中小学教育资源及组卷应用平台
分课时教学设计
第5课时《 28.2解直角三角形（2） 》教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 使学生掌握仰角、俯角的概念，并会正确运用这些概念和解直角三角形的知识解决一些实际问题．让学生体验方程思想和数形结合思想在解直角三角形中的用途． 使学生感知本节课与现实生活的密切联系，进一步认识到将数学知识运用于实践的意义.
学习者分析 通过实际问题的求解，总结出用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程，增强分析问题和解决问题的能力．
教学目标 进一步掌握用解直角三角形的知识解决实际问题的方法，体会方位角、仰角、俯角、坡度（坡比） 的含义及其所代表的实际意义，能用它们进行有关的计算.
教学重点 将实际问题转化为解直角三角形问题．
教学难点 将实际问题中的数量关系如何转化为直角三角形中元素间的关系求解．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：情境引入教师活动1： 1、直角三角形中除直角外五个元素之间具有什么关系？ 在实际生活中，解直角三角形有着广泛的应用，例如我们通常遇到的视线、水平线、铅垂线就构成了直角三角形．教师在黑板上作图． 当我们测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角；在水平线下方的角叫做俯角． 学生活动1： 通过探究活动理解． 从问题导入知识，引起学生的关注，提高学习的热情. 活动意图说明： 从实际出发，从学生已有的生活经验出发，进一步掌握用解直角三角形的知识解决实际问题的方法，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等方面得到进步和发展.环节二：新课讲解教师活动2： ※注意： (1)仰角和俯角必须是视线与水平线所夹的角，而不是与铅垂线所夹的角； (2)仰角和俯角都是锐角． 测量仰角、俯角有专门的工具，是测角仪． 学生活动2： 学生相互交流． 学生可相互交流，学生自主探究，得出结论 教师巡视，听取学生的看法、见解，随时参与讨论. 学生自主探究，得出结论. 活动意图说明： 引导学生建立模型，培养学生学以致用的能力，体会方位角、仰角、俯角、坡度（坡比） 的含义及其所代表的实际意义，能用它们进行有关的计算.并会正确运用这些概念和解直角三角形的知识解决一些实际问题.提高灵活地运用所学知识解决问题的能力.环节三：例题讲解教师活动3： 例1 2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接．“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面350 km的圆形轨道上运行，如图，当组合体运行到地球表面P点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少？(地球半径约为6 400 km，π取3.142，结果取整数) 分析：从组合体中能直接看到的地球表面最远点，是视线与地球相切时的切点． 如图，本例可以抽象为以地球中心为圆心、地球半径为半径的⊙O的有关问题：其中点F是组合体的位置，FQ是⊙O的切线，切点Q是从组合体中观测地球时的最远点，的长就是地球表面上P，Q两点间的距离．为计算的长需先求出∠POQ(即α)的度数． 解：设∠POQ＝α，在图中，FQ是⊙O的切线，△FOQ是直角三角形． ∵cosα＝＝≈0.95. ∴α≈18°， ∴的长为×6 400≈2009.6(km)． 由此可知，当组合体在P点正上方时，从中观测地球表面时的最远点距离P点约2009.6 km. 例2 热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120 m，这栋楼有多高？(结果精确到0.1) 解：如图，α＝30°，β＝60°，AD＝120. ∵tanα＝，tanβ＝， ∴BD＝AD·tanα＝120×tan30°＝120×＝40， CD＝AD·tanβ＝120×tan60°＝120×＝120. ∴BC＝BD＋CD＝40＋120＝160≈277.1(m)． 因此，这栋楼高约为277.1 m. 小组讨论:通过对上面例题的学习，你对方位角问题的解答有可感想？ 进而请你归纳利用解直角三角形的知识解决问题的一般过程． 学生活动3： 学生观察并回答教师规范解答，教师出示练习题组，学生尝试练习师巡视，个别指导. 巩固例题．先让学生独立思考，教师再根据学生的完全情况确定评讲方法. 活动意图说明： 让学生在一定的数学活动中去体验、感受数学，通过实际问题的求解，总结出用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程，渗透数形结合的思想方法，增强学生的数学应用意识和能力．从而更好地理解知识，让学生的认知结构得到不断的完善．
