2024年中考数学高频压轴题训练——二次函数与一次函数（含答案）

2024年中考数学高频压轴题训练——二次函数与一次函数
1．已知二次函数的图象经过点．
(1)求a的值；
(2)，求y的最大值与最小值的差；
(3)若一次函数的图象与二次函数的图象的交点坐标是且时，求函数的最小值．
2．如图1，二次函数的图象与一次函数的图象交于，两点，点是二次函数图象的顶点，是轴下方线段上一点与端点不重合，过点分别作轴的垂线和平行线，垂足为，平行线交直线于点．
(1)若反比例函数的图象正好过点，求的值；
(2)求当面积最大时，点的坐标；
(3)如图2，将二次函数关于轴对称得到新抛物线，的顶点为，再将沿直线的方向平移得到新抛物线，的顶点为．在平移过程中，是否存在一个合适的位置，使得是一个直角三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图，一次函数与x轴，y轴分别交于A、C两点，二次函数的图象经过A、C两点，与x轴交于另一点B，其对称轴为直线．
(1)求该二次函数表达式；
(2)在y轴的正半轴上是否存在一点M，使以点M、O、B为顶点的三角形与相似，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)在对称轴上是否存在点P，使为等腰三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数与轴交于点，若点关于轴的对称点在一次函数的图象上．
(1)求的值；
(2)若一次函数与一次函数交于，且点关于原点的对称点为点．求过，，三点对应的二次函数表达式；
(3)为抛物线上一点，它关于原点的对称点为点．
①当四边形为菱形时，求点的坐标；
②若点的横坐标为，当为何值时，四边形的面积最大？请说明理由．
5．对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当时，它们对应的函数值互为相反数；当时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为“伴随”函数．例如：一次函数，它的“伴随”函数为．
(1)已知点在一次函数的“伴随”函数的图象上，求m的值．
(2)已知二次函数．
①当点在这个函数的“伴随”函数的图象上时，求a的值．
②当时，函数的“伴随”函数是否存在最大值或最小值，若存在，请求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由．
6．如图，一次函数的图象与二次函数图象的对称轴交于点．
(1)写出点的坐标　 　；
(2)将直线沿轴向上平移，分别交轴于点、交轴于点，点是该抛物线与该动直线的一个公共点，试求当的面积取最大值时，点的坐标；
(3)已知点是二次函数图象在轴右侧部分上的一个动点，若的外接圆直径为，试问：以、、为顶点的三角形与能否相似？若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由．
7．已知二次函数与一次函数的图象相交于A、B两点，如图所示，其中，
(1)求B点的坐标．
(2)直接写出当x为何范围时，一次函数值大于二次函数值？
(3)在x轴上是否存在点C，使的面积是4，若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由？
8．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线L：与x轴相交于A，B两点，与一次函数相交于点A和点C．
(1)求点A、B、C三点的坐标；
(2)点P是抛物线上的一动点且在直线的上方，过点P作x轴垂线交直线于点D，当点P运动到什么位置时，线段的长度最大？求出此时点P的坐标和线段的最大值；
(3)将抛物线L：的图象向下平移得到新的抛物线，直线与抛物线交于M，N两点，满足，在抛物线上有且仅有三个点，，使得，，的面积相等，请直接写出，，的坐标．
9．如图所示，已知抛物线与一次函数y=kx+b的图像相交于 ，两点，点P是抛物线上不与A，B重合的一个动点，点Q是y轴上的一个动点
(1)直接写出抛物线和一次函数的解析式及关于x的不等式的解集；
(2)当点P在直线上方时，求出面积最大时点P的坐标；
(3)是否存在以P，Q，A，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出P的坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于，B两点．
(1)求a，k的值及点B的坐标；
(2)在抛物线上求点P，使△PAB的面积是△AOB面积的一半；（写出详细解题过程）
(3)点M在抛物线上，点N在坐标平面内，是否存在以A，B，M，N为顶点的四边形是矩形，若存在直接写出M的坐标，若不存在说明理由．
11．已知y是关于x的函数，对函数y的“奇偶性”作如下定义：
若当点是函数图像上任意一点，点也在函数图像上，则函数y为奇函数．
若当点是函数图像上任意一点，点也在函数图像上，则函数y为偶函数．
例如：函数是奇函数，其图像如图：
