【考前拔高必备】九年级数学期末考试拔高卷3（浙教版含解析）

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【考前拔高必备】九年级数学期末考试拔高卷3（浙教版含解析）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．以下说法正确的是（ ）
A．一个游戏的中奖率是1%，买100张奖券，一定会中奖
B．一副扑克牌中，随意抽取一张是红桃K，这是必然事件
C．若实数，则是随机事件
D．在平面直角坐标系中，抛物线的开口方向必然向上
2．1. 下列说法不正确的是 （ ）
A．位似图形一定是相似图形
B．相似图形不一定是位似图形
C．位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比
D．位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行
3．如图，AB∥CD，OH分别与AB、CD交于点F、H，OG分别与AB、CD交于点E、G，若，OF＝12，则OH的长为（　　）
A．39 B．27 C．12 D．26
4．二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图所示，下列说法正确的是（　　）
A．b＜0，c＞0 B．b＞0，c＞0 C．b＞0，c＜0 D．b＜0，c＜0
5．在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，将绕原点逆时针方向旋转到的位置，则在旋转过程中，线段扫过的部分的面积为( )
A． B． C． D．
6．抛物线y=x2﹣8x的顶点坐标为（ ）
A．（4，16） B．（﹣4，16） C．（4，﹣16） D．（﹣4，﹣16）
7．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．明天太阳从西边出来
B．打开电视，正在播放《云南新闻》
C．昆明是云南的省会
D．小明跑完800米所用的时间恰好为1分钟
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，D，E分别在AB，AC上，将△ADE沿DE翻折后，点A落在点A'处，若A'为CE的中点，则折痕DE的长为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
9．已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图象是（ ）
B．
C． D．
10．如图，抛物线的对称轴是直线x=1，与x轴有两个交点，与y轴交点的坐标为(0,3)，把它向下平移2个单位后，得到新的抛物线的解析式是y=ax2＋bx＋c，以下四个结论：①b2－4ac<0；②abc<0；③4a＋2b＋c=1；④a－b＋c>0，其中正确的是
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
11．某旅行社要组团去外地旅游，经计算所获营业额y（元）与旅行团人数x（人）满足关系式，要使所获营业额最大，则此旅行团应有（ ）
A．30人 B．40人 C．50人 D．55人
12．已知，是整数，且，，则二次函数的最小值的最小值为（ ）
A． B． C． D．
13．如图，抛物线与直线交于A、B两点点A在点B的左侧，动点P从A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E，再到达x轴上的某点F，最后运动到点若使点P运动的总路径最短，则点P运动的总路径的长为　　
A． B． C． D．
14．如图，是边长为6的等边三角形，D，E两点分别以和的速度从点A，C两点出发，沿三角形的边顺时针运动，设运动时间为t，则下列哪个t值不能使为直角三角形（ ）．

A．9 B． C． D．1
15．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标为，点C的坐标为，将向左平移个单位长度后，再绕点O旋转，当垂直于x轴时，点B的对应点的坐标为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
二、多选题
16．下列四组图形中，是相似图形的是（ ）
A． B．
C． D．
17．下列命题正确的是（ ）
A．在一个三角形中至少有两个锐角 B．在圆中，垂直于弦的直径平分弦
C．在圆中，直径对的圆周角等于 D．如果两条弧的度数相等，那么这两条弧也相等
18．如图，已知，按以下步骤作图：①在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作，交射线于点；②连接，分别以点、为圆心，长为半径作弧，交于点、；③连接，．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中正确的是（ ）
A． B．点与点关于直线对称
C．若，则 D．
19．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论中正确的是（　　）
A．b2﹣4ac＜0
B．当x＞﹣1时，y随x增大而减小
C．a+b+c＜0
D．若方程ax2+bx+c-m=0没有实数根，则m＞2
E．3a+c＜0
20．如图，正方形的边长为2，点是射线上一动点（不与A，重合），点在正方形的外角平分线上，且，连接，，．下列所有正确说法的选项是（ ）

A．的值不随点的运动而改变
B．当，，三点共线时，
C．当是直角三角形时，
D．当点在线段上运动时，点到直线的距离的最大值为1
三、填空题
