数系的扩充与复数的引入
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文档简介
3.1.1数系的扩充与复数的概念
时间：2008年11月19日
讲课人:徐佳
【教学目标】
1．在问题情境中了解数系得扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系．
2．了解数学内部解方程等实际需要也是数系发展的一个主要原因，数集的扩展过程以及复数的分类表；
3．理解复数的有关概念以及符号表示；
4．掌握复数的代数表示形式及其有关概念；
【教学重点】复数概念的理解、复数的代数形式、复数相等的条件
【教学难点】复数概念的理解、复数相等的条件
【教学过程】
1. 数的发展过程(经历):
原始社会，进行物物交换, 需要计数产生了自然数的概念。自然数的全体构成自然数集(用N表示).为了表示具有相反意义的量,人们引进了正负数以及表示没有的零，这样将数集扩充到整数集(用Z表示), 随着生产、生活的需要，人们发现，仅仅能表示整数是远远不行的。如果分配猎获物时，5个人分4件东西，每个人人该得多少呢？于是分数就产生了。整数和分数的全体构成有理数集(用Q表示)。后来人们又发现有些量无法用有理数去度量,如用正方形的边长为1 ,去度量它的对角线所得的结果，无法用有理数表示，为解决这种矛盾，人们又引进了无理数，有理数和无理数全体构成实数集(用R表示)．
自然数 整数 有理数 无理数 实数
NZQR
小结:数系的每一次扩充都与实际需求密切相关.数系扩充后,在实数系中规定的加法运算、乘法运算,与原来在有理数系中规定的加法运算、乘法运算协调一致:加法和乘法都满足交换律和结合律,乘法对加法满足分配律.
2．提出问题、解决问题
我们知道，对于实系数一元二次方程，没有实数根．我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，使方程有解呢？
依照数系的扩充思想,每一次扩充都会引入新的量.在这里我们引入新数,使是方程的根,即: 得
我们引入的这个新数，叫做虚数单位，并规定：
（1）；
（2）实数可以与进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立．
根据这个思想,我们将与实数b相乘，再与实数a相加．由于满足乘法交换律及加法交换律，从而可以把结果写成的形式，数的范围进行了扩充，出现了形如 的数，我们把它们叫做复数．复数Z=a+bi (a∈R， b∈R )把实数a，b叫做复数的实部和虚部。
全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C表示，
显然有：N*NZQRC．
练习1,书上54页第1题
3.复数的分类
由练习1引入复数的分类，对于复数a+bi,当且仅当b=0时,它是实数;当且仅当a=b=0时,它是实数0;当b≠0时,叫做虚数;当a=0且b≠0时,叫做纯虚数.
复数z=a+bi
练习2： (教材54页,第2题)
例1 实数m分别取什么值时，复数
z＝m+1＋(m-1)i
是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
分析：因为m∈R，所以m+1，m-1都是实数，由复数z＝a＋bi是实、虚数、纯虚数与零的条件可以确定实数x的值．
4．提出两个复数相等的定义，即两个复数相等的充要条件是它们的实部与虚部分别对应相等．也就是
由此容易得出：
例2 已知,其中，x,yR，求：x与y．
分析：因为x，y∈R，所以由两个复数相等的定义，可列出关于x，y的方程组，解这个方程组，可求出x，y的值．
思考:两个复数能否比较大小
解答:两个复数只能说相等或不相等,不能比较大小。
7．归纳总结
（1）、虚数单位i的引入；
（2）、复数的代数形式：；
（2）、复数的有关概念：虚数，纯虚数，实部、虚部、复数相等。
8．布置作业：高中教学质量监控讲义21-22
时间：2008年11月19日
讲课人:徐佳
【教学目标】
1．在问题情境中了解数系得扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系．
2．了解数学内部解方程等实际需要也是数系发展的一个主要原因，数集的扩展过程以及复数的分类表；
3．理解复数的有关概念以及符号表示；
4．掌握复数的代数表示形式及其有关概念；
【教学重点】复数概念的理解、复数的代数形式、复数相等的条件
【教学难点】复数概念的理解、复数相等的条件
【教学过程】
1. 数的发展过程(经历):
原始社会，进行物物交换, 需要计数产生了自然数的概念。自然数的全体构成自然数集(用N表示).为了表示具有相反意义的量,人们引进了正负数以及表示没有的零，这样将数集扩充到整数集(用Z表示), 随着生产、生活的需要，人们发现，仅仅能表示整数是远远不行的。如果分配猎获物时，5个人分4件东西，每个人人该得多少呢？于是分数就产生了。整数和分数的全体构成有理数集(用Q表示)。后来人们又发现有些量无法用有理数去度量,如用正方形的边长为1 ,去度量它的对角线所得的结果，无法用有理数表示，为解决这种矛盾，人们又引进了无理数，有理数和无理数全体构成实数集(用R表示)．
自然数 整数 有理数 无理数 实数
NZQR
小结:数系的每一次扩充都与实际需求密切相关.数系扩充后,在实数系中规定的加法运算、乘法运算,与原来在有理数系中规定的加法运算、乘法运算协调一致:加法和乘法都满足交换律和结合律,乘法对加法满足分配律.
2．提出问题、解决问题
我们知道，对于实系数一元二次方程，没有实数根．我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，使方程有解呢？
依照数系的扩充思想,每一次扩充都会引入新的量.在这里我们引入新数,使是方程的根,即: 得
我们引入的这个新数，叫做虚数单位，并规定：
（1）；
（2）实数可以与进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立．
根据这个思想,我们将与实数b相乘，再与实数a相加．由于满足乘法交换律及加法交换律，从而可以把结果写成的形式，数的范围进行了扩充，出现了形如 的数，我们把它们叫做复数．复数Z=a+bi (a∈R， b∈R )把实数a，b叫做复数的实部和虚部。
全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C表示，
显然有：N*NZQRC．
练习1,书上54页第1题
3.复数的分类
由练习1引入复数的分类，对于复数a+bi,当且仅当b=0时,它是实数;当且仅当a=b=0时,它是实数0;当b≠0时,叫做虚数;当a=0且b≠0时,叫做纯虚数.
复数z=a+bi
练习2： (教材54页,第2题)
例1 实数m分别取什么值时，复数
z＝m+1＋(m-1)i
是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
分析：因为m∈R，所以m+1，m-1都是实数，由复数z＝a＋bi是实、虚数、纯虚数与零的条件可以确定实数x的值．
4．提出两个复数相等的定义，即两个复数相等的充要条件是它们的实部与虚部分别对应相等．也就是
由此容易得出：
例2 已知,其中，x,yR，求：x与y．
分析：因为x，y∈R，所以由两个复数相等的定义，可列出关于x，y的方程组，解这个方程组，可求出x，y的值．
思考:两个复数能否比较大小
解答:两个复数只能说相等或不相等,不能比较大小。
7．归纳总结
（1）、虚数单位i的引入；
（2）、复数的代数形式：；
（2）、复数的有关概念：虚数，纯虚数，实部、虚部、复数相等。
8．布置作业：高中教学质量监控讲义21-22