山东省济宁市兖州区第一中学2023-2024学年高二上学期质量检测（三）数学试题（含答案）

济宁市兖州区第一中学2023-2024学年高二上学期质量检测（三）
数学
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、考生号、座号填写在相应位置，认真核对条形码上的姓名、考生号和座号，并将条形码粘贴在指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
3.回答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，按照题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸，试题卷上答题无效.保持卡面清洁，不折叠，不破损.
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）.
1.设直线，若，则（ ）
A.0或 B.0或1 C.1 D.
2.已知向量，若则（ ）
A. B. C. D.7
3.已知椭圆上一点，、分别是椭圆的左、右焦点，若为直角三角形，则满足条件的点有（ ）
A.2个 B.4个 C.6个 D.8个
4.设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项，则的公比为（ ）
A. B.2 C. D.
5.已知等差数列的公差为，前项和为，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
6.甲乙两人进行羽毛球比赛，在前三局比赛中，甲胜2局，乙胜1局，规定先胜3局者取得最终胜利，已知甲在每局比赛中获胜的概率为，乙在每局比赛中获胜的概率为，且各局比赛结果相互独立，则甲取得最终胜利的概率为（ ）
A. B. C. D.
7.两个圆和的公切线有（ ）条
A.1 B.2 C.3 D.4
8.设椭圆的左、右焦点分别为、，是椭圆上一点，，，则椭圆离心率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）.
9.若，，，则下列说法正确的是（ ）
A. B.事件A与B不互斥
C.事件A与B相互独立 D.事件与B不一定相互独立
10.已知等差数列的前项和为，公差.若，则（ ）
A. B. C. D.
11.在正三棱柱中，，，点为中点，则以下结论正确的是（ ）
A.
B.且平面
C.三棱锥的体积为
D.内到直线、的距离相等的点的轨迹为抛物线的一部分
12.已知圆与直线，下列选项正确的是（ ）
A.直线与圆不一定相交
B.当时，圆上至少有两个不同的点到直线的距离为1
C.当时，圆关于直线对称的圆的方程是
D.当时，若直线与轴，轴分别交于，两点，为圆上任意一点，当最小时，
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13.在等差数列中，其前项和为，已知，，则__________.
14.已知A袋内有大小相同的1个红球和3个白球，B袋内有大小相同的1个红球和2个白球.现从A、B两个袋内各任取1个球，则恰好有1个红球的概率为___________.
15.如图所示，在正方体中，、分别为，的中点，为上一动点，记为异面直线与所成的角，则的值为_________.
16.如图，过双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，为线段的中点，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为__________.
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.一名学生骑自行车上学，从他家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是.求：
（1）这名学生只在第一个交通岗遇到红灯的概率；
（2）这名学生首次停车出现在第4个路口的概率；
（3）这名学生至少遇到1次红灯的概率.
18.抛物线与直线交于，两点，且的中点为，求直线的斜率.
19.圆心在曲线上的圆与轴相切，且被直线截得的弦长为.
（1）求圆的方程；
（2）求过点且与该圆相切的直线方程.
20.已知是公差为的等差数列，它的前项和为，.
（1）求公差的值；
（2）若，设是数列的前项和，求使不等式对所有的恒成立的最大整数的值.
21.如图，已知四棱锥中，平面，四边形中，，，，，点在平面内的投影恰好是的重心.
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
22.已知双曲线（，）的一条渐近线方程的倾斜角为，焦距为4.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）为双曲线的右顶点，，为双曲线上异于点的两点，且.
①证明：直线过定点；
②若，在双曲线的同一支上，求的面积的最小值.
济宁市兖州区第一中学2023-2024学年高二上学期质量检测（三）
数学答案
1.B 【详解】因为，则，解得或1.
2.A 【详解】由，设，，
则，解得：，，，
所以.
3.C 4.C 5.C
6.D 【详解】甲取得最后的胜利包含两种情况，一是第4局胜，此时甲胜的概率为；二是第4局负，第5局胜，此时甲胜的概率为，所以甲取得最终胜利的概率为.
7.A 【详解】∵圆的圆心为：，半径，
圆的圆心为：，半径，∴，
又，，∴，∴圆与内切，即公切线有1条.
