浙江省温州十校联合体2023-2024学年高二上学期数学期中考试试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1．（2023高二上·联合期中）双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：双曲线的渐近线方程为，化简可得.
故答案为：B.
【分析】根据双曲线方程直接求渐近线方程即可.
2．（2023高二上·联合期中）平行六面体中，化简（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】解：
由图可知，故.
故答案为：B.
【分析】利用空间向量的线性运算求解即可.
3．（2023高二上·联合期中）若直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二倍角的正切公式；直线的斜率
【解析】【解答】解：因为直线的倾斜角为，所以，又直线的倾斜角为，所以，则.
故答案为：C.
【分析】根据斜率和倾斜角的关系，再结合二倍角公式求解即可.
4．（2023高二上·联合期中）若圆与圆仅有一条公切线，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：因为圆仅有一条公切线，所以两圆内切，易得，两圆半径分别为，所以，所以.
故答案为：B.
【分析】由题意可得两圆内切，利用圆心距等于半径的差，即可求得实数a的值.
5．（2023高二上·联合期中）如图，是棱长为1的正方体中，点在正方体的内部且满足，则到面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】空间向量的数量积运算；空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】解：建立如图所示空间直角坐标系：
易得，，所以，设平面的法向量为，所以，则，令可得，即，所以到面的距离为
故答案为：A.
【分析】以A为原点建立空间的坐标系，求得，平面的法向量为，利用空间向量到平面 距离即可.
6．（2023高二上·联合期中）细心的观众发现，2023亚运会开幕式运动员出场的地屏展示的是8副团扇，分别是梅兰竹菊松柳荷桂。“梅兰竹菊，迎八方君子；松柳荷桂，展大国风范“。团扇是中国传统文化中的一个重要组成部分，象征着团结友善。花瓣型团扇，造型别致，扇作十二葵瓣形，即有12个相同形状的弧形花瓣组成，花瓣的圆心角为，花瓣端点也在同一圆上，12个弧形花瓣也内切于同一个大圆，圆心记为，若其中一片花瓣所在圆圆心记为，两个花瓣端点记为，切点记为，则不正确的是（ ）
A．在同一直线上
B．12个弧形所在圆的圆心落在同一圆上
C．
D．弧形所在圆的半径变化时，存在
【答案】D
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：已知外圈两个圆的圆心都为，令最外面圆半径为，花瓣所在圆半径为，
对于A：因为大圆与小圆内切且切点为，所以切点与两个圆心共线，即 在同一直线上 ，故A正确；
对于B：由两圆内切可知为定值，所以12个弧形的圆心在同一圆上，故B正确；
对于C：因为12个弧形花瓣也内切于同一个大圆，所以，故C正确；
对于D：由得，所以，又，所以，所以，所以恒成立，故D错误.
故答案为：D.
【分析】根据两个圆的位置关系逐个判断即可.
7．（2023高二上·联合期中）已知是直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别
为，当直线与平行时，（ ）
A． B． C． D．4
【答案】A
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：如图，连接，由切圆于知，
因为直线与平行 ，则，根据点到直线的距离公式得，已知圆的半径为1，于是，由四边形面积，得，所以
故答案为：A.
【分析】根据题意作出图形，利用圆的切线的性质，结合面积法求解作答即可.
8．（2023高二上·联合期中）已知曲线的方程为，则下列说法不正确的是（ ）
A．无论取何值，曲线都关于原点成中心对称
B．无论取何值，曲线关于直线和对称
C．存在唯一的实数使得曲线表示两条直线
D．当时，曲线上任意两点间的距离的最大值为
【答案】C
【知识点】圆锥曲线的几何性质
【解析】【解答】解：A选项，在曲线C上任取一点，则关于原点的对称点为，
代入曲线方程可知，即，所以无论a取何值，曲线都关于原点成中心对称，故A选项正确；
B选项，关于的对称点为，代入曲线方程得，
所以对称点在曲线上. 关于的对称点为，代入曲线方程得，故对称点也在曲线上，故B选项正确；
C选项，当时，曲线方程为，即，即或，
当，曲线方程，即，即或，故C选项错误；
D选项，当时，曲线C的方程为，，代入曲线方程化简得，，方程表示焦点在轴上的椭圆，所以曲线C上任意两点间的距离的最大值为，故D选项正确；
故答案为：C.
