2023年浙江省中考·数学冲刺 思维课第4讲 开放型问题（无答案）

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中考冲刺第4讲 开放型问题 模块一：条件开放型 中考冲刺 4级 ★★★★☆
模块二：结论开放型
模块三：方法开放型
（1）如图，点B、A、D、E在同一直线上，BD=AE，BC∥EF，要使△ABC≌△DEF，则只需添加一个适当的条件是 ．（只填一个即可）
（2）写出一个在三视图中俯视图与主视图完全相同的几何体 ．
（3）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，不添加任何辅助线，请添加一个条件 ，使四边形ABCD是正方形（填一个即可）．
【练习1】如图，AB，CD相交于点E，且AB=CD，试添加一个条件使得△ADE≌△CBE．现给出如下五个条件：①∠A=∠C；②∠B=∠D；③AE=CE；④BE=DE；⑤AD=CB．其中符合要求有（　　）
A． 2个 B． 3个 C． 4个 D． 5个
先化简：，再用一个你最喜欢的数代替计算结果．
【练习2】先化简，然后从的范围内选择一个合适的整数作为x的值代入求值．
已知一个函数，当时，函数值y随着x的增大而减小，请写出这个函数关系式__________．
【练习3】对于两个二次函数，，满足．当时，二次函数的函数值为5，且二次函数有最小值3．请写出两个符合题意的二次函数的解析式__________ （要求：写出的解析式的对称轴不能相同）．
如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C，连接OA、OB，点P是半径OB上任意一点，连接AP．若OA=5cm，OC=3cm，则AP的长度可能是 6
cm（写出一个符合条件的数值即可）
【练习4】如图，AB是⊙O的直径，弦BC=4cm，F是弦BC的中点，∠ABC=60°．若动点E以1cm/s的速度从A点出发在AB上沿着A→B→A运动，设运动时间为t（s）（0≤t＜16），连接EF，当t为______时，△BEF是直角三角形。4s
【例题5】如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，AC与BD相交于O点，OC=OA，若E是CD上任意一点，连结BE交AC于点F，连结DF．
（1）证明：△CBF≌△CDF；
（2）若AC=，BD=2，求四边形ABCD的周长；
（3）请你添加一个条件，使得∠EFD＝∠BAD，并予以证明．
【练习5】如图，AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，连接EF，∠AEF、∠CFE的平分线交于点G，∠BEF、∠DFE的平分线交于点H．
（1）求证：四边形EGFH是矩形；
（2）小明在完成（1）的证明后继续进行了探索，过G作MN∥EF，分别交AB，CD于点M，N，过H作PQ∥EF，分别交AB，CD于点P，Q，得到四边形MNQP，此时，他猜想四边形MNQP是菱形，请在下列框中补全他的证明思路．
【例题6】在数学课上，林老师在黑板上画出如图所示的图形（其中点B、F、C、E在同一直线上），并写出四个条件：①AB=DE，②BF=EC，③∠B=∠E，④∠1=∠2．
请你从这四个条件中选出三个作为题设，另一个作为结论，
组成一个真命题，并给予证明．
题设：　 　；结论：　 　．（均填写序号）
证明：
【练习6】如图，在△AEC和△DFB中，∠E=∠F，点A、B、C、D在同一直线上，有如下三个关系式：①AE∥DF，②AB=CD，③CE=BF．
（1）请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出你认为正确的所有命题（用序号写出命题书写形式：“如果…，那么…”）
（2）选择（1）中你写出的一个命题，说明它正确的理由．
【例题7】如图，在中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，且∠1=∠B=∠C．
（1）由题设条件，请写出三个正确结论：（要求不再添加其他字母和辅助线，找结论过程中添加的字母和辅助线不能出现在结论中，不必证明）
答：结论一：　 　；
结论二：　 　；
结论三：　 　．
（2）若∠B=45°，BC=2，当点D在BC上运动时（点D不与B、C重合），
①求CE的最大值；
②若△ADE是等腰三角形，求此时BD的长．
（注意：在第（2）的求解过程中，若有运用（1）中得出的结论，须加以证明）
【练习7-1】问题情境：将一副直角三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）按图1所示的方式摆放，其中∠ACB=90°，CA=CB，∠FDE=90°，O是AB的中点，点D与点O重合，DF⊥AC于点M，DE⊥BC于点N，试判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由．
探究展示：小宇同学展示出如下正确的解法：
解：OM=ON，证明如下：
连接CO，则CO是AB边上中线，
∵CA=CB，∴CO是∠ACB的角平分线．（依据1）
∵OM⊥AC，ON⊥BC，∴OM=ON．（依据2）
反思交流：
（1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：
依据1：　 　
依据2：　 　
（2）你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程．
