．
22．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，则，所以，由，得，则，所以，则，即可证明是的切线；
（2）连接，由是的直径，得，由30度角的性质可求出，根据勾股定理求出，然后再由30度角的性质即可求解．
【详解】（1）如图，连接．
，．
．
．
．
，
．
是的半径，
是的切线．
（2）如图，连接．
是的直径，
．
，，
，．
在中，．
．
【点睛】此题考查等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，切线的判定定理，圆周角定理，30度角所对的直角边等于斜边的一半，以及勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题的关键．
23．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理和等边三角形的判定与性质；会运用三角形全等证明线段相等或角相等；会运用含的直角三角形三边的关系进行几何计算．（1）如图①，根据圆周角定理得到，然后根据等边三角形的判定方法即可证明；（2）如图①，由是等边三角形得，再利用“”证明，得到，，接着证明，即可证明；（3）如图②，由为直径，得，再利用，则；由于是等边三角形，则，然后在中根据含的直角三角形三边的关系可计算出的长．
【详解】（1）证明：如图①
，
而，
是等边三角形；
（2）证明：如图①
是等边三角形，
，
在和中，
，
（），
，
，
，
即，
是等边三角形；
（3）如图②，点和圆心重合，即为直径，
，
是等边三角形，
，
，
是等边三角形，
，
在中，
，
．
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