2024年中考数学一轮复习练习题：相似(1)（含答案）

2024年中考数学一轮复习练习题：相似
一、选择题
1．如图， ，直线 、 与这三条平行线分别交于点 、 、 和点 、 、 .已知 ， ， ，则 的长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
2．如图，△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为（　　）
A．4 B．4 C．6 D．4
3．如图，有一块直角三角形余料ABC，∠BAC=90°，G，D分别是AB，AC边上的一点，现从中切出一条矩形纸条DEFG，其中E，F在BC上，若BF=4.5cm，CE=2cm，则GF的长为（　　）
A．3cm B．2cm C．2.5cm D．3.5cm
4．如图，和是以点O为位似中心的位似图形，若，则和的周长比为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，已知 中， ，点D、E分别在边AC、AB上，若AD=DC，AE=CB+BE，则线段DE的长为（　　）
A． B． C． D．2
6．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：CE＝2：3，连接AE，BD交于点F，则S△DEF：S△ADF：S△ABF等于（　　）
A．2：3：5 B．4：9：25 C．4：10：25 D．2：5：25
7．如图，AB和CD表示两根直立于地面的柱子，AC和BD表示起固定作用的两根钢筋，AC与BD相交于点M，已知AB＝8m，CD＝12m，则点M离地面的高度MH为（　　）
A．4 m B． m C．5m D． m
8．如图，在 中， ， 为 上一点，连接 ，将 沿 翻折，点 恰好落在 上的点 处，连 .若 ， ，则 的长度为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，以点O为位似中心，将△ABO缩小后得到△CDO，OC＝3，AC＝4，＝　 　.
10．如图，P为线段AB上一点，AD与BC交于E， ，BC交PD于F，AD交PC于G，则图中相似三角形有　 　对．
11．如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高为1.5m，测得AB＝3m，AC＝10m，则建筑物CD的高是　 　m.
12．如图，与位似，位似中心是点O，则，的面积为3，则的面积是　 　．
13．如图，已知点A、B分别在反比例函数 ， 的图象上，且 ，则 的值为　 　．
三、解答题
14．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F．
（1）求证：△ACD∽△BFD；
（2）当tan∠ABD=1，AC=3时，求BF的长．
15．如图，D为Rt△ABC的直角边BC上一点以CD为直径的半圆O与斜边AB相切于点E，BF∥AC，交CE的延长线于点F.已知AC：BF＝3：4.
（1）求sin∠ABC的值.
（2）若BE＝6，求⊙O的半径的长.
16．如图，在矩形ABCD中，点G在边BC上（不与点B、C重合），连接AG，作DF⊥AG于点F，BE⊥AG于点E.
（1）若AG＝AD，求证：AB＝DF；
（2）设＝k，连接BF、DE，设∠EDF＝α，∠EBF＝β，求的值.
17．如图1，已知点O在四边形ABCD的边AB上，且OA＝OB＝OC＝OD＝2，OC平分∠BOD，与BD交于点G，AC分别与BD、OD交于点E、F．
（1）求证：OC∥AD；
（2）如图2，若DE＝DF，求 的值；
（3）当四边形ABCD的周长取最大值时，求 的值．
18．如图，半圆中，直径，点为弧的中点，点在弧上，连结并延长交的延长线于点，连结交于点，连结.
（1）求证：.
（2）若点为中点，求的长.
（3）①面积与面积的差是定值吗？如果是，请求出该定值；若不是，请说明理由；
②若，求的长.
参考答案
1．D
2．B
3．A
4．A
5．B
6．C
7．B
8．A
9．
10．3
11．5
12．12
13．2
14．（1）证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠C+∠DBF=90°，∠C+∠DAC=90°，
∴∠DBF=∠DAC，
∴△ACD∽△BFD．
（2）解：∵tan∠ABD=1，∠ADB=90°
∴ =1，
∴AD=BD，
∵△ACD∽△BFD，
∴ = =1，
∴BF=AC=3．
15．（1）解：∵BF∥AC，
∴△AEC∽△BEF，
∴
∵CD为⊙O的直径，∠ACB＝90°，
∴AC是⊙O的切线，
∵AB是⊙O的切线，
∴AC＝AE，
∴sin∠ABC＝
（2）解：如图，连接OE，
∵ ，BE＝6，
∴AE＝ ，
∴AB＝ ，AC＝ ，
∴BC＝
∵AB是⊙O的切线，
∴OE⊥AB，
∴∠OEB＝∠ACB，
∵∠OBE＝∠ABC，
∴△OBE∽△ABC，
∴ ， 即
解得：OE＝ ，即⊙O的半径的长为 .
16．（1）证明：四边形ABCD是矩形
，
，
在和中
AB=DF
（2）解：由已知得：
在中，；在中，
，
四边形ABCD是矩形
AD=BC
17．（1）证明：∵AO＝OD，
∴∠OAD＝∠ADO，
∵OC平分∠BOD，
∴∠DOC＝∠COB，
又∵∠DOC+∠COB∠＝∠OAD+∠ADO，
∴∠ADO＝∠DOC，
∴CO∥AD；
（2）解： ∵OA=OB=OC，
∴∠ADB=90°，
∴△AOD和△ABD是等腰直角三角形，
∴AD= AO，
∴，
∵DE=DF，
∴∠DFE=∠AED，
∵∠DFE=∠AFO，
∴∠AFO=∠AED，
∵∠AOF=∠ADE=90°，
∴△ADE∽△AOF，
∴= ；
（3）解：如图2，
∵OD＝OB，∠BOC＝∠DOC，∴△BOC≌△DOC（SAS），∴BC＝CD，
设BC＝CD＝x，CG＝m，则OG＝2﹣m，
∵OB2﹣OG2＝BC2﹣CG2，
∴4﹣（2﹣m）2＝x2﹣m2，解得：m ，∴OG＝2 ，
∵OD＝OB，∠DOG＝∠BOG，∴G为BD的中点，
又∵O为AB的中点，∴AD＝2OG＝4 ，
∴四边形ABCD的周长为2BC+AD+AB＝2x+4 4 2x+8 10，
∵ 0，∴x＝2时，四边形ABCD的周长有最大值为10．∴BC＝2，
∴△BCO为等边三角形，∴∠BOC＝60°，∵OC∥AD，∴∠DAC＝∠COB＝60°，
∴∠ADF＝∠DOC＝60°，∠DAE＝30°，∴∠AFD＝90°，∴ ，DF DA，
∴ ．
18．（1）证明：点C为弧AB的中点，
，
，
又，
（2）解：直径，，，
，，
为的中点，
，
由（1）知，
，
即，
，
，
（3）解：①面积与面积的差是定值，理由如下：
在（2）中有：，
，
，
又，
，
，
，
故面积与面积的差为定值；
②，
设，则，
由①知，
，
解得或，
，，
当时，，
当时，，
或.