21．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，有以下结论：①abc＞0；②b2＞4ac；③4a+2b+c＜0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1）；⑥若点A（，y1），B（，y2）在该函数图象上，则y1＞y2．其中正确的结论是 （填入正确结论的序号）．
22．若点，在抛物线上，则 （填“＞”，“＝”或“＜”）．
23．两枚硬币抛向空中，落地时两枚都正面朝上的概率是 ．
24．如图，四边形内接于，为的直径，，则的度数为 °．

25．正方形中，点在边上，，，将线段绕点逆时针旋转，使点落在直线上的点处，则的长度为 ．
26．如图，在平行四边形中，，点为边上一点，点为延长线上一点，连接，若，，，则平行四边形的面积为 ．
27．已知：如图，四边形中，，，，，点为的中点，以为弦作圆，设该圆与四边形的一边的交点为，若，则的长为 ．
28．如图，四边形中，，平分，，，则的长是 ．
四、解答题
29．抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴交点坐标为A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交点坐标为C（0，n）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）计算△ABC的面积．
30．（1）解方程 ．
（2）如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到 ，若．求的度数

31．如图，抛物线经过点,，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P是第三象限内抛物线上的一动点，设的面积为S，求S的最大值，并求出此时点P的坐标．
32．已知二次函数
(1)用配方法把该函数解析式化为的形式，并指出函数图象的对称轴和顶点坐标；
(2)求函数图象与x轴的交点坐标．
33．已知二次函数的图象如图所示．
（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点M的坐标；
（2）若点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q．当点N在线段BM上运动时（点N不与点B，点M重合），设NQ的长为t，四边形NQAC的面积为s，求s与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；
（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使△PAC为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）将△OAC补成矩形，使上△OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过程）．
参考答案：
1．D
【分析】根据随机事件和必然事件的概念进行判别即可．
【详解】解：A、一个游戏的中奖率是1%，是随机事件，买100张奖券，一定会中奖说法错误，不符合题意；
B、一副扑克牌中，随意抽取一张是红桃K，这是随机事件，说法错误，不符合题意；
C、若实数，则是必然事件，说法错误，不符合题意；
D、在平面直角坐标系中，抛物线的开口方向向上，是必然事件，说法正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了必然事件和随机事件的概念；正确理解概念是解题的关键．
2．D
【详解】本题主要考查了位似图形的定义．
如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行（或共线），那么这样的两个图形叫位似图形，这个点叫做位似中心，因而A，B，C正确，D错误．
解：根据位似图形的定义可知，B，C正确，似图形中每组对应点所在的直线相交于一点，D错误．
故选D．
3．A
【分析】由EF∥GH，可得，求出FH即可解决问题；
【详解】解：∵EF∥GH，
∴，
∴＝，
∴FH＝27，
∴OH＝OF+FH＝12+27＝39，
故选：A．
【点睛】此题主要考查平行线分线段成比例，解题的关键是根据题意找到对应线段成比例.
4．A
【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置可判断a，b，c的符号．
【详解】∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴在y轴左侧，
∴，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴当x=0时，y=c＞0，
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，注意数形结合思想的运用．
5．B
【分析】本题考查点的坐标，勾股定理，扇形的面积公式，根据点坐标可以求出的长，再由题意可知，绕原点逆时针方向旋转到扫过面积为圆的面积，由扇形面积公式即可求得．
【详解】解：∵的坐标为，
∴，
∵将绕原点逆时针方向旋转到，
∴线段扫过的部分的面积为圆，
即．
故选B．
6．C
【分析】利用配方法将抛物线的解析式y=x2﹣8x转化为顶点式解析式，然后求其顶点坐标．
【详解】解：∵y=x2﹣8x=（x﹣4）2﹣16，
∴抛物线顶点坐标为（4，﹣16），
故选C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的顶点坐标，解题的关键在于能够准确地把二次函数解析式化为顶点式.
