期末重点单元过关练习：对称图形-圆-2023-2024学年九年级上册苏科版（含解析）

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期末重点单元过关练习：对称图形-圆-2023-2024学年九年级上册苏科版
一、单选题
1．在中，若两条直角边的长分别为6和8，则这个三角形的外接圆半径为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．如图，为的直径，点C，D在上，若，则的度数为( )
A． B． C． D．
3．如图，在中，．以为直径的交于点D．E是上一点，且，连接．过点作，交的延长线于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，是等腰直角三角形，，，点是斜边上一点，且，将绕点逆时针旋转，得到，交于点．其中点的运动路径为弧，则弧的长度为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，、切于点A、B，直线切于点E，交于F，交于点G，若，则的周长是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，的直径过弦的中点G，，则等于（ ）
A． B． C． D．
7．如图，过点作的切线，，切点分别是，，连接．过上一点作的切线，交，于点，．若，的周长为4，则的长为（ ）
A．2 B． C．4 D．
8．如图，、是圆O的直径，且，，点M是上一动点，下列结论：①；②；③的最小值为4；④设为x，则，上述结论中，正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．如图，是的直径，是的弦，若，则弧的长为 ．

10．如图，内接于，是的直径，连结，若，，则的半径 ．

11．如图，已知等边的边长为10，点P是边上的一个动点（与点A、B不重合）．直线l是经过点P的一条直线，把沿直线l折叠，点B的对应点是点．当时，在直线l变化过程中，则面积的最大值为 ．
12．如图，在半径为的扇形中，，点是圆弧上的一点，过点作，，垂足分别为．若点为的中点，则图中阴影部分的面积为 ．
13．如图，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧.点表示筒车的一个盛水桶.当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心（在水面上方）为圆心的圆，且圆的半径为5米．若筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2米，则这个圆被水面截得的弦长为 米．
14．如图，在矩形中，，点E在上，，点F是边上一动点，以为斜边作．若点P在矩形的边上，且这样的直角三角形恰好有两个，则的值是 ．
15．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若，则这个多边形的边数是 ．
16．如图，为的直径，为 上一点，其中，，为上的动点，连接，取中点，连，则线段的最大值为 ．
三、解答题
17．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是，．绕点O逆时针旋转后得到（C与A对应）．
(1)画出旋转后的图形；
(2)点C的坐标为__________；
(3)求旋转过程中点A所经过的路径长（结果保留）．
18．如图，为的直径，与相交于点，且点是线段的中点， 过点作，垂足为点，求证：直线是的切线．
19．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．经过格点A，B，C．仅用无刻度直尺在给定网格中完成画图．
(1)先画出圆心O，然后在该圆上画点D，使；
(2)先在上画点E，使，然后在该圆上画点F，使．
20．如图，中，，垂足为M．
(1)求证：；
(2)若，．求的半径．
21．如图，为的直径，，垂足为点F，，垂足为点E，．求：
(1)的大小
(2)阴影部分的面积．
22．定义：若两个三角形有一对公共边，且另有一组对应边和一对对应角分别对应相等，那么这两个三角形称为邻等三角形．例如：如图1，中，，，，则与是邻等三角形．
(1)如图2，中，点D是的中点，那么请判断与是否为邻等三角形，并说明理由．
(2)如图3，以点为圆心，为半径的交轴于点，是的内接三角形，．求的度数和的长．
参考答案：
1．C
【分析】本题考查了勾股定理、三角形外接圆，根据勾股定理得出，再由直角三角形的外接圆的直径是斜边长即可得出答案，熟练掌握直角三角形的外接圆的直径是斜边长是解此题的关键．
【详解】解：如图，
在中，若两条直角边的长分别为6和8，即，，
，
，
是外接圆直径，
这个三角形的外接圆半径为，
故选：C．
2．C
【分析】本题考查圆周角定理，先求出，再用圆周角定理求解即可，掌握圆周角定理是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：C．
3．C
【分析】本题考查了圆周角定理．连接，先根据圆周角定理得到，再根据弧、弦、圆心角的关系得到，然后根据四边形的内角和计算的度数．
【详解】解：∵，，
∴，
连接，如图，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故选：C．
4．A
【分析】本题主要考查了求弧长，等腰直角三角形的性质，勾股定理．如图所示，过点C作于F，连接，先利用勾股定理得到，则，再求出，即可求出，，再根据弧长公式求解即可．
【详解】解：如图所示，过点C作于F，连接，
∵，，
∴，
∵ ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由旋转的性质得，
∴弧的长度为，
故选：A．
5．D
【分析】本题考查了切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，熟记相关结论即可求解．
【详解】解：由题意可知：是从点向引的两条切线，
是从点向引的两条切线，
是从点向引的两条切线，
∴
的周长
，
∵，
∴的周长是，
故选：D．
6．D
【分析】本题主要考查垂弦定理、圆心角与圆周角的关系，根据垂径定理可得出两弧相等，然后根据等弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出结论即可．
【详解】解：∵的直径过弦的中点G，
∴，
∴
，
∴.