(1)在下列函数中，奇函数是 ．
A． B． C． D．
(2)对于既不是奇函数也不是偶函数的函数y，若其图像是中心对称（或轴对称）图像，则可以通过平移使新图像对应的函数称为奇函数（或偶函数），我们把这个过程称为函数y的奇偶化，把所需要平移的最短距离称为奇偶化距离．
①写出一个形如的二次函数，使它的奇偶化距离等于3．
②求一次函数的奇偶化距离．
③已知关于x的函数的奇偶化距离为5，求n的值．
12．在平面直角坐标系中，对于点.和，给出如下定义：如果，那么称点Q为点P的“关联点”．
例如：点的“关联点”为点，点的“关联点”为点．
(1)在点，，，中， 的“关联点”在函数的图像上；
(2)如果一次函数图像上点M的“关联点”是，求点M的坐标；
(3)如果点P在函数的图像上，其“关联点”Q的纵坐标y′的取值范围是，求实数a的取值范围．
13．对于函数定义变换：当y≥0时，函数值不变；当y＜0时，我们把这种变换称为函数的“关联变换”，变换后的函数称为原函数的“关联函数”
如：一次函数y=x﹣1，关联函数为，这个关联函数的转折点是（1，0）．
(1)已知一次函数y=2x﹣3，请直接写出它的“关联函数”的解析式．
(2)已知二次函数y=﹣2x﹣3，点（a，4）在它的“关联函数”的图象上，求a的值．
(3)在平面直角坐标系内，有点M（﹣1，1）、N（3，1），二次函数y=﹣2x+a的关联函数与线段MN恰有两个公共点．求a的取值范围
14．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点A(，m)，与y轴交于点B，与x轴交于点C．抛物线经过点A交y轴于点D(0，6)．
(1)求m的值及抛物线的表达式；
(2)如图2，点E为抛物线上一点且在直线AC上方，若EAC的面积为，求出点E的坐标；
(3)坐标轴上有一动点F，连接AF，当∠BAF=60°时，直接写出点F的坐标．
15．如图，二次函数的图象过点，．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)若一次函数的图象与二次函数的图象有交点，求的取值范围；
(3)过点作轴的平行线，以为对称轴将二次函数的图象位于上方的部分翻折，若翻折后所得部分与轴有交点，且交点都位于轴的正半轴，直接写出的取值范围．
16．我们规定：关于x的反比例函数称为一次函数的“次生函数”，关于x的二次函数称为一次函数的“再生函数”．
(1)按此规定：一次函数的“次生函数”为：______，“再生函数”为：______；
(2)若关于x的一次函数的“再生函数”的顶点在x轴上，求顶点坐标：
(3)若一次函数与其“次生函数”交于点、两点，其“再生函数”与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．
①若点，求的正切值；
②若点E在直线上，且在x轴的下方，当时，求点E的坐标．
17．如图，反比例函数与一次函数相交于点A（1，4）和点B（4，1），直线 的图象与y轴和x轴分别相交于点C和点D；
(1)请直接写出当时自变量x的取值范围；
(2)将一次函数向下平移8个单位长度得到直线EF，直线EF与x和y轴分别交于点E和点F，抛物线过点A、D、E三点，求该抛物线的函数解析式（也称函数表达式）；
(3)在（2）抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PBF是以BF为斜边的直角三角形，若存在，请用尺规作图（圆规和无刻度直尺）画出点P所在位置，保留作图痕迹，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
18．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图像经过A(-2，0)，B(8，0)和以AB为直径的半圆M与y轴的交点C，一次函数y=x+m经过点B且与抛物线交于点D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在直线BD的上方抛物线上找一点P，使△BDP的面积最大，请求出此时点P的坐标和△BDP的面积；
(3)在(2)的条件下，在平面内找一点Q，使以点B、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点Q的坐标．
参考答案：
1．(1)；
(2)差为；
(3)．
【分析】（1）直接将点代入函数求解即可；
（2）先求出函数对称轴，判断函数的增减性，然后计算出最大值和最小值后直接求差即可；
（3）求出一次函数的定点坐标，推出，然后可直接求出二次函数的最小值即为所求最小值．
【解析】（1）∵二次函数的图象经过点，
∴，
∴；
（2）由（1）可知，二次函数为：，
对称轴为，
∴时，，
∵，
∴时，，
∴最大值与最小值差为．
（3）∵，
∴直线数经过定点，
∵时，，
∴一次函数的图象与二次函数的图象的一个交点为
，
∵，
∴，
∵，
∴抛物线顶点坐标为，
∴，
∴的最小值为．
【点评】此题考查二次函数，解题关键是根据二次函数的增减性求出自变量取值范围内的函数最大值与最小值，难点是含有一个未知数的一次函数会过定点．