7．C
【分析】根据必然事件、随机事件、不可能事件的定义逐项判断即可得．
【详解】A、“明天太阳从西边出来”是不可能事件，此项不符题意；
B、“打开电视，正在播放《云南新闻》”是随机事件，此项不符题意；
C、“昆明是云南的省会”是必然事件，此项符合题意；
D、“小明跑完800米所用的时间恰好为1分钟”是随机事件，此项不符题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了必然事件、随机事件、不可能事件，掌握理解各定义是解题关键．
8．B
【详解】试题分析：∵△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，
∴∠DEA=∠DEA′=90°，AE=A′E，
∴DE∥BC
∴△ACB∽△AED，
又A′为CE的中点，
∴AE=A'E=A'C=AC，
∴，
即，
∴ED=2．
故选B．
考点：1、相似三角形的判定与性质；2、翻折变换（折叠问题）
9．D
【详解】试题分析：根据二次函数的图象得到a＞0，b＞0，c＜0，再根据一次函数和反比例函数图象与系数的关系作出判断：
∵抛物线y=ax2+bx+c开口向上，∴a＞0.
∵抛物线的对称轴为直线x=，∴b＞0.
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0.
∵c＜0，，∴一次函数的图象过第一、二、四象限.
∵ab＞0，∴反比例函数分布在第一、三象限．
∴一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图象是选项D.
故选D．
考点：1.二次函数、一次函数、反比例函数的图象和系数的关系；2.不等式的性质.
10．B
【分析】根据平移后的图象即可判定①，根据平移后的对称轴和与y轴的交点坐标，即可判定a和b的关系以及c的值，即可判定②，根据与y轴的交点求得对称点，即可判定③，根据图象即可判定④．
【详解】解：根据题意平移后的抛物线的对称轴x=-=1，c=3-2=1，
由图象可知，平移后的抛物线与x轴有两个交点，
∴b2-4ac＞0，故①错误；
∵抛物线开口向上，∴a＞0，b=-2a＜0，
∴abc＜0，故②正确；
∵平移后抛物线与y轴的交点为（0，1）对称轴x=1，
∴点（2，1）点（0，1）的对称点，
∴当x=2时，y=1，
∴4a+2b+c=1，故③正确；
由图象可知，当x=-1时，y＞0，
∴a-b+c＞0，故④正确．
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图象与几何变换，二次函数图象与系数之间的关系，解题的关键是可以看懂二次函数的图象，根据图象可以判断a、b、c的符号，灵活变化，能够找出所求各结论需要的条件．
11．C
【分析】根据配方法把二次函数的一般式化为顶点式，然后根据二次函数的性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴当x=50时，y取最大值30900，即要使所获营业额最大，则此旅行团应有50人，
故选C.
【点睛】本题考查的是二次函数的最值的求法，掌握二次函数的性质和配方法是解题的关键．
12．A
【分析】根据二次函数图象的特点知，该函数的最小值就是该函数图象的顶点的纵坐标：y＝．
【详解】∵二次函数y＝x2 （a＋b）x＋ab的开口向上，
∴该函数的最小值就是函数图象的顶点的纵坐标，
∴y最小值＝，即y最小值＝ ，
∵a，b是整数，a≠b且 3≤a≤4， 3≤b≤4，
∴ 7≤a b≤7，
∴|a b|≤7，
∴（a b）2≤49，
∴ （a b）2≥ 49，
∴ ≥ ，即y最小值≥ ；
∴二次函数y＝x2 （a＋b）x＋ab的最小值的最小值为 ，
故选A．
【点睛】本题主要考查了二次函数的最值．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．本题采用了公式法．
13．A
【分析】首先根据题意求得点A与B的坐标，求得抛物线的对称轴，然后作点A关于抛物线的对称轴x=的对称点A′，作点B关于x轴的对称点B′，连接A′B′，则直线A′B′与直线x=的交点是E，与x轴的交点是F，而且易得A′B′即是所求的长度．