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1、如图，飞机在空中A处探测到它的正下方地面上目标C，此时飞行高度AC=1200米，从飞机上看地面指挥台B的俯角α的正切值为，则飞机与指挥台之间的距离AB为（ ） A.1200米 B.1600米 C.1800米 D.2000米 2. 如图，要测量B点到河岸AE的距离，在A点测得∠BAE=30°，在 点测得∠BCE=60°，又测得AC=100米，则B点到河岸AE的距离 为( ) A. 100米 B. 米 C. 米 D. 50米 选做题： 3、如图，小宏想测量塔AB的高度.他在D处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至C处.测得仰角为60°，小宏的身高1.5 m.那么该塔有多高 (结果精确到1 m)，你能帮小宏算出该塔有多高吗 【综合拓展类作业】 4. (1)小李去实验楼做实验, 两幢实验楼的高度AB=CD=20m，两楼间的距离BC=15m，已知太阳光与水平线的夹角为30°，求南楼的影子在北楼上有多高； (2) 小李想：若设计时要求北楼的采光，不受南楼的影响，请问楼间距BC长至少应为多少米
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC=100米，∠PCA=35°，则小河宽PA等于（ ） A.100sin35°米B.100sin55°米C.100tan35°米D.100tan55°米 选做题： 2.直升飞机在跨江大桥AB的上方P点处，此时飞机离地面的高度PO=450米，且A、B、O三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为α=30°，β=45°，求大桥的长AB . 【综合拓展类作业】 3.如图，某飞机于空中 探测某座山的高度，在点A处飞机的飞行高度是AF=3700米，从飞机上观测山顶目标C的俯角是45°，飞机继续以相同的高度飞行300米到B处，此时观测目标C的俯角是50°，求这座山的高度CD．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20）
教学反思
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
学 科 数学 年 级 九年级 设计者
教材版本 人教版 册、章 九年级下册 第28章
课标要求 1.了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA、cos A、 tanA 表示直角三角形中两边的比；记忆、、的正弦、余弦和正切的函数值，并会由一个特殊角的三角函数值说出这个角； 2.能够正确地使用计算器，由已知锐角求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角； 3.理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题； 4.通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化 与对应的思想，通过解直角三角的学习，体会数学在解决实际问题中的作用，并结合实际问题对微积分的思想有所感受。．
内容分析 本章"锐角三角函数"属于三角学，是《数学课程标准》中"空间与图形"领域的重要内容。从《数学课程标准》看，中学数学把三角学内容分成两个部分，第一部分放在义务教育第三学段，第二部分放在高中阶段。在义务教育第三学段，主要研究锐角三角函数和解直角三角形的内容，本套教科书安排了一章的内容，就是本章"锐角三角函数"。在高中阶段的三角内容是三角学的主体部分，包括解斜三角形、三角函数、反三角函数和简单的三角方程。无论是从内容上看，还是从思考问题的方法上看，前一部分都是后 一部分的重要基础，掌握锐角三角函数 的概念和解直角三角形的方法，是学习三角函数和解斜三角形的重要准备。 本章内容分为两节，第一节主要学习正弦、余弦和正切等锐角三角函数的概念，第二节主要研究直角三角形中的边角关系和解直角三角形的内容。第一节内容是第二节的基础，第二节是第一节的应用，并对第一节的学习有巩固和提高的作用。．
学情分析 教科书先研究了正弦函数，' 正弦函数的基础上给出余弦函数和正切函数的概念。对于正数，教科书首先设置了一个实际问题，把这个实际问题抽象学问题，就是在直角三角形中，已知一个锐角和这个锐角的对运求斜边的问题，由于这个锐角是一个特殊的角，因此可以利下一篇直角三角形中，角所对的边是斜边的一半"这个结论来解决这个问题，接下去教科书又提出问题，如果角所对的边的长度发生改变，那么斜边的长变为多少？解决这个的问题仍然需要利用上述结论，这样就能够使学生体会到"无论直角三角形的大小如何，角所对的边与斜边的比总是一个常数"，这里体现了函数的对应的思想，即的角对应数值。．
