古蔺县2023-2024学年高一上学期期末模拟考试数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．共150分．考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑．
3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1. 设集合，，若，则（ ）
A. B. 3 C. 5 D.
2. 将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度是（ ）
A. B. C. D.
3. 函数的零点一定位于下列哪个区间（ ）
A. B. C. D.
4. 函数定义域是（ ）
A. B. C. D.
5. 若，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 已知某函数图象如图所示，则该函数解析式为（ ）
A. B.
C. D.
7．设函数f（x）＝sin（ωx + ）（ω＞0）．若f（x）≤f（）对任意的实数x都成立，
则ω的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
8. 中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，设扇形的面积为，其圆心角为，此扇形所在圆面中剩余部分面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”.某扇环玉雕为“美观扇面”的一部分，其所在扇面半径，尺寸（单位：）如图所示，则该玉雕的扇环面积为（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A. B.
C. D.
10．下列函数中是奇函数，且最小正周期是的函数是（ ）
A. B.
C. D.
11. 在下列命题中，正确的是（ ）
A. 已知命题：“，都有，则命题的否定：“，都有”
B. 若函数满足，则
C. “方程有两个不相等的正实数根”的充要条件是“”
D. 若函数是定义在区间上的奇函数，则
12.已知函数的图象过原点，且无限接近直线y＝2但又不与y＝2相交．函数．下列关于函数的判断正确的有（ ）
A. 函数是偶函数 B. 函数在单调递减
C. 函数的最大值为2 D. 方程恰有两根
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
注意事项：
（1）非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效．
（2）本部分共10个小题，共90分．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 若角的终边经过点，则__________.
14. 若函数是定义在R上的奇函数，当时，，
则________．
15. 若函数的图象经过定点，则函数的单调增区间为__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 已知集合，．
（1）当时，求和；
（2）若，求实数m的取值范围．
18. 在中，已知，
（1）求的值；
（2）求的值.
19. 已知二次函数满足：关于的不等式的解集为且.
（1）求的表达式；
（2）当a >1时，在区间上的最小值为，求的取值范围.
20. 已知函数的最小正周期为,且.
（1）求函数的解析式，并分别写出取最大值与最小值时相应的取值集合；
（2）求函数,的单调递减区间.
21. 2023年9月23日，第19届亚运会开幕式在杭州举行，完美展现了“绿色”与“科技”的融合.已知某种绿色科技产品在亚运会开幕式后的30天内（包括第30天），第天每件的销售价格（单位：元）满足，第天的日销售量（单位：千件）满足，且第2天的日销售量为13000件，第3天的日销售量为12000件.
（1）求的解析式；
（2）若每件该产品的总成本为20元，求该产品在开幕式后的30天内第天的日销售利润（单位：千元）的解析式，并求开幕式后的第几日销售利润最小.
22. 已知函数.
（1）探究在上的单调性，并用单调性的定义证明；
（2）判断方程是否存在实根？若存在，设此根为，请求出一个长度为的区间，使；若不存在说明理由.（注：区间的长度为）古蔺县2023-2024学年高一上学期期末模拟考试
数学(参考答案)
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．共150分．考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑．
3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1. 设集合，，若，则（ ）
A. B. 3 C. 5 D.
【答案】D
2. 将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】∵分针转一周为分钟，转过的角度为，将分针拨快是顺时针旋转，
∴分针拨快10分钟，则分针所转过的弧度数为.
【详解】因为，所以，则，即．
3. 函数的零点一定位于下列哪个区间（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】函数定义域为，
由于，在上均单调递增，
故在上单调递增，
又且无限接近于0时，趋近于负无穷，，
，，
则，故函数的零点一定位于区间内，
4. 函数定义域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】由题知：.
5. 若，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】根据的单调性，解可得，，所以.
解可得，，所以.
显然所表示的范围，在所表示的范围之内，
所以，“”是“”的必要不充分条件.
6. 已知某函数图象如图所示，则该函数解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【详解】对于A，，显然不满足图象，故A错误；
对于B，，显然不满足图象，故B错误；
对于C，，显然不满足图象，故C错误；
对于D，经检验，满足对应图象，故D正确.
7．设函数f（x）＝sin（ωx + ）（ω＞0）．若f（x）≤f（）对任意的实数x都成立，则ω的最小值为（ C ）
A． B．1 C． D．
8. 中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，设扇形的面积为，其圆心角为，此扇形所在圆面中剩余部分面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”.某扇环玉雕为“美观扇面”的一部分，其所在扇面半径，尺寸（单位：）如图所示，则该玉雕的扇环面积为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【详解】由题意可知，，解得，
所以该玉雕的扇环面积为.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【详解】A选项：的定义域为R，的定义域为，定义域不同，故A错；
B选项：，，定义域都为R，对应法则相同，故B正确；
C选项：易得两个函数的定义域均为，，，对应法则相同，故C正确；
D选项：，的定义为，的定义域为，定义域不同，故D错误.