拓展延伸：
（3）将图1中的Rt△DEF沿着射线BA的方向平移至如图2所示的位置，使点D落在BA的延长线上，FD的延长线与CA的延长线垂直相交于点M，BC的延长线与DE垂直相交于点N，连接OM、ON，试判断线段OM、ON的数量关系与位置关系，并写出证明过程．
【练习7-2】在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF．
（1）若E是线段AC的中点，如图1，易证：BE=EF（不需证明）；
（2）若E是线段AC或AC延长线上的任意一点，其它条件不变，如图2、图3，线段BE、EF有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；并选择一种情况给予证明．
【例题8】阅读理解：我们把对非负实数 “四舍五入”到个位的值记为《》，即当为非负整数时，若，则《》=n．例如：《0.67》=1，《2.49》=2，…．给出下列关于《》的问题：其中正确结论的个数是（　　）
①《》=2；
②《2》=2《》；
③当为非负整数时，《》=+《2》；
④若《》=5，则实数x的取值范围是；
⑤满足《》=的非负实数有三个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【练习8-1】如图，已知AB为⊙O的直径，CD、CB为⊙O的切线，D、B为切点，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点F，连接AD、BD．给出以下结论：①AD∥OC；②FC=FE；③点E为的内心．其中正确的是________________（填序号）
【练习8-2】图AB是⊙O的直径，BC是⊙O弦OD⊥CB于点E，交于点D
（1）请写出三个不同类型的正确结论：
（2）连结CD，设，，求、的关系
解题思路及方法：
找特征（中点、特殊角、折叠等），找模型：相似（母子型、A字型、八字型）三线合一、面积等；
借助问与问之间的联系，寻找条件和思路。
照搬：照搬上一问的方法，思路解决问题，如照搬字母、辅助线、全等、相似等。
找结构：寻找不变的结构，利用不变结构的特征解决问题。
【例题9】阅读理解：
我们把满足某种条件的所有点所组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹．
例如：角的平分线是到角的两边距离相等的点的轨迹．
问题：如图1，已知EF为△ABC的中位线，M是边BC上一动点，连接AM交EF于点P，那么动点P为线段AM中点．
理由：∵线段EF为△ABC的中位线，∴EF∥BC，
由平行线分线段成比例得：动点P为线段AM中点．
由此你得到动点P的运动轨迹是：______．
知识应用：如图2，已知EF为等边△ABC边AB、AC上的动点，连结EF；若AF=BE，且等边△ABC的边长为8，求线段EF中点Q的运动轨迹的长．
拓展提高：如图3，P为线段AB上一动点（点P不与点A、B重合），在线段AB的同侧分别作等边△APC和等边△PBD，连结AD、BC，交点为Q．
（1）求∠AQB的度数；
（2）若AB=6，求动点Q运动轨迹的长．
【例题10】数学活动课上，某学习小组对有一内角为120°的平行四边形ABCD（∠BAD=120°）进行探究：将一块含60°的直角三角板如图放置在平行四边形ABCD所在平面内旋转，且60°角的顶点始终与点C重合，较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段AB，AD于点E，F（不包括线段的端点）．
（1）初步尝试
如图1，若AD=AB，求证：①△BCE≌△ACF，②AE+AF=AC；
（2）类比发现
如图2，若AD=2AB，过点C作CH⊥AD于点H，求证：AE=2FH；
（3）深入探究
如图3，若AD=3AB，探究得：的值为常数，则=　　　　　　．
　
如图,若AC、BD、EF两两互相平分于点O，请写出图中的一对全等三角形(只需写一对即可)_________.
如图,∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF,给出下列结论:①∠1=∠2;②BE=CF;③△ACN≌△ABM;④CD=DN.其中正确的结论是______.(注:将你认为正确的结论都填上)
如图,已知AC=DB,要使△ABC≌△DCB,只需增加的一个条件是_________或_________.
如图,下面四个条件中,请你以其中两个为已知条件,第三个为结论,推出一个正确的命题(只需写出一种情况).
AE=AD ②AB=AC ③OB=OC ④∠B=∠C.
如图,已知△ABC、△DCE、△FEG是三个全等的等腰三角形,底边BC、CE、EG在同一直线上,且,BC=1,连结BF,分别交AC、DC、DE于点P、Q、R.
(1)求证:∽,并求出BF的长.
(2)观察图形,请你提出一个与点P相关的问题,并进行解答.
阅读材料,解答问题:
材料:“小聪设计的一个电子游戏是:一电子跳蚤从P1(-3,9)开始,按点的横坐标依次增加1的规律,在抛物线y=x2上向右跳动,得到点P2、P3、P4、P5…(如图①所示),过P1、P2、P3分别作P1H2、P2H2、P3H3垂直于x轴,垂足为H1、H2、H3，
则,即的面积为1”
问题:
(1)求四边形和四边形的面积(要求:写出其中一个四边形面积的求解过程,另一个直接写出答案);
(2)猜想四边形的面积,并说明理由(利用图②).
(3)若将抛物线改为抛物线,其他条件不变,猜想四边形的面积(直接写出答案).
① ②