【分析】对于AB选项，根据对称性即可判断，C选项可以代入，可以验证，D选项可以判断出为椭圆，则根据椭圆的性质即可判断.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2023高二上·联合期中）已知，，三点不共线，对平面外的任一点，下列条件中能确定点，，，共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】共面向量定理
【解析】【解答】解：因为三点不共线，若四点共面，根据向量共面定理，不妨设，则，
即，则，
反之若，则有，故，即向量共面，故共面，
A，若，则有，故共面，A正确；
B，若，则有，故共面，B正确；
C，若，则有，故不共面，C错误；
D，若，则有，故共面，D正确；
故答案为：ABD.
【分析】根据已知条件，利用空间向量的共面定理判断即可.
10．（2023高二上·联合期中）已知曲线表示椭圆，下列说法正确的是（ ）
A．的取值范围为
B．若该椭圆的焦点在轴上，则
C．若，则该椭圆的焦距为4
D．若椭圆的离心率为，则
【答案】B,C
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由题意，解得，故A错；
椭圆的焦点在y轴上，则，解得即，故B对；
若，则，故，该椭圆的焦距为4，C对；
若椭圆的离心率为，可得或，解得或，故D错.
故答案为：BC.
【分析】由方程表示椭圆可得，再根据椭圆的性质逐项判断即可.
11．（2023高二上·联合期中）已知过点的直线与圆交于两点，在处的切线为，在处的切线为，直线与交于点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线与圆相交弦长最短为
B．中点的轨迹方程为
C．四点共圆
D．点恒在直线上
【答案】A,C,D
【知识点】轨迹方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：易得圆心，半径，，当点为弦的中点，时，弦最短，最短为，故A正确；
设的中点为，当不重合时，易知，即在以为直径的圆上，易知的中点为，所以点D的轨迹方程为，即，显然当点重合时也符合上述方程，但当时，此时为直径，过的切线平行，不符合题意，故点D的轨迹方程为，故B错误；
易知，即Q、A、B、C四点在以为直径的圆上，故C正确；
不妨设，则以为直径的圆，圆心为，半径为，则该圆方程为，易知直线为圆与圆的公共弦，两圆方程作差可得，又直线过点P，即，故D正确；
故答案为：ACD.
【分析】利用圆的性质和弦长公式，以及两圆的公共弦方程逐项判断即可.
12．（2023高二上·联合期中）已知正方体的棱长为1，为棱（包含端点）上的动点，下列命题正确的是（ ）
A．二面角的大小为
B．
C．若在正方形内部，且，则点的轨迹长度为
D．若，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为
【答案】B,D
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系；二面角的平面角及求法
【解析】【解答】建立如图所示空间直角坐标系：
因为正方体的棱长为，则，设，，
A、易得，，设平面的法向量为，
则，即，令，可得，所以；
设平面的法向量为，则，即，令，可得，所以，故，又因为二面角为锐二面角，故其余弦值为，故二面角的平面角不是，故A错误；
B、，因为，所以，故B正确；
C、由在正方形内部，且，若分别是上的点，且，此时，由图知：O在上，故以为圆心，为半径的四分之一圆弧上，
所以点轨迹的长度为，故C错误；
D、设直线与平面所成的角为，因为平面，易知为平面的法向量，
而，故，因为，所以，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，利用空间向量数量积计算夹角的余弦值即可判断A；求出向量的坐标后利用空间向量的数量积可判断B；由已知条件确定的轨迹图，进而求其长度即可判断C；最后利用直线和平面的法向量利用空间向量计算线面角的正弦值即可判断D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2023高二上·联合期中）过点且与直线平行的直线记为，则两平行线，之间的距离为 ．
【答案】
【知识点】直线的一般式方程与直线的平行关系；平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】解：由题意设，把 点 代入得，解得，
所以两平行线 ，之间的距离.
故答案为：.
【分析】利用两直线的平行关系先求直线，再由平行线的距离公式计算求解即可.
14．（2023高二上·联合期中）已知椭圆，为椭圆的左右焦点，为椭圆上的一点，且，延长交椭圆于，则 ．
【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由椭圆方程，易得，，设点，
因为，所以，则，即①，
又因为P为椭圆上的一点，所以②，联立①②解得，，所以点或；当时，易得，所以直线方程为，联立方程组，解得，所以；
当，易得，所以直线方程为，联立方程组，解得，所以，
综上可知，.