2．(1)
(2)点的坐标为，
(3)存在，点的坐标为，或，或，或，
【分析】（1）解析式化为顶点式求得点，，继而即可求解；
（2）联立方程，得出，，，，得出直线的表达式为，设，，得出，根据三角形面积公式求得关于的二次函数，根据二次函数的性质即可求解；
（3）直线的表达式为，则设点向右平移个单位，则向下平移了个单位，故点 ，，由点，，的坐标，得出然后分类讨论，分①当是斜边时，③当是斜边时，③当是斜边时，勾股定理建立方程，解方程即可求解．
【解析】（1），
，，
根据题意，反比例函数的图象过点，，
；
（2）联立方程，
解得或，
，，，，
点的坐标为，，
设直线的解析式为，
，
，
直线的表达式为，
设，，
当时，，
故点，
，
，
当时，的面积最大，
故点；
（3）存在；
，，
，，
直线的表达式为，
则设点向右平移个单位，则向下平移了个单位，故点 ，，
由点，，的坐标，
得，，，
①当是斜边时，，
解得，
或
②当是斜边时，，
解得，
；
③当是斜边时，，
解得，
；
点的坐标为，或，或，或，．
【点评】本题考查了二次函数综合，反比例函数的性质，化为顶点式，二次函数的平移，轴对称的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
3．(1)y＝﹣x2﹣x+2
(2)存在，点M（0，2）或（0，）
(3)存在，（﹣，）或（﹣，﹣）或（﹣，0）或（﹣，2+）或（﹣，2﹣）
【分析】（1）分别求出点A，点C的坐标，根据对称轴求出另一交点，再根据交点式得出答案；
（2）以点M、O、B为顶点的三角形与相似，，则或，根据正切值求解即可；
（3）分、、三种情况，利用线段长度相等，列出等式求解即可．
【解析】（1）对于，当时，，即点，
令，则，即点.
∵抛物线的对称轴为直线，则点，
∴抛物线与x轴的另一个交点为
设二次函数表达式为：，
∵抛物线过点，
则，
解得：，
故抛物线的表达式为：；
（2）存在，理由：
在中，，，则，
∵以点M、O、B为顶点的三角形与相似，，
∴或，
∴或，
即或，
解得：或2，
即点或；
（3）存在，理由：
根据题意对称轴，设点，
由点A、C、P的坐标得：，，，
当时，则，
解得：，
即点P的坐标为：或；
当时，则，
解得：，
即点；
当时，则，
解得：，
即点P的坐标为：或．
综上，点P的坐标为：或或或或．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，分类讨论是本题求解的关键．
4．(1)
(2)
(3)①或；②当时，四边形的面积最大．理由见解析
【分析】（1）由一次函数与轴交于点，得，则，再把点代入求出值；
（2）通过由两个一次函数组成方程组求出点的坐标，再由对称知识求出点的坐标，后将、、三点坐标代入即可；
（3）①求出直线、的解析式，再联立解得点的坐标；
②当时四边形的面积最大，求出四边形的面积倍三角形的面积，求出点，的坐标，用含的代数式表示，求出的长即可．
【解析】（1）解：一次函数与轴交于点，点关于轴的对称点在一次函数的图象上，
点坐标为，
点坐标为，
点在一次函数的图象上，
，
；
（2）解：由方程组，解得，
点坐标为，
又点为点关于原点的对称点，
点坐标为，
一次函数与轴交于点，
点坐标为，
设二次函数对应的函数表达式为，
把，，三点的坐标分别代入，得，解得，
二次函数对应的函数表达式为；
（3）①当四边形为菱形时，，
直线对应的函数表达式为，
直线对应的函数表达式为．
联立方程组．
解得或，
点坐标为或；
②当时，四边形的面积最大．理由如下：
如图，过作，垂足为，过作轴的垂线，交直线于点，
易知，
线段的长固定不变，
当最大时，四边形的面积最大，
易知（固定不变），
当最大时，也最大，
点在二次函数图象上，点在一次函数的图象上，
点坐标为，
点坐标为，
，
当时，有最大值1，此时有最大值，即四边形的面积最大．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，解决实际问题以二次函数为载体，与方程（组）、不等式、函数、三角形、四边形综合运用，并使考查用代入法、消元法、配方法、待定系数法等解决问题的能力．
5．(1)；
(2)①或或；②当时，函数的“伴随”函数的最大值为，最小值为．
【分析】（1）写出的“伴随”函数，代入计算；
（2）①写出二次函数的“伴随”函数，代入计算；
②根据二次根式的最大值和最小值的求法解答．
【解析】（1）解：的“伴随”函数，
将代入得：，
解得；
（2）解：二次函数的“伴随”函数为，
①当时，将代入，
得，
解得：(舍去)，或，
当时，将代入得：
，
解得：或．
综上所述：或或；
②当时， ，抛物线的对称轴为，
此时y随x的增大而减小，
∴此时y的最大值为，
当时，函数，抛物线的对称轴为，
当有最小值，最小值为，当时，有最大值，最大值，
综上所述，当时，函数的“伴随”函数的最大值为，最小值为．
【点评】此题考查二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，解题关键在于将已知点代入解析式.
