2024年中考数学探究性试题总复习-- 二次根式（7） （含答案）

2024年中考数学探究性试题总复习-- 二次根式
一、综合题
1．观察下列各式．
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：
（1）第4个等式：　 　
（2）请你按照上面三个等式反映的规律，猜想第n个等式，并给出证明．
2．“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，
即：；
例如：比较与2的大小.
∵ 又∵ 则
∴，
∴.
请根据上述方法解答以下问题：
（1）的整数部分是　 　，的小数部分是　 　；
（2）比较与的大小.
（3）已知，试用“比差法”比较与的大小.
3．先阅读，再解答.由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题：
（1）的有理化因式是　 　；
（2）化去式子分母中的根号：　 　，　 　；
（3）比较与的大小，并说明理由.
4．在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：
已知，求的值，他是这样解答的：
∵，
∴，
∴，，
∴.
∴.
请你根据小明的解题过程，解决如下问题：
（1）　 　；
（2）化简：；
（3）若，求的值.
5．在数学小组探究学习中，张兵与他的小组成员遇到这样一道题：
已知，求的值．他们是这样解答的：
∵
∴
∴即
∴
∴．
请你根据张兵小组的解题方法和过程，解决以下问题：
（1）　 　．
（2）化简；
6．阅读材料：像，，……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，老师出了一道题“已知，求的值．”
聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答：
因为
所以
所以，所以
所以，所以，所以
请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题：
（1）的有理化因式是　 　，　 　；
的有理化因式是　 　，　 　；
（2）若，求的值．
7．观察下列各式：①，②；③，…
（1）请观察规律，并写出第④个等式：　 　；
（2）请用含n（n≥1）的式子写出你猜想的规律：　 　；
（3）请证明（2）中的结论.
8．在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：
已知，求的值.他是这样解答的：
∵，
∴.
∴.
∴.
∴.
请你根据小明的解题过程，解决如下问题：
（1）＝　 　；
（2）化简；
（3）若，求的值.
9．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：
若设（其中、、、均为整数），则有，.这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）若，当、、、均为整数时，用含、的式子分别表示、，得：　 　，　 　；
（2）若，且、、均为正整数，求的值；
（3）化简下列各式：
①
②
③.
10．阅读下面解题过程．
例：化简．
解：
请回答下列问题．
（1）归纳：请直接写出下列各式的结果：
①＝　 　；
②＝　 　．
（2）应用：化简
（3）拓展：　 　．（用含n的式子表示，n为正整数）
11．设a5是一个两位数，其中a是十位上的数字(1≤a≤9)．例如，当a=4时，a5表示的两位数是45．
（1）尝试：
①当a=1时，152=225=1×2×100+25 ；
②当a=2时，252=625=2×3×100+25；
③当a=3时，352= 1225=　 　；
．．．．．．
（2）归纳：与100a(a+1)+ 25有怎样的大小关系？试说明理由．
（3）运用：若与100a的差为2525，求a的值．
12．【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，
如：
（1）【类比归纳】
请你仿照小明的方法将化成另一个式子的平方．
（2）【变式探究】
若且a，m，n均为正整数，求a值.
13．材料：如何将双重二次根式，，化简呢？如能找到两个数，，使得，即，且使，即，那么，双重二次根式得以化简.
例如化简：，
因为且，
，
由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到，使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式.
请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：
（1）填空：=　 　，=　 　；
（2）化简：；
（3）计算：+.
14．一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2.设a+b（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn，∴a＝m2+2n2，b＝2mn.这样可以把部分a+b的式子化为平方式的方法.请你仿照上述的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝　 　，b＝　 　.
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：　 　+　 　＝（　 　+　 　）2；
（3）化简
15．我们知道，，，…如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式.如与互为有理化因式.利用这种方法，可以将分母中含有二次根式的代数式化为分母是有理数的代数式，这个过程称为分母有理化，例如：，.
（1）分母有理化的结果是　 　；
（2）分母有理化的结果是　 　；
（3）分母有理化的结果是　 　；
（4）利用以上知识计算：.
16．小丽根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律.
下面是小丽的探究过程，请补充完整：
（1）具体运算，发现规律，
特例：
特例：
特例：
特例：　 　填写一个符合上述运算特征的例子；
（2）观察、归纳，得出猜想.
如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律为：　 　；
（3）证明你的猜想；
（4）应用运算规律化简：　 　.
17．阅读下列材料，然后回答问题．
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知 a+b=2，ab= -3 ，求．我们可以把a+b和ab看成是一个整体，令 x=a+b ， y = ab ，则．这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果．
（1）计算：；
（2）m 是正整数， a =，b =且．求 m．
（3）已知，求的值．
18．阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn．∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝　 　，b＝　 　；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：　 　+　 　＝（　 　+　 　 ）2；
（3）若a+6＝（m+n）2，且a、m、n均为正整数，求a的值？
答案解析部分
1．【答案】（1）
（2）解：猜想：
证明如下：
∵左边=
右边=
∴左边=右边，
∴猜想成立
2．【答案】（1）5；
（2）解：，
∴；
（3）解：
∵，
∴，
∴.
3．【答案】（1）
（2）；
（3）解：，理由如下：，
，
∵，
∴，
所以.
4．【答案】（1）
（2）解：原式=
；
（3）解：，
，
，即.
.
.
5．【答案】（1）
（2）解：
．
6．【答案】（1）；；或；
（2）解：，
∴
∴原式=
7．【答案】（1）
（2）
（3）解：
8．【答案】（1）
（2）解：原式＝=.
（3）解：，
，
，即，
，
=
=
=a2-4a+4
=1+4
=5
9．【答案】（1）；2mn
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵a、m、n均为正整数，
∴ ， 或 ， ，
当 ， 时， ；
当 ， 时， ；
即a的值为12或28；
（3）解：①
②
③设 ，
则
，
∴ .
10．【答案】（1）；
（2）解：
=
=；
（3）
11．【答案】（1）3×4×100+ 25
（2）解：= 100a(a+1)+ 25，
理由如下：
= (10a+ 5)(10a + 5)= 100a2 + 100a+ 25 = 100a(a+1)+ 25
（3）解：由题知， - 100a = 2525，
即100a2+ 100a+ 25- 100a = 2525，
解得a=5或-5 (舍去)，
∴a的值为5．
12．【答案】（1）解：；
（2）解：∵m+n=a，mn=21，
又∵ a，m，n均为正整数 ，
∴m=1，n=21或m=3，n=7或n=1，m=21或n=3，m=7，
∴a=22或10.
13．【答案】（1）±；±
（2）解：；
（3）解：
，
同理可得.
14．【答案】（1）m2+3n2；2mn
（2）21；4；1；2
（3）解：
＝﹣
＝﹣
＝﹣
＝﹣
＝++﹣
＝
15．【答案】（1）
（2）
（3）
（4）解：，
同理得：，.
∴原式
16．【答案】（1）；
（2）；
（3）解：等式左边右边，
故猜想成立
（4）
17．【答案】（1）解：原式
，
（2）解：∵a =，b =，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴2，
∵m 是正整数，
∴m=2．
（3）解：由得出，
∴，
∵，
∵，
∴．
18．【答案】（1）m2+3n2；2mn
（2）7；4；2；1（答案不唯一）
（3）解：a＝m2+3n2，2mn＝6，
∵a、m、n均为正整数，
∴m＝3，n＝1或m＝1，n＝3，
当m＝3，n＝1时，a＝9+3＝12，
当m＝1，n＝3时，a＝1+3×9＝28，
∴a的值为12或28．