故答案为：.
【分析】设点，根据，建立向量关系，求出点的坐标，然后求出直线的方程，联立直线和椭圆方程，求出点的坐标，再利用两点间的距离公式求解即可.
15．（2023高二上·联合期中）把正方形沿对角线折成的二面角，、分别是、的中点，是原正方形的中心，则的余弦值为 ．
【答案】
【知识点】空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：由题意可知折后图形如图所示：
易知，则为二面角所对应的平面角，故，
设正方形的边长为2，则，，
、分别是、的中点 ，所以，
故
，所以.
故答案为：.
【分析】由题意可得为二面角的平面角，利用空间向量的夹角公式，结合向量数量积的运算求解即可.
16．（2023高二上·联合期中）双曲线的光学性质为：如图①，从双曲线的右焦点发出的光纤经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图②，其方程为，，为其左右焦点，若从由焦点发出的光线经双曲线上的点和点反射后，满足，，则该双曲线的离心率为 ．
【答案】
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：根据双曲线的光学性质可知与三点共线，故，，设 ，则，
由双曲线的定义可知，所以，
两式相加可得，所以，解得，，
由勾股定理可知，得，推出
故.
故答案为：.
【分析】根据光学性质结合双曲线的性质，利用勾股定理计算即可.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 、证明过程或演算步骤.
17．（2023高二上·联合期中）已知圆，过点.
（1）若直线被圆截得的弦长，求直线的方程；
（2）若直线被圆截得的优弧和劣弧的弧长之比为，求直线的方程．
【答案】（1）解1：圆O：(x-2)2+(y-1)2=5
①斜率不存在时，x=0满足题意；
②斜率存在时，设直线l：y=kx+2
则圆心O到直线l的距离为2
即d==2
∴k=
∴l：x=0或y=x+2
（斜率不存在没有讨论，扣1分）
解2：点(0，2)在圆上，故令圆上点(x0，y0)，则弦长为……①
又=0……②
①-②得
y0=2x0……③
③式代入到①式得
5-8=0
∴= =或=0 =0
∴或斜率不存在（不算斜率，直接代入算出直线方程，同样给分）
∴l：x=0或y=x+2
（斜率不存在没有讨论，扣2分）
解3：以(0，2)为圆心，以2为半径的圆为x2+（y-2）2=22……①
O：x2+y2-4x-2y=0……②
①-②得y0=2x0……③
后面做法同解2，给分标准也同解2
解4：①斜率不存在时，x=0满足题意；
②斜率存在时，设直线l：y=kx+2
弦长：
或
（2）易知劣弧所对圆心角为
圆心到直线的距离为即
或-3
或
【知识点】直线的点斜式方程；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）法一，分直线斜率存在与不存在两种情况，斜率不存在时，x=0满足题意；当斜率存在时，设直线l：y=kx+2，根据点到直线距离公式求解即可；
法二，利用点在圆上，直接设出另一个交点，联立方程和，从而可求出另一个交点，进而可求出结果；
法三，利用点在圆上，因为弦长为2，则另一个点在以2为半径的圆为上，直接求出另一个交点，从而可求出结果；
法四，分直线斜率存在与不存在两种情况，当斜率不存在时，x=0满足题意；斜率存在时，设直线
l：y=kx+2，联立方程，得到，再利用弦长公式即可求出结果；
（2）由题意圆心到直线的距离为即，求出k的值，即可得到直线的方程．
18．（2023高二上·联合期中）如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，，，是的中点．
（1）证明：；
（2）当点为棱中点时，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）取PA中点G，连GE，GB.
∵E为PD中点∴GE∥AD
∵∠BAD=∠ABC=90°，
四边形BCGE为平行四边形
面面PAB
∴GE//GB
（取AD中点为，证面面PAB，再证面PAB.同样给分)
（2）取AD中点，连PO，OC.
为正三角形，
面面ABCD，面面
面ABCD
由平面知识易知.