10．下列函数中是奇函数，且最小正周期是的函数是（ AC ）
A. B.
C. D.
11. 在下列命题中，正确的是（ ）
A. 已知命题：“，都有，则命题的否定：“，都有”
B. 若函数满足，则
C. “方程有两个不相等的正实数根”的充要条件是“”
D. 若函数是定义在区间上的奇函数，则
【答案】CD
【详解】对于A，命题的否定：“，都有”，故A错误，
对于B，由可得，所以，故，B错误，
对于C, 有两个不相等的正实数根等价于，解得，故C正确，
对于D，为奇函数，则且，解得，故D正确
12. （多选）已知函数的图象过原点，且无限接近直线y＝2但又不与y＝2相交．函数．下列关于函数的判断正确的有（ ）
A. 函数是偶函数 B. 函数在单调递减
C. 函数的最大值为2 D. 方程恰有两根
【答案】ABC
【详解】由条件可知，，当趋向正无穷时，趋向b，所以，
则，即，
令，即，得，
如图，画出函数的图象，
函数是偶函数，在区间单调递减，当时，函数取得最大值2，
，无实数根，故ABC正确，D错误.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
注意事项：
（1）非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效．
（2）本部分共10个小题，共90分．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 若角的终边经过点，则__________.
【答案】
【详解】由题意，所以.
14. 若函数是定义在R上的奇函数，当时，，则________．
【答案】
【详解】由题可知，由于为奇函数，所以.
15. 若函数的图象经过定点，则函数的单调增区间为__________.
【答案】
【详解】由指数函数图象性质可知，令，可得,
因此函数的图象经过定点；
即；所以，
显然，解得或；
即函数的定义域为；
利用二次函数单调性可得函数在上单调递减，在上单调递增；
又在定义域内单调递减，
利用复合函数单调性可得的单调增区间为.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 已知集合，．
（1）当时，求和；
（2）若，求实数m的取值范围．
【解析】（1）当时，．
所以，，
．
（2）当时，有，则；
当时，可得，或，
解得或．
综上可得，实数m的取值范围是．
18. 在中，已知，
（1）求的值；
（2）求的值.
【解析】（1）由，可得
因为，所以，
亦可得，
由，则，
解得
（2）原式.
19. 已知二次函数满足：关于不等式的解集为且.
（1）求表达式；
（2）若在区间上的最小值为，求的取值范围.
【解析】（1）因为为二次函数，且，所以可设，
由，得，
因为关于的不等式的解集为，
所以关于的不等式的解集为，
所以的两根为和，
所以，，所以，，所以.
（2）由（1）知，，设，
因为，由，得，
则，，其对称轴为，且，
所以，解得.
20. 已知函数的最小正周期为,且.
（1）求函数的解析式，并分别写出取最大值与最小值时相应的取值集合；
（2）求函数,的单调递减区间.
【解析】
（1）的最小正周期为,又
当即时,取得最小值
此时的取值集合为
当即时,取得最大值
此时的取值集合为
（2）依题意
若单调递减,则
即
令得其单调递减区间为和
21. 2023年9月23日，第19届亚运会开幕式在杭州举行，完美展现了“绿色”与“科技”的融合.已知某种绿色科技产品在亚运会开幕式后的30天内（包括第30天），第天每件的销售价格（单位：元）满足，第天的日销售量（单位：千件）满足，且第2天的日销售量为13000件，第3天的日销售量为12000件.
（1）求的解析式；
（2）若每件该产品的总成本为20元，求该产品在开幕式后的30天内第天的日销售利润（单位：千元）的解析式，并求开幕式后的第几日销售利润最小.
【解析】（1）由题可知，解得，
所以（，）；
（2）由题可得每件该产品的销售利润为，
所以第天的日销售利润，
即，
当时，，
当且仅当，即时等号成立，
当时，，
因为函数在上都是减函数，
所以函数在上为减函数，
所以此时，
综上所述，当时，取得最小值714，
即开幕式后的第30天的日销售利润最小.
22. 已知函数.
（1）探究在上的单调性，并用单调性的定义证明；
（2）判断方程是否存在实根？若存在，设此根为，请求出一个长度为的区间，使；若不存在，请说明理由.（注：区间的长度为）
解：（1），则函数在上为减函数，证明如下：
任取、且，
则，
因为，则，即，
故函数在上为减函数.
（2）由，可知，即，解得，
即，可得，
构造函数，
由（1）可知，函数在上为减函数，
而函数为定义域上的增函数，则函数在上为增函数，
又因为函数在上也为增函数，
故函数在上为增函数，
因为，，
由零点存在定理可知，函数在区间上存在零点，且零点记为，
，即，
，故，
，故，且区间的长度为.
故满足条件的一个区间为
