2022-2023学年江西省宜春市丰城九中高一（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年江西省宜春市丰城九中高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.函数的零点所在区间为( )
A. B. C. D.
3.函数的定义域是( )
A. B. C. D.
4.已知函数，不等式的解集为( )
A. B. C. D.
5.从，，，这个数中不放回地任意取两个数，两个数的和是奇数的概率为( )
A. B. C. D.
6.已知函数，则( )
A. B. C. D.
7.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
8.已知函数为奇函数，，若对任意，，恒成立，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数既是偶函数又在上单调递增的是( )
A. B. C. D.
10.下列说法正确的有( )
A. 函数与函数是同一函数
B. 函数在定义域上是偶函数
C. 若，则在定义域内单调递减
D. 若，，则函数的值域为
11.某电视传媒机构为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了名观众进行调查，其中女性占根据调查结果分别绘制出男、女观众两周时间收看该类体育节目时长的频率分布直方图，则( )
A.
B. 女观众收看节目时长的中位数为小时
C. 女观众收看节目的平均时长小于男观众的平均时长
D. 收看节目不少于小时观众中的女观众人数是男观众人数的
12.已知函数，下列论述中正确的是( )
A. 当时，的定义域为
B. 的定义域为，则实数的取值范围是
C. 的值域为，则实数的取值范围是
D. 若在区间上单调递增，则实数的取值范围是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数，则的值是______．
14.若幂函数在上单调递减，则______．
15.设函数，为奇函数，且，则 ______ ．
16.已知函数，若关于的方程有个不同的实数根，则的取值范围为______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知关于的不等式的解集为．
求实数，的值；
正实数，满足，求的最小值．
18.本小题分
已知二次函数关于直线对称，，且二次函数的图像经过点．
求的解析式；
求在上的值域．
19.本小题分
某校研究性学习小组从汽车市场上随机抽取辆纯电动汽车调查其续驶里程单次充电后能行驶的最大里程，被调查汽车的续驶里程全部介于公里和公里之间，将统计结果分成组：，，，，，绘制成如图所示的频率分布直方图．
Ⅰ求直方图中的值；
Ⅱ求续驶里程在的车辆数；
Ⅲ若从续驶里程在的车辆中随机抽取辆车，求其中恰有一辆车的续驶里程为的概率．
20.本小题分
某太空设施计划使用年，为了降低能源损耗，需要在其外表涂装特殊材料制作的保护层另因技术原因，该保护层的厚度不能超过，且其成本以厚度计为万元已知此太空设施每年的能源消耗费用单位：万元与保护层厚度单位：满足关系为常数，若不涂装保护层，每年能源消耗费用为万元设为保护层涂装成本与年的能源消耗费用之和．
求的值及的表达式；
当涂装保护层多厚时，总费用达到最小？并求出最小值．
21.本小题分
已知函数，
当时，且，求函数的值域；
若在对任意的实数恒成立，求实数的取值范围．
22.本小题分
已知，，为实数．
当时，求函数的最大值；
求函数的最大值的解析式；
若对任意恒成立，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，，
则．
故选：．
根据已知条件，结合交集的定义，即可求解．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由题意，可知是定义域在上连续不断的递增函数，
又，
所以由零点存在定理可知，零点所在区间为．
故选：．
直接根据零点存在性定理判断零点所在区间即可．
本题考查了零点存在定理，属基础题．
3.【答案】
【解析】解：对于函数，由，求得或，
可得函数的定义域为：．
故选：．
由题意，根据对数式的真数大于零、分式的分母不为零，求解出的取值范围可得答案．
本题主要考查对数、分式的性质，求函数的定义域，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：，
则，在上单调递增，
而，则是奇函数，
所以，
所以，，
所以不等式的解集是．
故选：．
结合的单调性和奇偶性求得正确答案．
本题主要考查不等式的解法，考查导数的应用，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：从，，，这个数中，不放回地任意取两个数，共有：，，，，，，，，，，，共种，
其中满足条件有，，，，，，，共种情况，
故从，，，这个数中，不放回地任意取两个数，两个数的和是奇数的概率．
故选：．
根据已知从，，，这个数中不放回地任意取两个数，我们列出所有的基本事件个数，及满足条件两个数的和是奇数的基本事件个数，代入古典概型概率公式，即可得到答案．
本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：，令得：．
故选：．
将代入求解即可．
本题主要考查了求函数值，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：，
为偶函数，排除．
，排除和．
故选：．
根据函数的奇偶性排除，再根据函数在处函数值的正负排除和，得出结果．
本题考查函数图象，属于基础题．
8.【答案】
【解析】函数的定义域为，为奇函数，
所以，解得，所以，
所以，
要使对任意，，恒成立，只需，
显然，由复合函数的单调性可知，在上单调递减，
在上单调递增，又，
所以，即，
所以的取值范围为．
故选：．
根据题意可知，要使对任意，，恒成立，只需，再求出的取值范围即可．
本题考查了利用函数的奇偶性求参数的值，复合函数的单调性和利用不等式恒成立求参数的取值范围，考查了转化思想和方程思想，属中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于：，函数定义域为，
，即是偶函数，
当时，，此时在上单调递增，故A正确；
对于：为非奇非偶函数，故B错误；
对于：，函数定义域为，
，此时是奇函数，故C错误；
对于：，函数定义域为，
，即是偶函数，
令，显然在上单调递增，
又在上单调递增，
则在上单调递增，故D正确．