单元目标 （一）教学目标 1、正确理解锐角三角函数的定义； 2、熟练应用特殊角的三角函数值解决相关问题； 3、能根据所给条件解直角三角形； 4、能应用锐角三角函数和勾股定理的知识解决生活中的实际问题，达到学以致用。. （二）教学重点、难点 教学重点:锐角三角函数的概念和直角三角形的解法；特殊角的三角函数值. 教学难点:经历探索30度、45度、60度角的三角函数值的过程，学会三角函数在解直角三角形中的灵活运用．
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 1.教材特点分析： 1.本章安排了两个数学活动.这两个活动都是测量实物的高度.从数学角度看，都用到锐角三角函数或解直角三角形的知识. 2.“活动1”是制作测角仪，并用它测量树的高度.这个活动可以分解为两个小活动，一是制作测角仪，二是利用测角仪测量树的高度.利用半圆形量角器制作测角仪比较简单，关键是让学生明白测角仪的工作原理. 按照教科书中给出的测量步骤，利用测角仪测量树高时，可以从测角仪上读出∠ABC的度数，进而可以计算出角a的数，再测量出测量者距离树根的距离，I 及测量者的眼睛距离地面的高度，就可以求出树的高度． 3.“活动2"是利用“活动1"中制作的测角仪测量塔高。从本质上讲，“活动2"与“活动1”是同一类活动，都是利用测角仪测量一 个实物的高度，只是活动中采用的测量方法有所不同."活动2"提供了一种利用测角仪测量“底部不可及”物体高度的方法. 2.本章教学建议： (-)注意加强知识间的纵向联系 第27章"相似"为本章研究锐角三角函数打下基础，因为利用"相似三角形的对应边成比例"可以解释锐角三角函数定义的合理性。例如，教科书在研究正弦函数的概念时，利用了"在直角三角形中，所对的边等于斜边的一半"，得出了"在一个直角三角形中，如果一个锐角等于，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于"。事实上，在直角三角形中，如果一个角等于，那么这样的直角三角形都相似，因此，不管这样的三角形的大小如何，它们的对应边成比例，这也就是说，对于，虽然教科书是从两个特殊的直角三角形(的对边分别是70和50)归纳得到的，但这个结论是可以从三角形相似的角度来解释的。同样，对于有类似的情况。当然，教科书利用相似三角形的有关结论解释了在一般情形中正弦定义的合理性。因此，锐角三角函数的内容与相似三角形是密切联系的，教学中要注意加强两者之间的联系。． (二)注意数形结合，自然体现数与形之间的联系 数形结合是重要的数学思想和数学方法，本章内容又是数形结合的很理想的材料。例如，对于锐角三角函数的概念，教科书是利用学生对直角三角形的认识(在直角三角形中，所对的边等于斜边的一半，的直角三角形是等腰直角三角形)以及相似三角形的有关知识引入的，结合几何图形来定义锐角三角函数的概念，将数形结合起来，有利于学生理解锐角三角函数的本质。再比如，解直角三角形在实际中有着广泛的作用，在将这些实际问题抽象成数学问题，并利用锐角三角函数解直角三角形时，离不开几何图形，这时往往需要根据题意画出几何图形，通过分析几何图形得到边、角等的关系，再通过计算、推理等使实际问题得到解决。 3.单元知识结构框架： （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数28.1锐角三角函数(1) 128.1锐角三角函数(2)128.1锐角三角函数(3) 128.1锐角三角函数(4) 128.2解直角三角形（1）128.2解直角三角形（2）128.2解直角三角形（3）1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务28.1锐角三角函数(1) 1.了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA表示直角三角形中两边的比． 2.通过锐角三角函数的学习进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，体会数学在解决实际问题中的应用． 1.锐角三角函数的概念． 2.通过学习培养学生的合作意识，提高学生学习数学的兴趣．活动一：学生自主探索出锐角三角函数的概念． 活动二：能够正确应用sinA表示直角三角形中两边的比.28.1锐角三角函数(2)1.了解锐角三角函数的概念，能够正确应用cos，tan表示直角三角形中两边的比． 2.通过锐角三角函数的学习进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，体会数学在解决实际问题中的应用． 1.掌握锐角三角函数的概念． 2.熟练锐角三角函数概念的理解. 活动一：学生可相互交流，教师巡视，听取学生的看法、见解，随时参与讨论． 活动二：探究巩固例题． 28.1锐角三角函数(3) 1.运用三角函数的知识，自主探索，推导出30°、45°、60°角的三角函数值. 2.熟记三个特殊锐角的三角函数值，并能准确地加以运用． 1.熟记三个特殊锐角的三角函数值，并能准确地加以运用． 2．掌握与特殊角的三角函数值有关的计算．活动一：经历观察、操作、归纳等学习数学的过程，感受数学思考过程的合理性． 活动二：探究巩固例题．28.1锐角三角函数(4) 1.