浙江省绍兴市诸暨中学暨阳分校2023-2024学年高一（上）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年浙江省绍兴市诸暨中学暨阳分校高一（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.已知幂函数的图象经过点，，则( )
A. B. C. D.
4.下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是( )
A. B. C. D.
5.已知函数为上的奇函数，当时，，则当时，的解析式为( )
A. B. C. D. 以上都不对
6.若，，则下列不等式中必然成立的一个是( )
A. B. C. D.
7.已知函数的定义域是，则函数的定义域为( )
A. B. C. D.
8.若存在，有成立，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共4小题，共16分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各组函数表示同一函数的是( )
A. B.
C. D.
10.“关于的不等式对恒成立”的必要不充分条件有( )
A. B. C. D.
11.已知，且，那么下列不等式中，恒成立的有( )
A. B. C. D.
12.设，则下列选项中正确的有( )
A. 若有两个不同的实数解，则
B. 若有三个不同的实数解，则
C. 的解集是
D. 的解集是，
三、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。
13.已知函数，则 ______ ．
14.已知，则的单调递增区间为 ．
15.已知偶函数在区间上单调递减，则满足的的取值范围是______．
16.已知函数，若存在区间，使得函数在上的值域为，则实数的取值范围为______ ．
四、解答题：本题共6小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知集合，．
若，求和；
若，求实数的取值范围．
18.本小题分
计算：；
已知，求的值．
19.本小题分
已知幂函数为偶函数．
求的解析式；
若在区间上不单调，求实数的取值范围．
20.本小题分
函数是定义在上的奇函数，且．
确定的解析式；
判断在上的单调性，并证明你的结论；
解关于的不等式．
21.本小题分
天气转冷，宁波某暖手宝厂商为扩大销量，拟进行促销活动根据前期调研，获得该产品的销售量万件与投入的促销费用万元满足关系式为常数，而如果不搞促销活动，该产品的销售量为万件已知该产品每一万件需要投入成本万元，厂家将每件产品的销售价格定为元，设该产品的利润为万元注：利润销售收入投入成本促销费用
求出的值，并将表示为的函数；
促销费用为多少万元时，该产品的利润最大？此时最大利润为多少？
22.本小题分
已知函数．
当时，求函数的单调区间；
当时，若函数在上的最小值为，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为，，
所以．
故选：．
根据交集运算直接求解即可．
本题主要考查了集合交集运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：“，”的否定是，．
故选：．
将存在改成任意，且将改成，即可求解．
本题主要考查命题的否定，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：幂函数的图象经过点，，
则，即，所以，解得，
所以，则．
故选：．
首先求出函数解析式，再代入计算可得．
本题主要考查幂函数的概念，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：：为奇函数，不符合题意；
：为偶函数且在上单调递增，符合题意；
：在上单调递减，不符合题意；
为奇函数，不符合题意．
故选：．
结合基本初等函数单调性及奇偶性的定义分别检验各选项即可判断．
本题主要考查了基本初等函数的单调性及奇偶性的判断，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：根据题意，设，则，
函数为上的奇函数，当时，，
则．
故选：．
根据题意，设，则，利用奇函数的性质求时的函数解析式即可．
本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数解析式的求法，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，若，，，，满足，，但不满足，A错误，
对于，若，，，，满足，，但不满足，B错误，
对于，若，则，又由，则，C正确，
对于，若，，，，满足，，但不满足，D错误，
故选：．
根据题意取特殊值即可判断，利用不等式的基本性质即可判断．
本题考查了不等式的性质，属于基础题．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了函数定义域的定义及求法，已知的定义域求定义域的方法，已知的定义域求的定义域的方法，考查了计算能力，属于基础题．
解：的定义域是，
，
，
需满足，，
的定义域为．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：因为存在，有成立，
所以在上有解，所以，
记，，令，则，
则，，
由对勾函数单调性知，在上单调递减，在上单调递增，
又当时，的函数值为，当时，的函数值为，且，
所以在上的最大值为，
所以，即实数的取值范围是．
故选：．
分离参数得在上有解，从而，利用对勾函数的单调性求得最值即可求解．
本题考查了一元二次不等式有解问题，考查了函数思想及转化思想，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：的值域为，的值域为，不是同一函数，故A错误；
，二者的定义域、值域、对应法则均相同，为同一函数，故B正确；
定义域都为，的定义域为，不是同一函数，故C错误；
，二者的定义域、值域、对应法则均相同，为同一函数，故D正确．