6．(1)
(2)点的坐标为
(3)相似，点的坐标为或
【分析】（1）由抛物线解析式求出对称轴，再代入即可求出点的坐标；
（2）如图1，由题意可设直线的解析式为，要是的面积最大，只需直线与抛物线相切，由此可求出的值，即可求得点的坐标；
（3）过点作轴，如图2，由题意可设直线的解析式为，从而可得，，，由的外接圆直径为可得，易证，根据相似三角形的性质可得，然后分两种情况讨论：①，②，用含的代数式表示点的坐标，然后代入抛物线的解析式，求出，即可得到点的坐标．
【解析】（1）解：抛物线的对称轴为，
当时，，
则点的坐标为．
故答案为：；
（2）解：如图1，
设直线的解析式为，
联立，
消去并整理得，
，
当直线与抛物线相切时，
，
解得，
此时直线的解析式为，
令，可得，
的面积最大时，点的坐标为；
（3）解：过点作轴，如图2．
设直线的解析式为，
则有，，
从而可得，，．
的外接圆直径为，
，
．
，
，
．
，
，
．
①若，则有．
，
，，
，
点的坐标为．
点在抛物线上，
，
解得：（舍去），，
点的坐标为；
②若，则有．
，
，，
，
点的坐标为．
点在抛物线上，
，
解得：（舍去），，
点的坐标为．
综上所述：点的坐标为或．
【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了抛物线的对称轴，抛物线与直线的交点的坐标特征，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，解一元二次方程，运用分类讨论和构造型相似是解题的关键．
7．(1)
(2)或
(3)或
【分析】（1）将分别代入与写出解析式，联立解方程即可得到答案；
（2）根据函数图像写出一次函数图像在上方的x的取值范围即可得到答案；
（3）求出一次函数与x轴交点D的坐标，设点C的坐标为，根据列方程求解即可得到答案．
【解析】（1）解：将分别代入与得，
，解得，
，解得，
∴二次函数解析式为：，一次函数解析式为：，
联立可得，
解得，，
当时，，
∴B点的坐标为：；
（2）解：由函数图像可得，
当或时一次函数图像在二次函数上方，
∴或时一次函数值大于二次函数值；
（3）解：当时，，解得，
∴一次函数与x轴交点D的坐标为，
设点C的坐标为，如图所示：
∵的面积是4，
∴，
解得：或，
∴点C的坐标为或．
【点评】本题考查一次函数与二次函数交点问题，利用函数图像解决不等式问题及动点围成三角形面积问题，解题的关键是求出解析式及根据列方程．
8．(1)，，；
(2)，最大值为；
(3)， ，
【分析】（1）令抛物线解析式中，解方程可求出点A，B的坐标，联立一次函数解析式和二次函数解析可求得点C的坐标；
（2）根据题意设点，则，求得，然后根据二次函数的性质可求得其最大值和点P的坐标；
（3）先求出的长，根据求得的长，联立新抛物线与，根据的长确定新抛物线解析式，进而根据有且仅有三个点，，使得，，的面积相等，求得切点的坐标，根据一次函数的平移求得另外两个点的坐标．
【解析】（1）解：（1）令，解得或，
∴，，
令，
解得或，
∴；
（2）根据题意设点，则，
∴，
∵，
∴当时，最大，最大值为，
当时，，
∴；
（3）∵，，
∴，
∵，
∴，
设向下平移a（）个单位，得到新的抛物线，
则抛物线的解析式为：，
令，
整理得：，
设M，N的横坐标分别为，，则，，
如图，过点M，N分别作x，y轴平行线，交于点Q，
则是等腰直角三角形，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
解得；
∴抛物线的解析式为：，
∵抛物线上有且仅有三个点，，使得，，的面积均为定值S，
设为与抛物线唯一的交点，令，
整理得，
∴，得，
则，即，
∴，
∴，即；
∵向下平移个单位得到，
∴向下平移个单位得到，
∴与抛物线交于，，
令，解得：，
∴，，
【点评】此题考查一次函数和二次函数的综合应用，考查抛物线与直线的交点问题，考查二次函数的最值问题，考查函数图象平移问题，考查利用勾股定理求两点问的距离，解题的关键是根批题意画出图形，利用数形结合的思想解题，考查计算能力，属于难题．
9．(1)，，或
(2)
(3)存在，或或；理由见解析