会使用科学计算器求锐角的三角函数值. 2.会根据锐角的三角函数值，借助科学计算器求锐角的大小. 3.熟练运用计算器解决锐角三角函数中的问题． 1.利用计算器求锐角三角函数的值． 2.计算器的按键顺序． 活动一：会使用计算器根据锐角三角函数的值求对应的锐角. 活动二：完成例题学习巩固知识点．28.2解直角三角形（1）1.理解直角三角形中三条边及两个锐角之间的关系，能运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形. 2.通过综合运用勾股定理及锐角三角函数等知识解直角三角形的过程，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力. 1.运用直角三角形的边角关系解直角三角形. 2.灵活运用锐角三角函数解直角三角形.活动一：灵活运用锐角三角函数解直角三角形. 活动二：共同探究综合运用勾股定理及锐角三角函数等知识解直角三角形. 活动三：完成例题学习巩固知识点．28.2解直角三角形（2）1.使学生掌握仰角、俯角的概念，并会正确运用这些概念和解直角三角形的知识解决一些实际问题． 让学生体验方程思想和数形结合思想在解直角三角形中的用途．1.将实际问题转化为解直角三角形问题. 2.将实际问题中的数量关系如何转化为直角三角形中元素间的关系求解.活动一：学生可相互交流，认真思考问题. 活动二：完成例题学习巩固知识点．28.2解直角三角形（3）1.巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决方位角、坡度问题。 2.掌握方位角、坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解决与方位角、坡度有关的实际问题。 3.培养学生用数学的意识，渗透数形结合的思想和方法．1.理解方位角、坡度和坡角的概念． 2.利用方位角、坡度和坡角解决有关实际问题．活动一：先让学生独立思考，教师再根据学生的完全情况确定评讲方法。 活动二：让学生与同伴交流获得结果，帮助他分析，找出问题原因，及时查漏补缺．活动三：完成例题学习巩固知识点．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共27张PPT)
28.2解直角三角形（2）
人教版 九年级 下册
教材分析
会运用解直角三角形和圆的知识解决实际问题.知道仰角和俯角的含义，会用三角函数解决观测问题.理解仰角、俯角的意义，并会解决与仰角、俯角有关的实际问题．通过实际问题的求解，总结出用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程，增强分析问题和解决问题的能力.
教学目标
教学目标：会运用解直角三角形和圆的知识解决实际 问题.知道仰角和
俯角的含义，会用三角函数解决观测问题.理解仰角、俯角的
意义，并会解决与仰角、俯角有关的实际问题.
教学重点:将实际问题转化为解直角三角形问题．
教学难点:掌握将实际问题转化为解直角三角形问题的能力．
新知导入
情境引入
高跟鞋深受很多女性的喜爱，但有时候，如果鞋跟太高，也有可能“喜剧”变“悲剧”.
新知讲解
合作学习
看一看：观察下图中的事物，了解它们的应用规律。
美国人体工程学研究人员卡特 · 克雷加文调查发现，70％以上的女性喜欢穿鞋跟高度为6至7cm左右的高跟鞋. 但专家认为穿6cm以上的高跟鞋，腿肚、脚背等处的肌肉非常容易疲劳. 若某成年人的脚掌长为15cm，鞋跟约在3cm左右高度为最佳. 据此，可以算出高跟鞋的鞋底与地面的夹角为11°左右时，人脚的感觉最舒适.
11°
你知道专家是怎样计算的吗？
由此可见，解直角三角形知识与我们的生活紧密相连，今天这节课我们就来学习“解直角三角形的应用”.
提炼概念
利用解直角三角形解决简单问题的一般解题步骤：
1. 将实际问题抽象为数学问题；
2. 根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；
3. 得到数学问题的答案；
4. 得到实际问题的答案.
典例精讲
例1:2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功．当飞船完成变轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行．如图，当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到地球上的点在什么位置？这样的最远点与P点的距离是多少？（地球半径约为6 400km，结果精确到0.1km）
分析：从飞船上能最远直接看到的地球上的点，应是视线与地球相切时的切点．
探究点一：圆与直角三角形知识的综合应用
分析：（1）如何理解从组合体中能直接看到的地球表面的最远点？
答：是视线与地球相切时的切点．
（2）你能根据题意画出示意图吗？
答：如图，FQ切⊙O于点Q，FO交⊙O于点P．
O
F
P
Q
解：设∠POQ= α，
∵FQ是☉O的切线，∴△FOQ是直角三角形.