【详解】解：如图
∵抛物线y=x2-x-与直线y=x-2交于A、B两点，
∴x2-x-=x-2，
解得：x=1或x=，
当x=1时，y=x-2=-1，
当x=时，y=x-2=-，
∴点A的坐标为（，-），点B的坐标为（1，-1），
∵抛物线对称轴方程为：x=-=
作点A关于抛物线的对称轴x=的对称点A′，作点B关于x轴的对称点B′，
连接A′B′，
则直线A′B′与对称轴（直线x=）的交点是E，与x轴的交点是F，
∴BF=B′F，AE=A′E，
∴点P运动的最短总路径是AE+EF+FB=A′E+EF+FB′=A′B′，
延长BB′，AA′相交于C，
∴A′C=++（1-）=1，B′C=1+=，
∴A′B′=．
∴点P运动的总路径的长为．
故选A．
【点睛】此题考查了二次函数与一次函数的综合应用．注意找到点P运动的最短路径是解此题的关键，还要注意数形结合与方程思想的应用．
14．D
【分析】将四个选项分别代入，结合等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质即可判断．
【详解】解：A．当时，点D运动了，点E动了，
∴D，E两点的位置如图所示，
，
∴，点E与点C重合，
∴点D为中点，
∴，
∴为直角三角形，故该选项不符合题意；
B．当时，点D运动了，点E动了，
∴D，E两点的位置如图所示，

∴，点D在上，
∴点E为中点，
∴，
∴为直角三角形，故该选项不符合题意；
C．当时，点D运动了，点E动了，
∴D，E两点的位置如图所示，过点A作，

∴，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴，即为直角三角形，故该选项不符合题意；
D．当时，点D运动了，点E动了，
∴D，E两点的位置如图所示，

不能证明为直角三角形，故该选项符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质．将四个选项分别代入，画出图形，并利用数形结合的思想是解题关键．
15．D
【分析】先由平移方式画出平移后的，再作出逆时针旋转90°后的和顺时针旋转90°后的，根据点C′绕原点旋转90°的特征求得B1，B2坐标即可；
【详解】解：如图，将向左平移个单位长度后，得到，
将绕点O逆时针旋转90°后，得到，此时B1C1⊥x轴，
∵C′（0，3），∴C1（-3，0），∵B1C1=，∴B1（-3，-）；
将绕点O顺时针旋转90°后，得到，此时B2C2⊥x轴，
∵C′（0，3），∴C2（3，0），∵B2C2=，∴B2（3，）；
∴点B的对应点的坐标为（-3，-）或（3，）；
故选：D．
【点睛】本题考查了图形的平移和旋转，掌握坐标绕原点旋转90°的特征是解题关键．
16．ABC
【分析】根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案．
【详解】解：A、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故符合题意；
B、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故符合题意；
C、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故符合题意；
D、形状不相同，不符合相似形的定义，故不符合题意；
故选：ABC．
【点睛】本题考查的是相似形的定义，结合图形，即图形的形状相同，但大小不一定相同的变换是相似变换．
17．ABC
【分析】本题考查了三角形的内角和定理、垂径定理、圆周角定理，熟练掌握各定理和性质是解题关键．
【详解】解：A．在一个三角形中至少有两个锐角，故A正确；
B．在圆中，垂直于弦的直径平分弦，故B正确；
C．在圆中，直径对的圆周角等于，故C正确；
D．在同圆或等圆中，如果两条弧的度数相等，那么这两条弧也相等，故D错误．
故选：．
18．ABD
【分析】利用SSS证明△MOC≌△DOC，证明OA是线段MD的垂直平分线，利用圆心角与圆周角关系定理，借助同旁内角互补证明直线的平行即可．