如图以为原点建立空间直角坐标系
则
设面PAB的一个法向量为
则
∴
设AM与平面PAB所成角为
则
故直线AM与平面PAB所成角的正弦值为
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）取PA中点G，连GE，GB，即可得到四边形BCGE为平行四边形，从而得到GE//GB，即可证得 ；
（2）取AD中点，连PO，OC，由面面垂直的性质得到面ABCD，以为原点建立空间直角坐标系，求出，面PAB的一个法向量为，利用空间向量法计算即可得解.
19．（2023高二上·联合期中）已知点，，动点满足，记点的轨迹为曲线.
（1）求曲线方程；
（2）若直线上存在点满足，求实数的最小值．
【答案】（1）设
（2）解1：(在圆上及圆的内部).
解2：
得
【知识点】圆的一般方程；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）设，利用两点距离公式，根据已知条件计算求解即可；
（2）法一，由已知得，即点在圆上或在圆内，结合点到直线的距离公式计算求解即可得解；
法二，联立直线方程与圆C方程得，利用判别式得，计算求解即可.
20．（2023高二上·联合期中）已知点，，动点满足关系式．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）是过点且斜率为2的直线，是轨迹上（不在直线上）的动点，点在直线上，且，求的最大值及此时点的坐标．
【答案】（1）由椭圆的定义可知，又因为，根据求得
所以椭圆方程为：.
（2）设的坐标为，且满足
则直线；直线
联立得：，所以
设
则当时，所以
此时
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的参数方程
【解析】【分析】（1）由椭圆定义知，因为，根据求得，从而可得椭圆的方程 ；
（2）设的坐标为，根据条件求出，从而得出，设（为参数），利用参数方程即可求出结果.
21．（2023高二上·联合期中）如图，在以，，，，，为顶点的五面体中，面为正方形，，，点在面上的射影恰为的重心．
（1）证明：；
（2）证明：；
（3）求该五面体的体积．
【答案】（1）
面ABEF
面ABEF
面ABEF
又面面
面ABCD
（2）解1：点为的重心，作EG的延长线交AB于
点为AB中点
又
∴四边形AHCD为平行四边形
又面
又
面CHE
又
面EFDC
解2：以为原点，以DC为轴，DF为轴建立直角坐标系
设
又
又
面EFDC
（3）解1：以D为原点，以DA为轴，DC为轴，DF为轴建立直角坐标系
五面体的体积
(其他建系方式也同样给分：点坐标1分，解出坐标1分，体积2分)
解2：在中，
令
五面体的体积
【知识点】组合几何体的面积、体积问题；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【分析】（1）根据线线平行可得面ABEF，进而由线面平行的性质可得；
（2）解法一：点为的重心，作EG的延长线交AB于，由题意四边形AHCD为平行四边形，，再由线面垂直的判定定理与性质定理可证，可；
解法二： 以为原点，以DC为轴，DF为轴建立直角坐标系，求出，，根据向量垂直求解；
（3）解法一：以D为原点，以DA为轴，DC为轴，DF为轴建立直角坐标系，，根据向量垂直求得，五面体的体积，代入体积公式计算求解即可；
解法二：根据锥体体积以及柱体体积公式，计算求解即可.
22．（2023高二上·联合期中）已知双曲线与直线有唯一的公共点．
（1）点在直线上，求直线的方程；
（2）设点，分别为双曲线的左右焦点，为右顶点，过点的直线与双曲线的右支交于，两点（其中点在第一象限），设，分别为，的内心．
①点的横坐标是否为定值？若是，求出横坐标的值；若不是，请说明理由；
②求的取值范围．
【答案】（1）联立方程，得
；又
即.
（2）①为的内切圆与轴的切点，由双曲线的定义可知：
所以，所以与重合，所以
同理：
②设
所以
当直线AB斜率不存在时，满足题意；
当直线斜率存在时，设直线方程为，即代入(1)中求的
所以
，解得或，所以
所以.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）联立直线和双曲线的方程可得，因为双曲线和直线有唯一的公共点，所以，又因为点在直线可得，从而求得直线方程；
（2）①根据双曲线的定义即可求得点的横坐标为定值；②设，通过化简得到斜率之和的表达式，分直线的斜率存在和不存在讨论，求出的范围即可得的范围.