8.C 【详解】解：设，，由椭圆的定义可得，，
可设，可得，即有，①
由，可得，即为，②
由，可得，令，可得，
即有，由，
可得，即，
则时，取得最小值；或4时，取得最大值.
即有，得.
9.BC 【详解】∵，∴，故A错误；
又，所以事件与不互斥，故B正确；
，则事件与相互独立，故C正确；
因为事件与相互独立，所以事件与一定相互独立，故D错误.
10.BD
11.ACD 【详解】A.，故正确；
B.假设成立，又因为平面，所以且，所以平面，所以，显然与几何体为正三棱柱矛盾，所以不成立；
取中点，连接，，，如右图所示：
因为，为，中点，所以，且，所以，所以，，，四点共面，
又因为与相交，所以平面显然不成立，故错误；
C.，因为为中点且，所以，
又因为平面，所以且，所以平面，
又因为，，
所以，故正确；
D.“内到直线、的距离相等的点”即为“内到直线和点的距离相等的点”，根据抛物线的定义可知满足要求的点的轨迹为抛物线的一部分，故正确；
12.AD 【详解】对于A，直线过定点，又因为，所以点在圆外，所以直线与圆不一定相交，故A正确；
对于B，要使圆上有至少两个点到直线的距离为1，则圆心到直线的距离要小于5，所以有，解得，故B错误；
对于C，当时，直线，设圆关于直线对称的圆的方程是，根据题意有，解得，，
所以圆的方程为，故C错误；
对于D，当时，直线，则点，，
当与圆相切时最小，此时，故D正确.
故选：AD.
13.5 14. 15.1
16. 【详解】设双曲线（，）的右焦点，连接，.
则，，，则，
由直线与圆相切，
可得.
又双曲线中，，
则，
又，则，
整理得，两边平方整理得，
则双曲线的离心率.
17.【详解】（1）由题该学生碰见绿灯的概率为，该学生第一次遇到红灯，后四次遇到绿灯.设“这名学生只在第一个交通岗遇到红灯”为事件，
则.
（2）由题该学生前三次均遇到绿灯，第四次红灯，第五次对概率无影响.
设“这名学生首次停车出现在第4个路口”为事件.
则.
（3）设“这名学生至少遇到1次红灯”为事件.
其对立事件为该学生五次都遇到了绿灯.
则.
18.【详解】已知的中点为，设，两点坐标分别为，，
则，可得，
即，即，
又，所以.
所以直线的斜率.
19.【详解】（1）设圆心为，半径为，
则圆心到直线的距离，而，
即，解得，（舍），故所求圆的方程为.
（2）当切线的斜率不存在时，因为过点，其方程为，圆心到直线的距离为，满足题意.
当切线斜率存在时，设切线为，即，
∵圆心，半径，∴，解得.
∴当切线的斜率存在时，其方程为，即.
故切线方程为或.
20.【详解】（1）∵因为公差为的等差数列中，，∴，即，∴.
（2）∵，，∴，
∴，
∴，
∵，
∴是递增数列，
∴是数列的最小值，∵，∴，∴的最大整数是0.
21.【详解】（1）求证：因为平面，平面，所以，
因为，所以，因为，平面，平面，
所以平面，又因为平面，所以平面平面，
所以平面平面.
（2）解：取中点，连接，因为，，，，
所以四边形是矩形，所以，因为平面，所以，，
所以、、两两垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系，，，，，，
设，则，，，
因为点在平面内的投影恰好是的重心，所以，
所以，所以，，，，
令，因为，，所以是平面的法向量，
的方向向量是，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
22.【详解】（1）设双曲线的焦距为，
由题意有解得，，.故双曲线的标准方程为.
（2）①证明：设直线的方程为，点，的坐标分别为，，
由（1）可知点的坐标为，
联立方程消去后整理为，
可得，，
，
，
由，，
有
，
由，可得，有或，
当时，直线的方程为，过点，不合题意，舍去；
当时，直线的方程为，过点，符合题意，
故直线过定点.
②由①，设所过定点为，，，，，
若，在双曲线的同一支上，可知，都在左支上，
有，，可得，
故的面积为
，
令，可得，有，
由函数为函数值都为正的减函数，
可得当时，的面积的最小值为9.