【详解】∵OM=OD，OC=OC，MC=CD，
∴△MOC≌△DOC，
∴，
∴A正确；
∵OM=OD，MC=CD，
∴OA是线段MD的垂直平分线，
∴点与点关于直线对称，
∴B正确；
∵∠AOB=20°，
∴∠MON=60°，
∵OM=ON，
∴△MON是等边三角形，
∴MO=MN
∴C错误；
∵OC=OD，
∴∠OCD=，
∵OA是线段MD的垂直平分线，
∴∠MCO=，
∴∠MCD=180°-∠AOB，
根据圆心角与圆周角关系定理，得∠CMN==∠AOB，
∴∠MCD+∠CMN =180°-∠AOB+∠AOB=180°，
∴，
∴D正确；
故选:ABD．
【点睛】本题考查了几何作图，三角形全等，线段的垂直平分线，等腰三角形的性质，圆心角与圆周角的关系定理，熟练掌握作图，理解作图的意义，活用相关知识是解题的关键．
19．BCDE
【分析】利用图象信息，以及二次函数的性质即可一一判断．
【详解】∵二次函数与x轴有两个交点，
∴b -4ac＞0，故A错误，
观察图象可知：当x＞-1时，y随x增大而减小，故B正确，
∵抛物线与x轴的另一个交点为在（0，0）和（1，0）之间，
∴x=1时，y=a+b+c＜0，故C正确，
∵当m＞2时，抛物线与直线y=m没有交点，
∴方程ax +bx+c-m=0没有实数根，故D正确，
∵对称轴x=-1= ，
∴b=2a，
∵a+b+c＜0，
∴3a+c＜0，故E正确，
故答案为BCDE．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，根的判别式、抛物线与x轴的交点等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
20．ABCD
【分析】A．连接、，由正方形的对称性可知，，，证明，得出，，证出，证出是等腰直角三角形得出，因此，得出A正确；
B．当，，三点共线时，证出，，，四点共圆，由圆周角定理得出，证出，得出，求出，判断B正确；
C．当是直角三角形时，证出，得出，判断C正确；
D．当点在线段上运动时，过点作于，则，最大时，与重合，即，证出是的中位线，得出，判断D正确；即可得出结论．
【详解】解：A．连接、，如图1所示：

由正方形的对称性可知，，
四边形是正方形，
，，
点是正方形外角平分线上一点，
，
，
在和中，，
，
，，
，
，
，
即，
是等腰直角三角形
，
，
的值不随点的运动而改变，故A正确；
B．当，，三点共线时，如图2所示：

，
，，，四点共圆，
，
，，
，
，
，
，故B正确；
C．当是直角三角形时，如图3所示：

是等腰直角三角形，
，
，故C正确；
D．当点在线段上运动时，如图4所示：

过点作于，则，
最大时，与重合，即，
当时，，，
是的中位线，
，故D正确．
故选：．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、四点共圆、圆周角定理等知识；本题综合性强，有一定难度．
21．②④⑤．
【分析】根据二次函数的图象及其性质即可求出答案．
【详解】①由图象可知：a<0，c>0，
对称轴：x= >0，
∴b>0
∴abc<0，故①错误；
②由于抛物线与x轴有两个交点，
∴△= b2 4ac>0，
即b2>4ac，故②正确；
③由于对称轴为x=1，
∴( 1,0)与(3,0)关于x=1对称，
令x=2时，
∴y=4a+2b+c>0，故③错误；
④令x= 1，
∴y=a b+c<0，
∵ =1，
∴a= ,
∴ b+c<0，
∴2c<3b，故④正确；
⑤由于x=1，y=a+b+c，a<0
∴该二次函数的最大值为a+b+c，
当m≠1时，
∴y=am2+bm+c，
∴a+b+c> am2+bm+c，
∴a+b> am2+bm，
即a+b>m(am+b)，故⑤正确；
⑥（，y1）与(, y1)关于x=1对称，
∵>,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在x>1上，y随着x的增大而减小，
∴y1< y2，故⑥错误；
故答案为②④⑤．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系.