故选：．
根据函数的奇偶性和单调性，逐一分析选项，即可得出答案．
本题考查函数的单调性和奇偶性，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：对于，的定义域为，的定义域为，
定义域不相同，不是同一函数，所以A错误；
对于，，定义域为，，，
所以函数定义域上是偶函数，故B正确；
对于，在，单调递减，故C错误；
对于，因为，，，
所以值域为，故D正确．
故选：．
根据函数相等的两要素可判断，根据奇偶性的定义判断，根据幂函数的性质判断，根据函数的定义判断．
本题考查了偶函数的定义，函数的定义，反比例函数的单调性，是基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于，由，解得，故A错误；
对于，由频率分布直方图可知，女观众收看时长在的频率为，在的频率为，所以女观众收看时长的中位数落在中，不妨设为，
则，解得，则女观众收看时长的中位数为，故B正确；
对于，男性观众收看节目的平均时长为小时，女性观众收看节目的平均时长为小时，故C正确；
对于，由频率直方图可知，男性观众收看到达小时人数为人，女性观众收看达到小时人数为人，故D错误．
故选：．
利用频率分布直方图频率、频数、中位数与平均数的求法，对选项逐一检验即可．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了平均数、中位数和众数的定义，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：对于：当时，，由解得，故A正确；
对于：的定义域为，则恒成立，则，
解得，故B正确；
对于：的值域为，则能取完所有正数，此时，
解得，故C正确；
对于：因为复合函数是由，，复合而成，而在上单调递增，又在区间上单调递增，
所以在上单调递增，则有，解得，
又在上恒成立，则有，解得，
综上，，故D错误；
故选：．
由对数型复合函数的定义域可判断；由对数函数的值域判断；由复合函数的单调性可判断
本题综合考查了函数的定义域，值域及复合函数性质的综合应用，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：，
故答案为：
先求，，故代入时的解析式；求出，，再求值即可．
本题考查分段函数的求值问题，属基本题．求形式的值，要由内而外．
14.【答案】
【解析】解：因为幂函数在上单调递减，
所以，
解得或舍，
故答案为：．
由已知结合幂函数的定义及性质即可求解．
本题主要考查了幂函数的定义及性质，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：因为，所以，
因为为奇函数，所以，则，
所以．
故答案为：．
根据奇函数的定义求解即可．
本题考查函数奇偶性的性质与判断，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：作出的图象：
因为，故，
即或．
由题意，与和的图象共个公共点，
由图象可得或，故或．
所以的取值范围为．
故答案为：．
作出的图象数形结合，根据分析即可．
本题考查嵌套函数零点问题，数形结合的数学思想方法，属中档题．
17.【答案】解：由题意可得和是方程的两个根，
由根与系数的关系可得，解得，．
正实数，满足，由可得，即，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为．
【解析】由一元二次不等式的解集可知和是方程的两个根，由此利用根与系数的关系，即可求得答案；
由已知结合可得，将变形为，展开后利用基本不等式即可求得答案．
本题考查一元二次不等式以及基本不等式相关知识，属于基础题．
18.【答案】解：设，
由题意可得，
解得，
故．
由题可知函数的对称轴为，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
因为，，，
所以函数在上的值域为．
【解析】待定系数法设二次函数的解析式，根据题意联立方程组解出即可；
利用二次函数的性质求二次函数在闭区间上的最值或值域．
本题主要考查了二次函数的性质，考查了待定系数法求函数解析式，属于基础题．
19.【答案】解：Ⅰ由直方图可得：，
；
Ⅱ由题意可知，续驶里程在的车辆数为：；
Ⅲ由Ⅱ及题意可知，续驶里程在的车辆数为，
续驶里程在的车辆数为，
从这辆中随机抽取辆车，共有种抽法；
其中恰有一辆汽车的续驶里程为抽法有种，
恰有一辆车的续驶里程为的概率为．
【解析】利用小矩形的面积和为，求得值；
求得续驶里程在的车辆的频率，再利用频数频率样本容量求车辆数；
利用排列组合，分别求得辆中随机抽取辆车的抽法种数与其中恰有一辆汽车的续驶里程为抽法种数，根据古典概型的概率公式计算．
本题考查了频率分布直方图，古典概型的概率计算，在频率分布直方图中频率小矩形的面积小矩形的高组距．
20.【答案】解：当时，，
，，
；
，
设，，
，
当且仅当，即时，有最小值．
此时，的最小值为．
即涂装保护层厚度为时，总费用达到最小，最小值是万元．
【解析】由题知，时，，可求出，得出，化简列出定义域即可；
结合换元法和基本不等式即可求解．
本题考查函数模型的运用，基本均值不等式的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．
21.【答案】解：当时，令，
由，得，
当时，；当时，．
函数的值域为；
设，则，在对任意的实数恒成立
等价于在上恒成立，
在上恒成立，
，
设，，函数在上单调递增，在上单调递减
，

【解析】把代入函数解析式，换元后利用配方法求函数的值域；
令，由的范围得到的范围，则问题转化为在上恒成立，构造函数，求出函数的最值即可．
本题考查了二次函数在闭区间上的最值，考查了换元法，考查了数学转化思想方法，是中档题．
22.【答案】解：，
当时，当时取等号，
即当时，函数的最大值是；
，令，则，
上式可化为；
讨论对称轴，
若，即时，在上单调递减，；
若，即时，在上单调递增，在上单调递减，；
若，即时，在上单调递增，；
综上，；
根据题意：对任意的恒成立，
当时，，由于关于单调递减，
．
当时，，
而，
．
综上，，即
【解析】当时，利用对数函数的性质可求得函数的最大值；
令，，可得，讨论对称轴，可得函数的最大值的解析式；
根据题意：对任意的恒成立，当时，，解之可得；当时，恒成立，解之可得，综合可得实数的取值范围．
本题考查函数恒成立问题与函数的最值的求法，考查等价转化思想与计算能力和逻辑推理能力，属于难题．
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