1 / 1浙江省温州十校联合体2023-2024学年高二上学期数学期中考试试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1．（2023高二上·联合期中）双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023高二上·联合期中）平行六面体中，化简（ ）
A． B． C． D．
3．（2023高二上·联合期中）若直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2023高二上·联合期中）若圆与圆仅有一条公切线，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．1
5．（2023高二上·联合期中）如图，是棱长为1的正方体中，点在正方体的内部且满足，则到面的距离为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023高二上·联合期中）细心的观众发现，2023亚运会开幕式运动员出场的地屏展示的是8副团扇，分别是梅兰竹菊松柳荷桂。“梅兰竹菊，迎八方君子；松柳荷桂，展大国风范“。团扇是中国传统文化中的一个重要组成部分，象征着团结友善。花瓣型团扇，造型别致，扇作十二葵瓣形，即有12个相同形状的弧形花瓣组成，花瓣的圆心角为，花瓣端点也在同一圆上，12个弧形花瓣也内切于同一个大圆，圆心记为，若其中一片花瓣所在圆圆心记为，两个花瓣端点记为，切点记为，则不正确的是（ ）
A．在同一直线上
B．12个弧形所在圆的圆心落在同一圆上
C．
D．弧形所在圆的半径变化时，存在
7．（2023高二上·联合期中）已知是直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别
为，当直线与平行时，（ ）
A． B． C． D．4
8．（2023高二上·联合期中）已知曲线的方程为，则下列说法不正确的是（ ）
A．无论取何值，曲线都关于原点成中心对称
B．无论取何值，曲线关于直线和对称
C．存在唯一的实数使得曲线表示两条直线
D．当时，曲线上任意两点间的距离的最大值为
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2023高二上·联合期中）已知，，三点不共线，对平面外的任一点，下列条件中能确定点，，，共面的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023高二上·联合期中）已知曲线表示椭圆，下列说法正确的是（ ）
A．的取值范围为
B．若该椭圆的焦点在轴上，则
C．若，则该椭圆的焦距为4
D．若椭圆的离心率为，则
11．（2023高二上·联合期中）已知过点的直线与圆交于两点，在处的切线为，在处的切线为，直线与交于点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线与圆相交弦长最短为
B．中点的轨迹方程为
C．四点共圆
D．点恒在直线上
12．（2023高二上·联合期中）已知正方体的棱长为1，为棱（包含端点）上的动点，下列命题正确的是（ ）
A．二面角的大小为
B．
C．若在正方形内部，且，则点的轨迹长度为
D．若，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2023高二上·联合期中）过点且与直线平行的直线记为，则两平行线，之间的距离为 ．
14．（2023高二上·联合期中）已知椭圆，为椭圆的左右焦点，为椭圆上的一点，且，延长交椭圆于，则 ．
15．（2023高二上·联合期中）把正方形沿对角线折成的二面角，、分别是、的中点，是原正方形的中心，则的余弦值为 ．
16．（2023高二上·联合期中）双曲线的光学性质为：如图①，从双曲线的右焦点发出的光纤经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图②，其方程为，，为其左右焦点，若从由焦点发出的光线经双曲线上的点和点反射后，满足，，则该双曲线的离心率为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 、证明过程或演算步骤.
17．（2023高二上·联合期中）已知圆，过点.
（1）若直线被圆截得的弦长，求直线的方程；
（2）若直线被圆截得的优弧和劣弧的弧长之比为，求直线的方程．
18．（2023高二上·联合期中）如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，，，是的中点．
（1）证明：；
（2）当点为棱中点时，求直线与平面所成角的正弦值．
19．（2023高二上·联合期中）已知点，，动点满足，记点的轨迹为曲线.
（1）求曲线方程；
（2）若直线上存在点满足，求实数的最小值．
20．（2023高二上·联合期中）已知点，，动点满足关系式．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）是过点且斜率为2的直线，是轨迹上（不在直线上）的动点，点在直线上，且，求的最大值及此时点的坐标．
21．（2023高二上·联合期中）如图，在以，，，，，为顶点的五面体中，面为正方形，，，点在面上的射影恰为的重心．
（1）证明：；
（2）证明：；
（3）求该五面体的体积．
22．（2023高二上·联合期中）已知双曲线与直线有唯一的公共点．
（1）点在直线上，求直线的方程；
（2）设点，分别为双曲线的左右焦点，为右顶点，过点的直线与双曲线的右支交于，两点（其中点在第一象限），设，分别为，的内心．
①点的横坐标是否为定值？若是，求出横坐标的值；若不是，请说明理由；
②求的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：双曲线的渐近线方程为，化简可得.