【分析】（1）先运用待定系数法求出解析式，再根据函数图像得出不等式的解集即可；
（2）过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两者交于点C，连接，根据三角形面积公式表示出面积，然后根据函数的增减性即可解答；
（3）根据平行四边形对角线相互平分的性质和平行四边形对角线中点坐标特点求解即可．
【解析】（1）解：把代入抛物线，解得，
∴抛物线解析式为 ，
把，两点代入一次函数，
得，解得，
∴一次函数的解析式为，
由图像得，关于x的不等式的解集是或
（2）解：如图：过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两者交于点C，连接PC，
∵，
∴，，
设P点的坐标为m，则点P的纵坐标为，
如图，过点P作PD⊥AC延长线于点D，作PE⊥BC于点E，
则
∴ ，
∴
=
=
=，
∵．
∴当m=﹣=时，有最大值，
∴当m=时，=﹣，
∴面积最大时点P的坐标为．
（3）解：存在，理由如下：
∵P，Q，A，B为顶点的四边形是平行四边形时，
∴，
∵，，
设P，根据平行四边形对角线中点坐标性质，分情况讨论：
①若该平行四边形的对角线是，则，解得，
把代入，解得，则；
②若该平行四边形的对角线是，则，解得，
把代入，解得，则；
③若该平行四边形的对角线是，则，解得，
把代入，解得，则；
故符合条件的P点坐标为：或或．
【点评】本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数与几何图形的综等知识点，利用数形结合的思想理解点的坐标与线段直接的关系是解答本题的关键．
10．(1)，，B的坐标为
(2)，，，
(3)，，
【分析】（1）根据待定系数法即可求得a，k的值，解析式联立，解方程组即可求得B的坐标；
（2）设直线与y轴的交点为G，则，利用求得的面积．过点P作交直线于点C，设，分两种情况列方程求解即可；
（3）分为矩形的边和为矩形的对角线利用勾股定理列方程求解．
【解析】（1）解：∵过点，
∴，解得，
∵一次函数的图象相过点，
∴，解得；
解得或，
∴B的坐标为；
（2）解：设直线与y轴的交点为G，则，
∴．
过点P作交直线于点C，
设，则，
当点C在点P的右侧时，
，
∴，
解得，，
，，
当点C在点P的左侧时，
，
∴，
解得，，
，，
综上可知，，，，．
（3）解：设，
则，
，
．
当为矩形的边的边时，
由题意得
，
整理得，
解得，（与A重合，舍去）
∴．
当为矩形的对角线时，
由题意得
整理得，
解得，，（与B重合，舍去），（与A重合，舍去）
∴，，
综上可知：，，．
【点评】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，求二次函数的解析式，二次函数的性质，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
11．(1)C
(2)①；②一次函数的奇偶化距离为2；③n的值或
【分析】（1）根据奇偶函数的定义，可得出函数是奇函数；
（2）①由对称轴为y轴的二次函数为偶函数结合奇偶化距离的定义，即可得出，代入，即可找出一个符合题意的答案；
②设一次函数的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点O作于点C，利用一次函数图像上点的坐标特征可得出点A、B的坐标，进而可得出、的长度，利用面积法可求出的长度，此题得解；
③由函数为奇函数结合函数的奇偶化距离为5，即可得出，解之即可得出结论．
（1）
（1）因为点是函数图像上任意一点，点也在函数图像上，则函数y为奇函数．
当点在上时，有，当时，≠，
故A不符合题意；
当点在上时，有，当时，，
故B不符合题意；
当点在上时，有，当时，，
故C符合题意；
当点在上时，有，当时，，
故D不符合题意；
故选C．
（2）
①∵对称轴为y轴的二次函数为偶函数，
∴，
∴函数符合题意．
②设一次函数的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点O作于点C，如图所示．