22．＜
【分析】将、分别代入可求得、，即可判定大小关系．
【详解】解：将代入得，，
将代入得，，
显然，
即．
故答案为：＜．
【点睛】本题考查根据二次函数解析式，求因变量的值．注意计算的准确性．
23．
【分析】根据题意，将抛两枚硬币落地后所有的可能性找出来，再将两枚都是正面的次数找出，用两枚正面的次数除以总可能性即可
【详解】抛两枚硬币，可能出现的情况共有四种：（正面，反面），（正面，正面），（反面，正面），（反面，反面），其中两面都是正面的只有一种情况，所有其概率=
故答案为
【点睛】本题主要考查了概率的求取，清晰地分辩出所有事件发生的情况的次数以及所求概率事件的次数是关键
24．110
【分析】根据是的直径，可以得到，再根据和三角形内角和，可以得到的度数，然后根据圆内接四边形对角互补，即可得到的度数．
【详解】解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∴，
故答案为：110
【点睛】本题考查圆内接四边形的性质、圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
25．4或8
【分析】因为DE的长大于正方形的边长，所以F点会落在BC上或BC的延长线上；分两种情况利用全等三角形的性质计算即可；
【详解】解：正方形中，点在边上，，，
∴正方形的边长为6，AB=BC=CD=6，
由旋转的性质得：DE=DF，
如图，F点在线段BC上时，
Rt△ADE和Rt△CDF中，AD=CD，DE=DF，
∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL），
∴AE=CF=2，
∴BF=BC－CF=6－2=4，
②如图，F点在线段BC延长线上时，
Rt△ADE和Rt△CDF中，AD=CD，DE=DF，
∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL），
∴AE=CF=2，
∴BF=BC＋CF=6＋2=8，
综上所述FB=4或FB=8，
故答案为：4或8；
【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定（HL）和性质；分两种情况讨论F点的位置是解题关键．
26．
【分析】由得，过作于，过作于，设，则，由，，可证，进而得，即可解出的值，在中，根据勾股定理可求得，最后根据平行四边形的面积公式即可求解．
【详解】解：，
，
，
，
设，则，
，
，
和都是等腰三角形，
，
过作于，过作于，
则，，
，
，，
，
，即，解得，（舍去），
，
在中，，
，
，
，
故答案为．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质、平行四边形的面积公式、解分式方程等知识，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质．
27．或4或2
【分析】先根据圆周角定理、确定该圆的圆心位置，从而可得交点为的位置，再分别利用直角三角形的性质、等边三角形的性质求解即可得．
【详解】由题意，以为弦的圆的圆心在线段CE的垂直平分线上（位于线段CE上方那段），且圆心角为
连接AE、AC，设AC的中点O，连接OE
是等边三角形，
点为的中点
是直角三角形，且
点O在线段CE的垂直平分线上，且，与圆心角相等
点O即为以为弦的圆的圆心，OE、OA、OC为圆O的半径
依题意作图可知，圆O与四边形的一边的交点为有三个，即
（1）如图1，交点在边CD上，
过点C作于点F
是等腰直角三角形
（2）如图2，交点在边AD上，
则在中，
（3）如图2，交点在边AB上，
由圆周角定理得：
则点是等边边AB的中点
由中位线定理得：
综上，的长为或4或2
故答案为：或4或2．
【点睛】本题是一道较难的综合题，考查了圆心角定理、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，依据题意，正确确认该圆的圆心位置是解题关键．
28．
【分析】设点O是AC的中点，以O为圆心，OA为半径作圆O，然后根据圆周角定理以及勾股定理即可求出答案．
【详解】解：设点O是AC的中点，以O为圆心，OA为半径作圆O，
∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴由圆周角定理可知：点D与B在圆O上，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC
∴AD=CD，
∴∠DCA=45°，
∴∠ACB=∠DCB-∠DCA=15°，
连接OB，过点E作BE⊥AC于点E，
∴由圆周角定理可知：∠AOB=2∠ACB=30°
∴OB=2BE，
∴AC=2OB=4BE，
设AB=x，
∴BC=4-x
∵AB BC=BE AC（面积法），
∴4BE2=x（4-x）
∴AC2=16BE2=4x（4-x）
由勾股定理可知：AC2=x2+（4-x）2
∴4x（4-x）=x2+（4-x）2
解得：
当时，
∴BC=4-x=2-
∴AC=
当x=2-时，
BC=4-x=2+时，
∴AC=
故答案为：
【点睛】本题考查圆周角定理，解题的关键是作出圆O，然后熟练运用圆周角定理和勾股定理，本题综合运用所学知识，属于难题．
29．（1）y＝x2﹣2x﹣3（2）6
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）先利用抛物线解析式求出C点坐标，然后根据三角形面积公式求解．
【详解】（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入，解得，
所以抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）当x＝0时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，则C（0，﹣3），
所以△ABC的面积＝×4×3＝6．
故答案为（1）y＝x2﹣2x﹣3（2）6.