故答案为：B.
【分析】根据双曲线方程直接求渐近线方程即可.
2．【答案】B
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】解：
由图可知，故.
故答案为：B.
【分析】利用空间向量的线性运算求解即可.
3．【答案】C
【知识点】二倍角的正切公式；直线的斜率
【解析】【解答】解：因为直线的倾斜角为，所以，又直线的倾斜角为，所以，则.
故答案为：C.
【分析】根据斜率和倾斜角的关系，再结合二倍角公式求解即可.
4．【答案】B
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：因为圆仅有一条公切线，所以两圆内切，易得，两圆半径分别为，所以，所以.
故答案为：B.
【分析】由题意可得两圆内切，利用圆心距等于半径的差，即可求得实数a的值.
5．【答案】A
【知识点】空间向量的数量积运算；空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】解：建立如图所示空间直角坐标系：
易得，，所以，设平面的法向量为，所以，则，令可得，即，所以到面的距离为
故答案为：A.
【分析】以A为原点建立空间的坐标系，求得，平面的法向量为，利用空间向量到平面 距离即可.
6．【答案】D
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：已知外圈两个圆的圆心都为，令最外面圆半径为，花瓣所在圆半径为，
对于A：因为大圆与小圆内切且切点为，所以切点与两个圆心共线，即 在同一直线上 ，故A正确；
对于B：由两圆内切可知为定值，所以12个弧形的圆心在同一圆上，故B正确；
对于C：因为12个弧形花瓣也内切于同一个大圆，所以，故C正确；
对于D：由得，所以，又，所以，所以，所以恒成立，故D错误.
故答案为：D.
【分析】根据两个圆的位置关系逐个判断即可.
7．【答案】A
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：如图，连接，由切圆于知，
因为直线与平行 ，则，根据点到直线的距离公式得，已知圆的半径为1，于是，由四边形面积，得，所以
故答案为：A.
【分析】根据题意作出图形，利用圆的切线的性质，结合面积法求解作答即可.
8．【答案】C
【知识点】圆锥曲线的几何性质
【解析】【解答】解：A选项，在曲线C上任取一点，则关于原点的对称点为，
代入曲线方程可知，即，所以无论a取何值，曲线都关于原点成中心对称，故A选项正确；
B选项，关于的对称点为，代入曲线方程得，
所以对称点在曲线上. 关于的对称点为，代入曲线方程得，故对称点也在曲线上，故B选项正确；
C选项，当时，曲线方程为，即，即或，
当，曲线方程，即，即或，故C选项错误；
D选项，当时，曲线C的方程为，，代入曲线方程化简得，，方程表示焦点在轴上的椭圆，所以曲线C上任意两点间的距离的最大值为，故D选项正确；
故答案为：C.
【分析】对于AB选项，根据对称性即可判断，C选项可以代入，可以验证，D选项可以判断出为椭圆，则根据椭圆的性质即可判断.
9．【答案】A,B,D
【知识点】共面向量定理
【解析】【解答】解：因为三点不共线，若四点共面，根据向量共面定理，不妨设，则，
即，则，
反之若，则有，故，即向量共面，故共面，
A，若，则有，故共面，A正确；
B，若，则有，故共面，B正确；
C，若，则有，故不共面，C错误；
D，若，则有，故共面，D正确；
故答案为：ABD.
【分析】根据已知条件，利用空间向量的共面定理判断即可.
10．【答案】B,C
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由题意，解得，故A错；
椭圆的焦点在y轴上，则，解得即，故B对；
若，则，故，该椭圆的焦距为4，C对；
若椭圆的离心率为，可得或，解得或，故D错.
故答案为：BC.
【分析】由方程表示椭圆可得，再根据椭圆的性质逐项判断即可.
