2024年中考数学第一轮综合复习——锐角三角函数（含答案）

2024年中考数学第一轮综合复习——锐角三角函数
一、单选题
1．在Rt△ABC中，若各边的长度同时都扩大2倍，则锐角A的正弦值与余弦值的情况（　　）
A．都扩大2倍
B．都缩小2倍
C．都不变
D．正弦值扩大2倍，余弦值缩小2倍
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝ ，BC＝4，则AC的长为（　　）
A．6 B．5 C． D．
3．如图，点A在x轴上，点B，C在y轴上，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，AB是⊙O的直径，点C是AB延长线上的一点，CD与⊙O相切于点D，连接AD，BD．若∠C=30°，则（　　）
A．BC+BD=CD B．AB+BD=CD C．BC+CD=AB D．AD+AC=AB
5．如图，护林员在离树8m的A处测得树顶B的仰角为45°，已知护林员的眼睛离地面的距离AC为1.6m，则树的高度BD为（　　）
A．8m B．9.6m C．(4 +1.6)m D．(8 +1.6)m
6．如图，四边形 内接于圆 ，过 点作 于点 ，若 ， ，则 的长度为（　　）
A． B．6 C． D．不能确定
7．如图所示，在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为β，已知大桥主架顶端离水面的高CD＝a，则此时测量点与大桥主架的水平距离AB为（　　）
A．asinα+asinβ B．atanα+atanβ
C． D．
8．知识改变世界，科技改变生活，导航装备的不断更新极大方便了人们的出行.如图，某校组织学生乘车到黑龙滩（用C地表示）开展社会实践活动，车到达A地后，发现C地恰好在A地的正北方向，且距离A地 ，导航显示车辆应沿北偏东 方向行驶至B地，再沿北偏西 方向行驶一段距离才能到达C地，则B，C两地的距离为（　　）.（结果保留根号，参考数据： ， ， ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，是的外接圆，，，则的值为　 　．
10．如图，一个斜坡长 m，坡顶离水平地面的距离为 m，那么这个斜坡的坡度为　 　．
11．如图， ABCD中，∠DAB=30°，AB=8，BC=3，P为边CD上的一动点，则PB+ PD的最小值等于　 　.
12．如图，物理实验室有一单摆在左右摆动，摆动过程中选取了两个瞬时状态，从C处测的E，F两点的俯角分别为60°和30°，这时点F相对于点E升高了3cm．该摆绳CD的长度为　 　cm．
13．如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD为　 　米（结果保留根号）．
三、解答题
14．如图，某海岸边有B，C两码头，C码头位于B码头的正东方向，距B码头40海里．甲、乙两船同时从A岛出发，甲船向位于A岛正北方向的B码头航行，乙船向位于A岛北偏东 方向的C码头航行，当甲船到达距B码头30海里的E处时，乙船位于甲船北偏东 方向的D处，求此时乙船与C码头之间的距离．（结果保留根号）
15．如图，小明去年到普陀山游玩，上山时乘坐缆车，当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时，它经过了200m，缆车行驶的路线与水平夹角∠α=18°，当缆车继续由点B到达点D时，它又走过了200m，缆车由点B到点D的行驶路线与水平面夹角∠β=46°，求缆车从点A到点D垂直上升的距离（结果保留整数）（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，sin46°≈0.72，cos46°≈0.70）
16．如图，矩形 中， 为边 上一点，将 沿 翻折，使点 恰好落在对角线 上，记作 ，
（1）求 的长；
（2）联结 ，求 的值．
17．如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点D，过点B作BE垂直于PD，交PD的延长线于点C，连接AD并延长，交BE于点E．
（1）求证：AB=BE；
（2）若PA=2，cosB=，求⊙O半径的长．
18．如图，某高楼顶部有一信号发射塔，在矩形建筑物ABCD的A，C两点测得该塔顶端F的仰角分别为和β，矩形建筑物宽度AD=20m，高度DC=33m．求：
（1）试用α和β的三角比表示线段CG的长；
（2）如果α=48°，β=65°，请求出信号发射塔顶端到地面的高度FG的值．（结果精确到1m）（参考数据：sin48°=0.7，cos48°=0.7，tan48°=1.1，sin65°=0.9，cos65°=0.4，tan65°=2.1）
答案
1．C
2．C
3．D
4．B
5．B
6．B
7．C
8．C
9．
10．1：2.4
11．4
12．
13． 一4
14．解：方法1：
解：如图1，延长 交 延长线于点F，
由题意得 ，
， ，
，
．
在 中， ，
，
，
，
（海里），
答：此时乙船与C码头之间的距离为 海里．
方法2：
解：如图2，
过点D作 于点M， 于点N，则四边形 为矩形．
．
在 中， ，
， ，
．
．
，
，
，
．
在 中， ．
，
， ．
．
在 中， ，
，
（海里）．
答：此时乙船与C码头之间的距离为 海里．
方法3：解：如图2，过点D作 于点M， 于点N，则四边形 为矩形．
．
设 ，则 ，
在 中， ，
，
， ，
．
在 中，
，
．
（海里）．
答：此时乙船与C码头之间的距离为 （海里）．
方法4：
如图3，过点E作 于点G，
在 中， ，
，
，
．
在 中， ，
，
，
，
，
，
．
于点G，
，
（海里）．
答：此时乙船与C码头之间的距离为 海里．
15．解：在Rt△ABC中，AB-200米，∠a= 18° ∴BC= AB sin =200×0.31 = 62米 在Rt△BDF中，BD=200米，∠β=46° ∴DF = BD sinβ = 200×0.72= 144米 ∴垂直上升的距离为:BC+DF=144+62=206米
16．（1）解： 四边形ABCD是矩形， ，
，
在 中， ，即 ，
解得 ，
，
由翻折的性质得： ，
，
设 ，则 ，
在 中， ，即 ，
解得 ，
即BE的长为 ；
（2）解：如图，过点 作 于点F，
，
，
，
，
在 中， ，即 ，
解得 ，
，
则在 中， ．
17．（1）证明：连接OD，∵PD切⊙O于点D，∴OD⊥PD，∵BE⊥PC，∴OD∥BE，∴ADO=∠E，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ADO，∴∠OAD=∠E，∴AB=BE；（2）解：由（1）知，OD∥BE，∴∠POD=∠B，∴cos∠POD=cosB=，在Rt△POD中，cos∠POD==，∵OD=OA，PO=PA+OA=2+OA，∴=，∴OA=3，∴⊙O半径=3．
18．解：（1）设CG=xm，
由图可知：EF=（x+20） tanα，FG=x tanβ，
则（x+20）tanα+33=xtanβ，
解得x= ；
（2）x== =55，
则FG=x tanβ=55×2.1=115.5≈116．
答：该信号发射塔顶端到地面的高度FG约是116m