重庆市永川区2023-2024学年高一上学期期末模拟数学试题（4）（含答案）

重庆市永川区2023-2024学年高一上学期期末模拟数学试题（4）
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 命题“”的否定为（ ）
A. B.
C. D.
3.“”是“幂函数在上单调递减”的（ ）条件
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 既不充分也不必要 D. 充要
4. 已知函数的最小正周期为，则的图象关于（ ）
A. 对称 B. 对称 C. 对称 D. 对称
5. 函数的零点所在区间为（ ）
A. B. C D.
6.设,则三者的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
7. （ ）
A. 1 B. C. D.
8.已知函数满足，函数，若，则（ ）
A. B. C. D. 1
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，选错或不选得0分。）
9. 下列命题正确的是（ ）
A. B. 第一象限角一定是锐角
C. 在与角终边相同的角中，最大的负角为 D.
10.下列说法正确的是（ ）
函数的最大值为
B. 函数的最小值为9
C. 若，，则的最小值为
D. 若，，则的最大值为
11.函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，对于函数，下列说法正确的是（ ）
A. 是的一个周期 B. 的图象关于直线对称
C. 在区间上单调递减 D. 的图象关于点对称
12.已知函数是定义域为的单调函数，且满足对任意的，都有，则（ ）
A.
B. 若关于的方程（）有2个不相等的实数根，则
C. 若函数的值域为，则实数的取值范围为
D. 若函数满足对任意的实数，且，都有成立，则实数的取值范围为
填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分）
13.已知某扇形的圆心角为，周长为，则该扇形的面积为________．
14.函数，则______.
15.定义在上的函数满足，且，则______．
16. 已知定义在上的函数满足：①；②函数为偶函数；③当时，，若关于的不等式的整数解有且仅有6个，则实数的取值范围是______．
解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. （满分10分）在单位圆中，角的终边与单位圆的交点为，其中.
（1）求的值；
（2）求的值.
18. （满分12分）已知函数（且）的图像与函数的图像关于直线对称.
（1）若在区间上的值域为，求的值；
（2）在（1）的条件下，解关于的不等式.
19 . （满分12分）已知函数.
（1）将函数化为的形式，其中，，，并求的值域；
（2）若，，求的值.
20.（满分12分）某生物病毒研究机构用打点滴的方式治疗“新冠”，国际上常用普姆克实验系数（单位：pmk）表示治愈效果，系数越大表示效果越好．元旦时在实验用小白鼠体内注射一些实验药品，这批治愈药品发挥的作用越来越大，二月底测得治愈效果的普姆克系数为24pmk，三月底测得治愈效果的普姆克系数为36pmk，治愈效果的普姆克系数y（单位：pmk）与月份x（单位：月）的关系有两个函数模型与可供选择．
（1）试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；
（2）求治愈效果的普姆克系数是元旦治愈效果的普姆克系数10倍以上的最小月份．（参考数据：，）
21.（满分12分） 双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数（历史上著名的“悬链线问题”与之相关）．其中双曲正弦函数：，双曲余弦函数：（是自然对数的底数）．这两个最基本的双曲函数具有如下性质：
①定义域均为，且在上是增函数；
②为奇函数，为偶函数；
③．
（1）请证明双曲正弦函数在上是增函数；
（2）若存在，关于的方程有解，求实数的取值范围．
22.（满分12分）已知定义在实数集上的函数满足，且对任意，，恒有．
（1）求；
（2）求证：对任意，，恒有：；
（3）是否存在实数，使得不等式对任意的恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．
数学参考答案
1 . A 2.C 3. D 4. B 5. C
D
解:因为在上单调递减,
所以,因为在上单调递增,
所以,即,即,即,
因为,所以,即,即,
所以.
7.D
D
依题意有，
设，则，∴，
即，所以.
9.AC
10 .BCD
对于A，当时，，所以A错误，
对于B，因为
，
当且仅当，即时取等号，
所以函数的最小值为9，所以B正确，
对C，因为，，，所以，当时取等号，
所以，即的最小值为，所以C正确，
对于D，因为，，所以，当且仅当时取等号，
所以
AB D
函数的图象向左平移个单位长度后得到函数，
A.函数的最小正周期是，所以是的一个周期，故A正确；
B.当时，，的图象关于直线对称，
故B正确；
C. 当，，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，故C错误；
D. ，所以函数的图象关于点对称，故D正确
12.ABD
【详解】令，则，
函数是定义域为的单调函数，
因为，所以，解得，所以．
对于选项A：，故A正确；
对于选项B：若关于的方程（）有2个不相等的实数根，
则，即，
因为，所以，
所以，故B选项正确；
对于选项C：函数的值域为，
则，即或，故C不正确，
对于选项D：由函数满足对任意的实数，
且，都有成立，
所以函数在上单调递增，
所以，故D选项正确，
6 14. 2
【详解】因为，
所以
，所以，所以函数以为周期，
所以， 因为，
令得，所以，
所以，
由函数为偶函数可知，函数关于对称，且，即，又，关于对称，
所以，即，可得函数周期，
当时，可得其图象如下所示：
由对称性可知，当时满足不等式的整数解有3个即可，
根据图示可得，解得，
即
17.（1）由A在单位圆上，则，又，
则，则，，则；
(2)，又，
则.
18.由题知，是的反函数，，故.
当时，根据指数函数，对数函数的单调性，均在单调递减，于是在上单调递减，故，此时不成立；
当时，根据指数函数，对数函数的单调性，均在单调递增，在上单调递增，故，此时成立. 综上可知：
（2）由（1）知，，为定义在的增函数，
根据，定义域满足：，解得.
由单调性和可得，，整理得，结合可知，
19.
，
∵，∴；
【2】由，可知，
∵，∴，∴，
∴.
20.【小问1详解】
函数与在上都是增函数，
随着增加，函数的值增加的越来越快，
而函数的值增加的越来越慢，由于这批治愈药品发挥的作用越来越大，
因此选择模型符合要求．
根据题意可知时，；时，，
∴，解得．
故该函数模型的解析式为，，；
【小问2详解】
当时，，元旦治愈效果的普姆克系数是，
由，得，
∴，
∵，∴，
即治愈效果的普姆克系数是元旦治愈效果的普姆克系数10倍以上的最小月份是六月份．
21.证明：，且
所以
∵，∴，，，即
所以在上是增函数．
【小问2详解】
解：由题，所以，当且仅当时，等号成立，则恒成立，
由（1）知双曲正弦函数为上的增函数，故函数在上为增函数，
存在，关于的方程有解，
所以，，即实数的取值范围为．
22.【由题可知，，令可得.
【2】因为，所以令，则有，因为，
分别令可得，
所以，得证.
3】由（2）可得，所以，
则函数在定义域上单调递减，且，
所以，
即恒成立，
令,
因为，所以，所以，
且，所以，
所以，也即恒成立，
令，对称轴为，
若，
则在单调递减，
则，
所以解得，
若，即，
则在单调递增，单调递减，
则，
所以此时无解，
若，即，
则在单调递增，单调递减，
则，
所以此时无解，
若，即，
则在单调递增，
则，
所以此时无解，
综上，的取值范围为.
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