11．【答案】A,C,D
【知识点】轨迹方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：易得圆心，半径，，当点为弦的中点，时，弦最短，最短为，故A正确；
设的中点为，当不重合时，易知，即在以为直径的圆上，易知的中点为，所以点D的轨迹方程为，即，显然当点重合时也符合上述方程，但当时，此时为直径，过的切线平行，不符合题意，故点D的轨迹方程为，故B错误；
易知，即Q、A、B、C四点在以为直径的圆上，故C正确；
不妨设，则以为直径的圆，圆心为，半径为，则该圆方程为，易知直线为圆与圆的公共弦，两圆方程作差可得，又直线过点P，即，故D正确；
故答案为：ACD.
【分析】利用圆的性质和弦长公式，以及两圆的公共弦方程逐项判断即可.
12．【答案】B,D
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系；二面角的平面角及求法
【解析】【解答】建立如图所示空间直角坐标系：
因为正方体的棱长为，则，设，，
A、易得，，设平面的法向量为，
则，即，令，可得，所以；
设平面的法向量为，则，即，令，可得，所以，故，又因为二面角为锐二面角，故其余弦值为，故二面角的平面角不是，故A错误；
B、，因为，所以，故B正确；
C、由在正方形内部，且，若分别是上的点，且，此时，由图知：O在上，故以为圆心，为半径的四分之一圆弧上，
所以点轨迹的长度为，故C错误；
D、设直线与平面所成的角为，因为平面，易知为平面的法向量，
而，故，因为，所以，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，利用空间向量数量积计算夹角的余弦值即可判断A；求出向量的坐标后利用空间向量的数量积可判断B；由已知条件确定的轨迹图，进而求其长度即可判断C；最后利用直线和平面的法向量利用空间向量计算线面角的正弦值即可判断D.
13．【答案】
【知识点】直线的一般式方程与直线的平行关系；平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】解：由题意设，把 点 代入得，解得，
所以两平行线 ，之间的距离.
故答案为：.
【分析】利用两直线的平行关系先求直线，再由平行线的距离公式计算求解即可.
14．【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由椭圆方程，易得，，设点，
因为，所以，则，即①，
又因为P为椭圆上的一点，所以②，联立①②解得，，所以点或；当时，易得，所以直线方程为，联立方程组，解得，所以；
当，易得，所以直线方程为，联立方程组，解得，所以，
综上可知，.
故答案为：.
【分析】设点，根据，建立向量关系，求出点的坐标，然后求出直线的方程，联立直线和椭圆方程，求出点的坐标，再利用两点间的距离公式求解即可.
15．【答案】
【知识点】空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：由题意可知折后图形如图所示：
易知，则为二面角所对应的平面角，故，
设正方形的边长为2，则，，
、分别是、的中点 ，所以，
故
，所以.
故答案为：.
【分析】由题意可得为二面角的平面角，利用空间向量的夹角公式，结合向量数量积的运算求解即可.
16．【答案】
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：根据双曲线的光学性质可知与三点共线，故，，设 ，则，
由双曲线的定义可知，所以，
两式相加可得，所以，解得，，
由勾股定理可知，得，推出
故.
故答案为：.
【分析】根据光学性质结合双曲线的性质，利用勾股定理计算即可.
17．【答案】（1）解1：圆O：(x-2)2+(y-1)2=5
①斜率不存在时，x=0满足题意；
②斜率存在时，设直线l：y=kx+2
则圆心O到直线l的距离为2
即d==2
∴k=
∴l：x=0或y=x+2
（斜率不存在没有讨论，扣1分）
解2：点(0，2)在圆上，故令圆上点(x0，y0)，则弦长为……①
又=0……②
①-②得
y0=2x0……③
③式代入到①式得
5-8=0
∴= =或=0 =0
∴或斜率不存在（不算斜率，直接代入算出直线方程，同样给分）
∴l：x=0或y=x+2
（斜率不存在没有讨论，扣2分）
解3：以(0，2)为圆心，以2为半径的圆为x2+（y-2）2=22……①
O：x2+y2-4x-2y=0……②
①-②得y0=2x0……③
后面做法同解2，给分标准也同解2
解4：①斜率不存在时，x=0满足题意；
②斜率存在时，设直线l：y=kx+2
弦长：
或
（2）易知劣弧所对圆心角为
圆心到直线的距离为即
或-3
或
【知识点】直线的点斜式方程；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）法一，分直线斜率存在与不存在两种情况，斜率不存在时，x=0满足题意；当斜率存在时，设直线l：y=kx+2，根据点到直线距离公式求解即可；
法二，利用点在圆上，直接设出另一个交点，联立方程和，从而可求出另一个交点，进而可求出结果；
法三，利用点在圆上，因为弦长为2，则另一个点在以2为半径的圆为上，直接求出另一个交点，从而可求出结果；
法四，分直线斜率存在与不存在两种情况，当斜率不存在时，x=0满足题意；斜率存在时，设直线
l：y=kx+2，联立方程，得到，再利用弦长公式即可求出结果；
（2）由题意圆心到直线的距离为即，求出k的值，即可得到直线的方程．
18．【答案】（1）取PA中点G，连GE，GB.