故选D．
7．B
【分析】本题考查切线长定理，勾股定理；利用切线长定理得出，，，再根据三角形周长等于4，可求得，从而利用勾股定理可求解．
【详解】解：∵，是的切线，切点分别是，，
∴，
∵、是的切线，切点是D，交，于点，，
∴，，
∵的周长为4，即，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
8．B
【分析】①由，可得，据此根据圆周角定理即可得结论；
②由点M是直径上一动点，而的位置是确定的，因此不一定成立，可得结论；
③由题意可得点D和点E关于对称，因此的最小值是在点M和点O重合时取到，即的长；
④过点C作于点N，利用解直角三角形可求得，利用三角形面积公式求解即可．
【详解】解：①，
∴，
，
，故①正确；
②点M是直径上一动点，而确定，
不一定成立，故②错误；
③∵，
，，
∴，
，
点D和点E关于对称，
连接，
∴，
∴，
∵两点之间线段最短，
∴当、M、C三点共线时，最小，即最小，
的最小值是在点M和点O重合时取到，即的长，
，
，故③正确；
④连接，
∵，
，则为等边三角形，边长为2，
过点C作于N，则，
在中，以为底，边上的高为，
，故④错误；
综上分析可知，①③正确，共2个，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理，最小值问题，等边三角形判定和性质，三角形面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
9．
【分析】连接，先根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，然后根据弧长公式计算．本题考查了弧长公式：（其中弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r）．
【详解】解：连接，如图，

∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴弧的长．
故答案为：．
10．
【分析】本题主要考查了圆周角定理的推论、等边三角形的判定和性质、勾股定理的应用，先根据圆周角定理得到，证明为等边三角形，得到，根据勾股定理计算，得到答案．
【详解】解：∵是的直径，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴.
∵，
∴为等边三角形，
∴，
由勾股定理得，
即，
解得，
则的半径为，
故答案为：．
11．/
【分析】本题考查了等边三角形的性质、含角的直角三角形的特征、圆与三角形综合问题，过点作，点在以点为圆心，半径长为8的圆上运动，利用等边三角形的性质得，进而可得，可得，进而可得，再利用三角形的面积公式即可求解，找准当的延长线交圆于点时面积最大是解题的关键．
【详解】解：过点作，如图：
由题意得，点在以点为圆心，半径长为8的圆上运动，
当的延长线交圆于点时面积最大，
在中，，，
，
是等边三角形，
，
，
，，
，
的最大值为：，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了扇形面积的计算，矩形的判定与性质，连接，易证得四边形是矩形，则，得到，图中阴影部分的面积扇形的面积，利用扇形的面积公式即可求得．
【详解】解：如图，连接，
，，，
四边形是矩形，
，，
在和中，
，
，
∵点为的中点
∴
，
图中阴影部分的面积扇形的面积，
，
图中阴影部分的面积，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查圆中求弦长，涉及垂径定理、勾股定理、解方程等知识，由题中图形，结合垂径定理可知垂直平分弦，在直角三角形中利用勾股定理求解即可得到答案，熟练掌握圆中求线段长方法：垂径定理构造直角三角形，勾股定理求线段长是解决问题的关键．
【详解】解：如图所示：
由题意可知垂直平分弦，则，，
圆的半径为5米，则；由盛水桶在水面以下的最大深度为2米，得，
在中，，，则由勾股定理可得，
这个圆被水面截得的弦长为米，
故答案为：．
14．0或或4
【分析】先根据圆周角定理确定点P在以为直径的圆O上，且是与矩形的交点，先确定特殊点时的长，当F与A和B重合时，都有两个直角三角形．符合条件，即或4，再找与和相切时的长，此时与矩形边各有一个交点或三个交点，在之间运动过程中符合条件，确定的取值．
【详解】解：∵是直角三角形，且点P在矩形的边上，
∴P是以为直径的圆O与矩形的交点，
①当时，如图1，此时点P有两个，一个与D重合，一个交在边上；
②当与相切时，设与边的切点为P，如图2，
此时是直角三角形，点P只有一个，
③当与相切时，如图4，连接，此时构成三个直角三角形，
则，设，则，
∵，
∴，
∴的半径为：，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴当时，这样的直角三角形恰好有两个，如图3，
④当，即F与B重合时，这样的直角三角形恰好有两个，如图5，
综上所述，则的值是：0或或4．
故答案为：0或或4．
【点睛】本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形中位线定理的运用，圆的性质的运用，分类讨论思想的运用，解答时运用勾股定理求解是关键，并注意运用数形结合的思想解决问题．