故选：．
判断函数的定义域与对应法则是否相同，即可判断两个函数是否相同函数．
本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：若关于的不等式对恒成立，
当时，不等式为，满足题意；
时，则必有且
解得，
故的范围为，
故“关于的不等式对恒成立”的必要不充分条件的集合必真包含集合．
故选：．
讨论二次项系数，求出满足条件的的范围，根据题中条件考查选项即可．
本题主要考查了不等式恒成立求解参数范围，体现了转化思想的应用，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：，且，
，即，当且仅当时，等号成立，即选项A正确；
令，则，
在上单调递减，
当时，取得最小值，为，即，故选项B正确；
，
，即选项C正确；
，当且仅当时，等号成立，即选项D错误．
故选：．
选项A，由，得解；
选项B，令，则，再结合对勾函数的图象与性质，可得解；
选项C，由，再根据选项A的推导，得解；
选项D，由“乘法”，可得解．
本题考查基本不等式的应用，熟练掌握“乘法”和对勾函数的图象与性质是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】 解：画出函数的图象，如图所示：
由图可知，与，的图象有两个交点，则，选项A错误；
与，的图象有三个不同的交点时，，所以选项B正确；
不等式的解集是，所以选项C正确；
令，由，即，可得或，
则或，解得或或，
所以的解集是，，选项D错误．
故选：．
根据题意画出函数的图象，结合图象求解即可．
本题考查了函数的图象与性质的应用问题，也考查了不等式解集的判断问题，是中档题．
13.【答案】
【解析】解：因为，所以，
则．
故答案为：．
根据分段函数解析式计算可得．
本题主要考查函数的值，属于基础题．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，属于中档题．
由题意利用复合函数的单调性可得，本题即求函数在定义域内的增区间，再利用二次函数的性质得出结论．
【解答】
解：，
，解得，或，
故函数的定义域为或，
本题即求函数在定义域内的增区间．
再利用二次函数的性质可得函数在定义域内的增区间为，
故答案为：．
15.【答案】
【解析】解：因为为偶函数，所以，
所以，
又在上单调递减，
所以，解得，或，
所以的取值范围为，
故答案为．
由偶函数性质得，根据在上的单调性把该不等式转化为具体不等式，解出即可．
本题考查函数的奇偶性、单调性的综合，考查抽象不等式的求解，考查转化思想，解决本题的关键是利用函数的性质把抽象不等式具体化．
16.【答案】
【解析】解：由函数，显然该函数在上单调递增，
由函数在上的值域为，则，
等价于存在两个不相等且大于等于的实数根，
且在上恒成立，则，
解得．
故答案为：
根据函数单调性，建立方程组，等价转化为二次方程求根，建立不等式组，可得答案．
本题主要考查了函数值域的求解，属于中档题．
17.【答案】解：由，即，解得，
所以，
当时，，
所以，或，
所以或．
因为，所以，
当时，，解得，
当时，，解得，
综上，实数的取值范围是．
【解析】首先解一元二次不等式求出集合，再根据集合的运算法则计算可得；
依题意可得，分和两种情况讨论，分别计算可得．
本题考查集合的运算，考查运算求解能力，属于基础题．
18.【答案】解：原式
；
因为，所以，
即，所以，
所以
，
所以．
【解析】根据根式的性质及幂的运算法则计算可得；
根据幂的运算法则计算可得．
本题主要考查了指数幂的运算性质的应用，属于基础题．
19.【答案】解：因为为幂函数，则，解得或，
当时，则为奇函数，不合题意；
当时，则为偶函数，符合题意；
综上所述：；
由可得：，其对称轴，
因为在区间上不单调，则，解得，
实数的取值范围．
【解析】根据幂函数的定义结合函数奇偶性分析求解；
根据二次函数单调性运算求解．
本题考查了函数的奇偶性、单调性及其运用，是基础题．
20.【答案】解：由函数是定义在上的奇函数，得，解得，
经检验，时，，
所以是上的奇函数，满足题意，
又，解得，
故，；
函数在上单调递增．证明如下：
任取，且，
则，
因为，且，所以，，
，，，
所以，所以，即，
所以在上单调递增．
因为在上单调递增，且为奇函数，
所以不等式，即，
等价于，解得，
即不等式的解集为．
【解析】由已知得，求出、的值，即可求得函数的解析式，再检验即可；
根据函数单调性的定义可证明；
根据函数的单调性和奇偶性建立不等式组，求解即可．
本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，考查运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：由题知，时，，
所以，解得．
所以根据题意，，
即，
所以．
，
当且仅当，即时，等号成立．
所以当促销费用为万元时，该产品的利润最大，最大利润为万元．
【解析】先由已知条件求出待定系数，写出促销费用关系式，计算销售收入、投入成本，再表达利润即可；
将函数关系式作配凑变形，利用基本不等式求最值．
本题考查了利用基本不等式求最值的应用问题，是基础题．
22.【答案】解：根据题意，当时，，
其图象大致如图：
由此可知函数在区间和上为单调减函数，在区间上为单调增函数，
所以的单调增区间为，单调减区间为和；
因为，
当时，，
此时函数的图象为开口向下的抛物线，对称轴为；
当时，，
此时函数的图象为开口向上的抛物线，对称轴为，且；
又因为，
作出函数的大致图象，如图所示：
又因为在上的最小值为，
所以当，即时，由题意可知，解得，不满足，舍去；
当，即时，由题意可知，解得，满足题意；
当时，，此时，
当，即时，由题意可知，解得，
因为，
所以，满足题意；
当，即时，由题意可知，解得，不满足题意，故舍去．
综上，．
【解析】将代入，作出函数的图象，结合图象即可得答案；
将函数写成分段函数，作出大致图象，结合图象分、结合函数图象分别求解即可．
本题考查了二次函数的最值、单调性、数形结合思想及分类讨论思想，属于中档题．
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