∵E为PD中点∴GE∥AD
∵∠BAD=∠ABC=90°，
四边形BCGE为平行四边形
面面PAB
∴GE//GB
（取AD中点为，证面面PAB，再证面PAB.同样给分)
（2）取AD中点，连PO，OC.
为正三角形，
面面ABCD，面面
面ABCD
由平面知识易知.
如图以为原点建立空间直角坐标系
则
设面PAB的一个法向量为
则
∴
设AM与平面PAB所成角为
则
故直线AM与平面PAB所成角的正弦值为
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）取PA中点G，连GE，GB，即可得到四边形BCGE为平行四边形，从而得到GE//GB，即可证得 ；
（2）取AD中点，连PO，OC，由面面垂直的性质得到面ABCD，以为原点建立空间直角坐标系，求出，面PAB的一个法向量为，利用空间向量法计算即可得解.
19．【答案】（1）设
（2）解1：(在圆上及圆的内部).
解2：
得
【知识点】圆的一般方程；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）设，利用两点距离公式，根据已知条件计算求解即可；
（2）法一，由已知得，即点在圆上或在圆内，结合点到直线的距离公式计算求解即可得解；
法二，联立直线方程与圆C方程得，利用判别式得，计算求解即可.
20．【答案】（1）由椭圆的定义可知，又因为，根据求得
所以椭圆方程为：.
（2）设的坐标为，且满足
则直线；直线
联立得：，所以
设
则当时，所以
此时
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的参数方程
【解析】【分析】（1）由椭圆定义知，因为，根据求得，从而可得椭圆的方程 ；
（2）设的坐标为，根据条件求出，从而得出，设（为参数），利用参数方程即可求出结果.
21．【答案】（1）
面ABEF
面ABEF
面ABEF
又面面
面ABCD
（2）解1：点为的重心，作EG的延长线交AB于
点为AB中点
又
∴四边形AHCD为平行四边形
又面
又
面CHE
又
面EFDC
解2：以为原点，以DC为轴，DF为轴建立直角坐标系
设
又
又
面EFDC
（3）解1：以D为原点，以DA为轴，DC为轴，DF为轴建立直角坐标系
五面体的体积
(其他建系方式也同样给分：点坐标1分，解出坐标1分，体积2分)
解2：在中，
令
五面体的体积
【知识点】组合几何体的面积、体积问题；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【分析】（1）根据线线平行可得面ABEF，进而由线面平行的性质可得；
（2）解法一：点为的重心，作EG的延长线交AB于，由题意四边形AHCD为平行四边形，，再由线面垂直的判定定理与性质定理可证，可；
解法二： 以为原点，以DC为轴，DF为轴建立直角坐标系，求出，，根据向量垂直求解；
（3）解法一：以D为原点，以DA为轴，DC为轴，DF为轴建立直角坐标系，，根据向量垂直求得，五面体的体积，代入体积公式计算求解即可；
解法二：根据锥体体积以及柱体体积公式，计算求解即可.
22．【答案】（1）联立方程，得
；又
即.
（2）①为的内切圆与轴的切点，由双曲线的定义可知：
所以，所以与重合，所以
同理：
②设
所以
当直线AB斜率不存在时，满足题意；
当直线斜率存在时，设直线方程为，即代入(1)中求的
所以
，解得或，所以
所以.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）联立直线和双曲线的方程可得，因为双曲线和直线有唯一的公共点，所以，又因为点在直线可得，从而求得直线方程；
（2）①根据双曲线的定义即可求得点的横坐标为定值；②设，通过化简得到斜率之和的表达式，分直线的斜率存在和不存在讨论，求出的范围即可得的范围.
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