的长为:
由此可知，当组合体在P点正上方时，从中观测地球表面的最远点距离P点约2051km.
水平线
铅垂线
视点
视线
仰角
俯角
探究点二：解与仰角、俯角有关的实际问题
如图，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线上方的夹角叫做仰角（如∠ABC)；从上往下看，视线与水平线下方的夹角叫做俯角.
例2: 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯 角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）
分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图中，a=30°,β=60°
Rt△ABC中，a =30°，AD＝120，所以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地可以求出CD，进而求出BC．
A
B
C
D
α
β
仰角
水平线
俯角
解：如图，a = 30°,β= 60°， AD＝120．
答：这栋楼高约为277.1m
A
B
C
D
α
β
归纳概念
45°
30°
200米
P
O
B
D
45°
30°
P
A
200米
C
B
O
45°
30°
450
60°
45°
200
200
45°
30°
β
α
A
B
O
P
A
B
O
P
30°
45°
450
直角三角形的应用中常见的几种图形
课堂练习
必做题
1、如图，飞机在空中A处探测到它的正下方地面上目标C，此时飞行高度AC=1200米，从飞机上看地面指挥台B的俯角α的正切值为 ，则飞机与指挥台之间的距离AB为（ ）
A.1200米
B.1600米
C.1800米
D.2000米
D
2. 如图，要测量B点到河岸AE的距离，在A点测得∠BAE=30°，在
点测得∠BCE=60°，又测得AC=100米，则B点到河岸AE的距离
为( )
B
E
C
A
B
A. 100米 B. 米
C. 米 D. 50米
选做题
3、如图，小宏想测量塔AB的高度.他在D处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至C处.测得仰角为60°，小宏的身高1.5 m.那么该塔有多高 (结果精确到1 m)，你能帮小宏算出该塔有多高吗
D′
A
B′
B
D
C′
C
解：如图，由题意可知，
∠AD′B′=30°，∠AC′B′=60°， D′C′=50m.
∴ ∠D′AB′=60°，∠C′AB′=30°，
∴ ∠D′AC′= ∠AD′B′= 30°
∴AC′=D′C′=50m
在Rt△AB′C′中，
∴AB′≈43.3
还有其他解法吗？
D′
A
B′
B
D
C′
C
综合拓展题
F
E
A
30°
15m
4. (1)小李去实验楼做实验, 两幢实验楼的高度AB=CD=20m，两楼间的距离BC=15m，已知太阳光与水平线的夹角为30°，求南楼的影子在北楼上有多高；
北
A
B
D
C
20m
15m
E
F
南
解：过点E作EF∥BC，
∴∠AFE=90°，FE=BC=15m.
即南楼的影子在北楼上的高度为
∴
(2) 小李想：若设计时要求北楼的采光，不受南楼的影响，请问楼间距BC长至少应为多少米
A
B
20m
m
北
D
C
南
解：BC至少为：
作业布置
必做题
1.如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC=100米，∠PCA=35°，则小河宽PA等于（ ）
A.100sin35°米 B.100sin55°米
C.100tan35°米 D.100tan55°米
C
选做题
2.直升飞机在跨江大桥AB的上方P点处，此时飞机离地面的高度PO=450米，且A、B、O三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为α=30°，β=45°，求大桥的长AB .
β
α
P
A
B
O
450米
解：由题意得，
答：大桥的长AB为
综合拓展题
3.如图，某飞机于空中 探测某座山的高度，在点A处飞机的飞行高度是AF=3700米，从飞机上观测山顶目标C的俯角是45°，飞机继续以相同的高度飞行300米到B处，此时观测目标C的俯角是50°，求这座山的高度CD．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20）
解：设EC=x
在Rt△BCE中，tan ∠EBC=
则BE= = x
在Rt△ACE中，tan ∠EAC=
则AE= = x
∵AB+BE=AE ∴300+ x=x
解得 x=1800
这座山的高度
CD=DE-EC=3700-1800=1900（m）．
答：这座山的高度是1900 m．
课堂总结
一般解题步骤
1. 将实际问题抽象为数学问题
2. 根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形
3. 得到数学问题的答案
4. 得到实际问题的答案
应用
利用解直角三角形解决简单问题
利用解直角三角形解决与视角有关的问题
作业布置
教材课后配套作业题。
谢谢
21世纪教育网（www.21cnjy.com)
中小学教育资源网站
兼职招聘：
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/admin