∵一次函数的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴点A的坐标为，点B的坐标为，
∴，，
∴，
∴，
∴一次函数的奇偶化距离为2．
③将函数的图像先向右平移一个单位，再向下平移个单位，可得出的图像，
∵函数为奇函数，函数的奇偶化距离为5，
∴，
解得：，，
∴n的值为或．
【点评】本题考查了二次函数的性质、一次函数的性质、坐标的平移以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据函数“奇偶性”的定义找出奇函数；（2）①利用奇偶化距离找出；②利用面积法求出直线与的距离；③根据图像的平移结合函数的奇偶化距离，找出关于n的无理方程．
12．(1)和
(2)
(3)
【分析】（1）点的“关联点”是，点的“关联点”是，点的“关联点”是，点的“关联点”是，将点的坐标代入函数，看是否在函数图像上，即可求解；
（2）当时，点，则；当时，点，则，解方程即可求解；
（3）如图为“关联点”函数图像：从函数图像看，“关联点”Q的纵坐标y′的取值范围是，而，函数图像只需要找到最小值（直线）与直线从大于等于2开始运动，直到与有交点结束．都符合要求，只要求出关键点即可求解．
【解析】（1）解：由题意新定义知：点的“关联点”是，
当时，，
∴的“关联点”不在函数图像上；
∵点的“关联点”是，
当时，，
∴的“关联点”在函数图像上；
∵点的“关联点”是，
当时，，
∴的“关联点”不在函数图像上；
∵点的“关联点”是，
当时，，
∴的“关联点”在函数图像上；
∴和的“关联点”在函数图像上；
故答案为：和；
（2）解：当时，则点，
则，解得：（舍去）；
当时，点，
，解得：，
∴点；
（3）解：如下图所示为“关联点”函数图像：
从函数图像看，“关联点”Q的纵坐标y′的取值范围是，
函数图像只需要找到最小值（直线）与直线从大于等于2开始运动，直到与有交点结束，都符合要求，
∴，
解得：（舍去负值），
观察图像可知满足条件的a的取值范围为：．
【点评】本题考查二次函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，属于创新题目，读懂题意是解决本类题的关键．
13．(1)关联函数为y=
(2)a=1±2或1
(3)0＜a＜2或﹣4＜a＜﹣2
【分析】（1）令2x-3=0，求出直线y=2x-3与x轴的交点坐标，根据“关联函数”的定义求解；
（2）令，求出抛物线与x轴的交点坐标，根据抛物线开口方向求出其关联函数解析式，将（a，4）分别代入其关联函数解析式中求解；
（3）作MN关于x轴的对称的线段M'N'，由二次函数解析式可得抛物线顶点坐标，结合图象求解．
【解析】（1）令0=2x﹣4，
解得x=，
∴其关联函数为y=，
（2）令，
解得，，
抛物线与轴交点坐标为，，
抛物线开口向上，
关联函数，
将代入得，
解得，，
将代入得，
解得，
或1．
（3），
抛物线开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线，
点、关于直线对称，
如图，作关于轴的对称的线段，
当时，，抛物线顶点在线段上，
当时，，抛物线顶点在线段上，
满足题意，
当抛物线经过点，时，将代入得，
解得，
将代入得，
解得，
符合题意，
综上所述，或．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系，通过数形结合求解．
14．(1)m的值为4，；
(2)E（0，6）或（3，0）；
(3)F（，0）或（0，）．
【分析】（1）把点A代入一次函数解析式求得m，将A、D两点代入二次函数解析式，进而求得抛物线解析式；
（2）作EF⊥x轴，交AC于G，是E、G两点坐标，表示出EG，根据三角形ACE的面积列出方程，求出方程的解，进而求得E点坐标；
（3）分为点F在x轴，y轴两种情形，当F在x轴上时，作FM⊥AC，设出FM，CM，表示出AM，然后根据AC=AM+CM，列出方程，进而求得OF，从而得出F点坐标，当F在y轴上，同样方法求得F点坐标．
（1）
解：由题意得，
=4，
∵，
∴，
∴；
（2）
解：如图1，
作EF⊥x轴于F，交AC于G，
由得，x=，
∴C(，0)，
设E（a，），G（a，），