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质．
30．（1）， （2）
【分析】本题考查解一元二次方程和旋转的性质，解题的关键明确对应边旋转前后的夹角是旋转角．
（1）运用因式分解法解题即可；
（2）根据旋转的性质可知，旋转角等于，从而可以得到的度数，由可以得到的度数．
【详解】解：（1），
，
解得：，；
（2）解：∵将绕点按逆时针方向旋转后得到 ，
∴，
又∵，
∴．
31．(1)
(2)最大值为，
【分析】本题考查待定系数法求抛物线解析式、二次函数的性质、二次函数的应用—面积问题．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出直线的解析式为，过点作轴交于点，设，则点，即可利用求出面积最大值时点的坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点和点，，
∴，
解方程组得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：设直线的解析式为：，
把和代入得：，
解得，
∴，
如图，过点作轴交于点，
，
设．
∴点，
∴，
∴当时，最大，且最大值为，此时，点的坐标为．
32．(1)，对称轴为直线，顶点坐标为
(2)函数图象与x轴的交点坐标为，
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质；
（1）利用配方法把二次函数的一般形式改写成顶点式，即可得到函数图象的对称轴和顶点坐标；
（2）令求出x，即可得到函数图象与x轴的交点坐标．
【详解】（1）解：∵，
∴函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为；
（2）解：令，即，
解得：，，
∴函数图象与x轴的交点坐标为，．
33．（1）y=x2﹣x﹣2，其顶点坐标是（，﹣）；（2）s=﹣t2+t+3，自变量的取值围是：0【分析】（1）利用交点式可以求出二次函数解析式，再利用公式法求出顶点坐标，
（2）运用两点求出直线BM解析式，再表示出四边形面积，
（3）根据使△PAC为直角三角形，三个角依次分析当等于直角时，得出不同结论．
（4）作出矩形，利用勾股定理可以求出．
【详解】（1）设抛物线的解析式y=a（x+1）（x-2），
∵-2=a×1×（-2），
∴a=1，
∴y=x2-x-2，其顶点坐标是（，-）；
（2）设线段BM所在的直线的解析式为：y=kx+b（k≠0），
点N的坐标为N（h，-t），
则，
解它们组成的方程组得：，
所以线段BM所在的直线的解析式为：y=x-3，
N点纵坐标为：-t，
∴-t=h-3，
∴h=2-t，其中＜h＜2，
∴s=×1×2+（2+t）（2-t）=-t2+t+3，
∴s与t间的函数解析式为，
s=-t2+t+3，
∵M点坐标是（，-）；
∴QN最大值为：，
∴自变量的取值围是：0＜t＜；
（3）存在符合条件的点P，且坐标是：P1（，），P2（， ）．
设点P的坐标为P（m，n），则 n=m2-m-2，PA2=（m+1）2+n2，PC2=m2+（n+2）2，AC2=5，
分以下几种情况讨论：
（ⅰ）若∠ACP=90°则AP2=PC2+AC2．
可得：m2+（n+2）2+（m+1）2+n2=5，
解得：m1＝，m2=-1（舍去）．
所以点P（，）
（ⅱ）若∠PAC=90°，则PC2=PA2+AC2
∴n=m2-m-2
（m+1）2+n2=m2+（n+2）2+5
解得：m3＝，m4=0（舍去）．所以点P（，-）．
（ⅲ）由图象观察得，当点P在对称轴右侧时，PA＞AC，所以边AC的对角∠APC不可能是直角．
（4）以点O，点A（或点O，点C）为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边OA（或边OC）的对边上，
如图，此时未知顶点坐标是点P（-1，-2），以点A，点C为矩形的两顶点，
第三个顶点落在矩形这一边AC的对边上，
如图，此时未知顶点坐标是P1（-1，-2），P2（-，）或（，-）．
【点睛】此题主要考查了二次函数解析式的求法，以及顶点坐标计算，四边形面积计算，矩形的性质等，综合性比较强．
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