15．6/六
【分析】本题主要考查了正多边形与圆，先由圆周角定理得到，再根据周角的定义即可求出答案．
【详解】解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∴这个多边形的边数是，
故答案为：6．
16．
【分析】连接，作于，首先证明点的运动轨迹为以为直径的，连接，当点在的延长线上时，的值最大，利用勾股定理求出即可解决问题．
【详解】解：如图，连接，作于，
是中点，
，
根据垂径定理的推论可得，
，
则点的运动轨迹为以为直径的，连接，
当点在的延长线上时，的值最大，
在直角中，，
，，
，，
又在直角中，，
，
，
即的最大值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查的知识点是垂径定理的推论、半圆所对的圆周角是直角、勾股定理、含角的直角三角形，解题关键是正确寻找点的运动轨迹，构造辅助圆解决问题．
17．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据旋转方式在坐标系中找到A、B对应点C、D的位置， 然后顺次连接C、O、D即可；
（2）根据（1）所画图形，写出点C的坐标即可；
（3）利用勾股定理求出，由旋转的性质可得，则点A的运动轨迹为以点O为圆心，的长为半径，且圆心角度数为90度的弧，据此根据弧长公式进行求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：由图可知，点C的坐标为，
故答案为；；
（3）解：∵，
∴，
由旋转的性质可得，
∴点A的运动轨迹为以点O为圆心，的长为半径，且圆心角度数为90度的弧，
∴旋转过程中点A所经过的路径长．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，勾股定理，求弧长，旋转的性质等等，正确根据旋转方式找到对应点的位置是解题的关键．
18．答案见解析
【分析】本题考查了切线的判定定理，准确作辅助线是解题的关键．连接，利用两个中点，证明出，从而利用平行线的性质证明出，从而得到，即可证明出直线是的切线．
【详解】证明：连接，
是的中点，是的中点，
，
，
直线是的切线
19．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接，则它是直径，它与过C的直径的交点O即可为圆心；取格点M，连接，交于点D，则点D即为所求作的点；
（2）取格点N，连接，交于点E，则；连接交于点P，连接交延长交于点F，连接，则．
【详解】（1）解：如图，点即为满足条件的点；
（2）解：点E、即为所求作的满足条件的点与线段，如图．
【点睛】本题考查了作图：用无刻度直尺作图，垂径定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理逆定理等知识，综合性强，有一定难度．
20．(1)证明见解析
(2)3
【分析】本题考查垂径定理、圆周角定理、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等．（1）由垂径定理得，进而由圆周角定理得出结论；（2）由垂径定理得， 再利用勾股定理求，半径即可．
【详解】（1）证明：连接，
（2）， ，
，
又，
在中，由勾股定理得，
设的半径为x，，，
在中，由勾股定理得，
解得，
⊙O的半径为3．
21．(1)
(2)
【分析】本题主要考查垂径定理、等边三角形的判定和性质及扇形面积，
（1）连接，根据垂径定理可得是等边三角形，即可求得答案；
（2）连接，由（1）得，则，即可求得和，结合扇形面积和三角形面积即可．
【详解】（1）解：连接，如图，
在中，，，、是两条弦，
∴，分别是，的垂直平分线，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
（2）连接，如图，
由（1）可知，则，
∵，
∴，
在中，，
则，
∴．
22．(1)与是邻等三角形，理由见解析
(2)
【分析】（1）根据，，，进行判断作答即可；
（2）如图3，作于，连接，则，，，由圆周角定理可得，如图3，作于，在中，，则，由勾股定理得，，由，可得，根据，计算求解即可．
【详解】（1）解：与是邻等三角形，理由如下：
∵点D是的中点，
∴，，
∵，
∴与是邻等三角形．
（2）解：如图3，作于，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
如图3，作于，在中，，
∴，
由勾股定理得，，
在中，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了同弧或等弧所对的圆周角、弦相等，等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，含的直角三角形，勾股定理等知识．熟练掌握同弧或等弧所对的圆周角、弦相等，等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，含的直角三角形，勾股定理是解题的关键．
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