∴，
∵，
∴，
∴=0，=3，
当a=0时，y=6，
当a=3时，y=0，
∴E（0，6）或（3，0）；
（3）
解：如图2，
当F在x轴上，
作AN⊥FC于N，FM⊥AC于M，
∵AN=4，CN=2，
∴AC=2，
∵tan∠ACN=，
∴设FM=2x，CM=x，
∴CF=2x，
在Rt△AFM中，FM=2x，∠FAM=60°，
∴，
∵AM+CM=AC，
∴，
∴x=，
∴，
∴F（，0），
如图3，
∵A（-，4），B（0，2），
∴AB=，
当F在y轴上，
作FG⊥AC于G，
设BG=2m，FG=m，
∴BF=2m，AG=m，
∴m+2m=，
∴m=，
∴BF=2×=，
∴OF=OB+BF=2+=，
∴F（0，），
综上所述：F（，0）或（0，）．
【点评】本题考查了二次函数及其图象性质，一次函数及其图象性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是较强的计算能力及正确使用解直角三角形．
15．(1)；
(2)；
(3)当时，翻折后所得部分与轴有交点，且交点都位于轴的正半轴
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）联立一次函数与二次函数解析式得到一个一元二次方程，利用一元二次方程根的判别式求解即可；
（3）设抛物线对称轴与x轴交于F，与抛物线交于E，设原二次函数与y轴的交点为C，分别求出当翻折后E与F重合，C与O重合时p的值，即可得到答案．
(1)
解：∵二次函数的图象过点，，
∴，
∴，
∴二次函数解析式为；
(2)
解：联立得，
∵一次函数的图象与二次函数的图象有交点，
∴方程有实数根，
∴，
∴；
(3)
解：设抛物线对称轴与x轴交于F，与抛物线交于E，设原二次函数与y轴的交点为C，
∴点C的坐标为（0，2），
∵抛物线解析式为，
∴点E的坐标为（1，3），
∴EF=3，
当经过翻折后所得部分与轴恰好只有一个交点时，即点E翻折后与点F重合，
∴此时MN垂直平分EF，
∴，
当经过翻折后所得部分与x轴的一个交点恰好为原点时，即点C翻折后与原点重合，
此时MN垂直平分OC，
∴，
∴当时，翻折后所得部分与轴有交点，且交点都位于轴的正半轴．
【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，一次函数与二次函数的交点问题，二次函数与x轴的交点问题，翻折的性质，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
16．(1)，
(2)
(3)①；点E的坐标
【分析】（1）先根据y=x-3确定a，b的值，然后根据“次生函数”和“再生函数”的定义即可；
（2）先写出y=x+b的“再生函数”函数，再根据二次函数的性质列出关于b的式子，求出b即可确定顶点；
（3）①先说明△BCD是直角三角形，然后根据三角函数的定义即可；
②根据E所在的位置，利用等腰直角三角形的性质求出点E的坐标即可．
（1）
）∵一次函数y=x-3的a=1，b=-3，
∴y=x-3的“次生函数”为y＝ ，
∴y=x-3的“再生函数”为y=x2-3x+2，
故答案为y＝ ，y=x2-3x+2；
（2）
∵y=x+b的“再生函数”为：y=x2+bx-（1+b），
又∵y=x2+bx-（1+b）的顶点在x轴上，
∴b2+4（1+b）=0，
∴解得：b1=b2=-2，
∴y=x2-2x+1=（x-1）2，
∴顶点坐标为：（1，0）；
（3）
①∵y=ax+b与其“次生函数”的交点为：（1，-2）、（4， ），
∴，
解得：，
∴一次函数的解析式为y＝，
∴y＝的“再生函数”为：y＝
令y=0，则
解得：x1=1，x2=4，
∴A（1，0），B（4，0），C（0，2），
如图，过点C作CH∥x轴交直线x=1于点H，
∵D（1，3），C（0，2），
∴CH=DH=1，
∴∠CDH=45°，
又∵AD=AB=3，
∴∠ADB=45°，
∴∠CDB=90°，
∵CD=，BD=，
∴；
②如图，
∵∠CBE=∠ABD=45°，
∴∠ABE=∠CBD，
又∵∠EAB=∠CDB=90°，
∴△CBD∽△EBA，
∴，
∴＝，
∴AE=1
∴E（1，-1）.
【点评】本题主要考查新定义概念类型题以及二次函数的综合应用，正确理解新定义的函数是本题的关键．
17．(1)或
(2)
(3)存在，
【分析】（1）从函数的图像和点A（1，4）和点B（4，1）的横坐标可以直接看出；
（2）把点A（1，4）和点B（4，1）代入的AB的解析式，求出D的坐标，把向下平移8个单位得到求出E的坐标，利用待定系数法可求得过点A、D、E的函数解析式；
（3）存在，如图，（作BF的垂直平分线交BF于点M，点M即为BF的中点，以点M 为圆心，MB为半径作圆，交抛物线对称轴于点，点；即为所求．）
（1）
从函数的图像可以直接看出，因为点A（1，4）和点B（4，1）
所以当或时
（2）
把点A（1，4）和点B（4，1）代入得
解得

令得
把向下平移8个单位得到
令得
设过点A、D、E的抛物线的函数解析式为
把点A（1，4）代入得

（3）
存在，如图，作BF的垂直平分线交BF于点M，点M即为BF的中点，以点M为圆心，MB为半径作圆，交抛物线对称轴于点，点即为所求．
求点P的坐标的过程如下：过点M作MG垂直抛物线的对称轴于G点，连接MP1，MP2，
由y=-x-3可知，F的坐标为（0，-3）
又B(4，1)
∴M点横坐标为:
M的纵坐标为： =-1
∴M(2，-1)
又FB=
∴圆的半径为：2
抛物线的对称轴x=1，
所以MG=1，
GP1=GP2=
∴点P的坐标为
【点评】本题是三种函数的综合，考查了二次函数的图像和性质，二次函数与不等式，待定系数法求二次函数与一次函数的解析式，尺规作图，一次函数图象的平移等知识，数形结合思想是解本题关键．
18．(1)y=-x2+x+4；
(2)点P的坐标为（2，6），△BDP的面积最大值为54；
(3)点Q的坐标为（14，12）或（-10，0）或（2，-12）时，以点B、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形．
【分析】（1）先求出OC的长，即可得出点C的坐标，最后用待定系数法即可得出结论；
（2）先求得直线AD的解析式，联立方程组求得点D的坐标，过点P作轴的平行线交直线BD于点E，利用△BDP的面积=PE×(x-x)列出二次函数，利用二次函数的性质即可求解；
（3）分三种情况讨论，由平行四边形的性质可求解．
(1)
解：设圆心为点M，
∵A（-2，0），B（8，0），
∴M（3，0），⊙M的半径为5，
∴OC==4，
∴C（0，4），
设抛物线解析式为y=a（x+2）（x-8），
∵点C在抛物线上，
∴a×2×（-8）=4，
∴a=-，
∴y=-（x+2）（x-8）=-x2+x+4；
(2)
解：∵一次函数y=x+m经过点B，
∴0=×8+m，
解得：m=-4，
∴直线AD的解析式为y=x-4，
解方程组得：或，
∴点D的坐标为（-4，-6），
过点P作轴的平行线交直线BD于点E，
设△BDP的面积为S，点P的坐标为（n，-n2+n+4），则点E的坐标为（n，n-4），
∴PE=-n2+n+4-n+4=-n2+n+8，
∴△BDP的面积为：S=PE×(x-x)=-n2+6n+48=-(x-2)2+54，
∵-<0，
∴当x=2时，S有最大值，最大值为54，
此时点P的坐标为（2，6）；
(3)
解：设点Q的坐标为（p，q），
当PB为对角线时，
，，
解得：p=14，q=12，
∴Q1（14，12）；
当PD为对角线时，
，，
解得：p=-10，q=0，
∴Q2（-10，0）；
当BD为对角线时，
，，
解得：p=2，q=-12，
∴Q3（2，-12）；
综上所述，Q（14，12）或（-10，0）或（2，-12）时，以点B、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了圆的性质，待定系数法，平行四边形的性质，分类讨论的思想，解本题的关键是用方程的思想思考问题．