2024年中考数学一轮复习综合练习题：圆（含解析）

2024年中考数学一轮复习综合练习题：圆
一、单选题
1．用反证法证明命题：“在△ABC中，∠A，∠B的对边分别是a，b，若∠A<∠B，则aA．a>b B．a≥b C．a≤b D．a≠b
2．如图所示，点A，B，C在圆O上，∠A=64°，则∠BOC的度数是（　　）
A．26° B．116° C．128° D．154°
3．如图，在⊙O中，OC⊥弦AB于点C，AB=4，OC=1，则OB的长是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，在 中， ， ， ，以点 为圆心，3为半径的圆与 所在直线的位置关系是（　　）
A．相交 B．相离 C．相切 D．无法判断
5．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠CDA＝118°，则∠C的度数为（　　）
A．32° B．33° C．34° D．44°
6．平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标为(-4，-5)，半径为5，那么⊙P与y轴的位置关系是（　　）
A．相交 B．相离 C．相切 D．以上都不是
7．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC=2，∠BAC=30°，则劣弧BC的长等于（　　）．
A． B． C． D．
8．“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长六寸，问径几何？”用现代的数学语言表述是：“CD为 的直径，弦 ，垂足为E，CE=1寸，AB=10寸，求直径CD的长”，依题意得CD的长为（　　）
A．12寸 B．13寸 C．24寸 D．26寸
9．已知在△ABC中，∠BAC＝90°，M是边BC的中点，BC的延长线上的点N满足AM⊥AN.△ABC的内切圆与边AB，AC的切点分别为E，F，延长EF分别与AN，BC的延长线交于P、Q，则 ＝（　　）
A．1 B．0.5 C．2 D．1.5
10．如图，△ABC是直角边长为2a的等腰直角三角形，直角边AB是半圆O1的直径，半圆O2过C点且与半圆O1相切，则图中阴影部分的面积是(　　)
A． B． C． D．
二、填空题
11．一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积为　 　（结果保留π）
12．如图，⊙O的弦AB与半径OC相交于点P，BC∥OA，∠C=50°，那么∠APC的度数为　 　
13．如图，为的直径，弦，垂足为，，，，则弦的长度为　 　.
14．如图，AB是半⊙O的直径，点C在半⊙O上，AB=5cm，AC=4cm.D是 上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE.在点D移动的过程中，BE的最小值为　 　.
15．如图，正六边形ABCDEF的边长是6+4 ，点O1，O2分别是△ABF，△CDE的内心，则O1O2=　 　．
三、解答题
16．已知：如图，在⊙O中，AB＝CD，AB与CD相交于点M.
求证：AM＝DM.
17．如图，AE是圆O的直径，点B在AE的延长线上，点D在圆O上，且AC⊥DC， AD平分∠EAC
(1)求证：BC是圆O的切线。
(2)若BE=8，BD=12，求圆O的半径，
18．如图，半圆ACB中，点D是的中点，点E在直径AB上，且AE=AC，半径OD交CE于点F．
（1）求证：OF=OE：
（2）若OF=6，DF=4，求CF的长．
19．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作AC的垂线交AC于点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：DE与⊙O相切；
（2）若CD=BF，AE=3，求DF的长．
20．如图，OA，OB是⊙O的两条半径，OA⊥OB，C是半径OB上一动点，连结AC并延长交⊙O于D，过点D作圆的切线交OB的延长线于E，已知OA＝8．
（1）求证：∠ECD＝∠EDC；
（2）若tanA＝ ，求DE长；
（3）当∠A从15°增大到30°的过程中，求弦AD在圆内扫过的面积．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：用反证法证明命题：“在△ABC中，∠A，∠B的对边分别是a，b，若∠A<∠B，则a故答案为：B.
【分析】用反证法证明的第一步为：假设结论不成立，据此判断.
2．【答案】C
【解析】【解答】圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。
故答案为：C.
【分析】根据圆周角定理可求出∠BOC的度数。
3．【答案】B
【解析】【解答】解：∵OC⊥弦AB于点C，
∴AC=BC= AB，
在Rt△OBC中，OB= = ．
故选B．
【分析】根据垂径定理可得AC=BC= AB，在Rt△OBC中可求出OB．
4．【答案】A
【解析】【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，如图所示：
∵ ， ， ，
∴ ，
根据等积法可得 ，
∴ ，
∵以点 为圆心，3为半径的圆，
∴该圆的半径为3，
∵ ，
∴圆与AB所在的直线的位置关系为相交，
故答案为：A.
【分析】过点C作CD⊥AB于点D，由勾股定理可得AB的长度，根据三角形面积可得CD的长度，由圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，根据直线和圆的位置关系，d＜r，直线与圆相离，d=r，直线与圆相切，d＞r，直线与圆相交判断即可.
5．【答案】C
【解析】【解答】解：如图，连接OD，
∵CD与⊙O相切于点D，
∴∠ODC＝90°，
∵∠CDA＝118°，
∴∠ODA＝∠CDA-∠ODC＝118°-90°＝28°，
∵OD＝OA，
∴∠OAD＝∠ODA＝28°，
∴∠DOC＝2∠ODA＝56°，
∴∠C＝90°-∠DOC＝34°．
故答案为：C
【分析】连接OD，先求出∠ODA＝∠CDA-∠ODC＝118°-90°＝28°，根据等边对等角的性质可得∠OAD＝∠ODA＝28°，根据圆周角的性质可得∠DOC＝2∠ODA＝56°，再利用角的运算可得∠C＝90°-∠DOC＝34°。
6．【答案】A
【解析】【解答】解：∵圆P的圆心坐标为（-4，-5），
∴点P到y轴的距离为|-4|=4＜5，
∴圆P与y轴相交.
故答案为：A.
【分析】利用点P的坐标，可得到点P到y轴的距离，再与5比较大小，利用点与圆的位置关系，可得答案。
7．【答案】A
【解析】【解答】 解：连结OC、OB，如图，
∵ ∠BAC=30°，
∴ ∠BOC=2∠BAC=60°，
∵OB=OC，
∴△BOC为等边三角形，
∵BC=2，
∴r=2，
∴的长为：=.
故答案为：A.
【分析】连结OC、OB，根据圆周角定理得∠BOC=60°， 由等边三角形判定得BOC为等边三角形，根据弧长公式计算即可得出答案.
8．【答案】D
【解析】【解答】解：如图，连接AO，
设直径CD的长为 寸，则半径OA=OC=x寸，
∵CD为 的直径，弦 ，垂足为E，AB=10寸，
∴AE=BE= AB=5寸，
根据勾股定理可知，
在Rt△AOE中， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
即CD长为26寸.
【分析】连接AO，设直径CD的长为 寸，则半径OA=OC= 寸，然后利用垂径定理得出AE，最后根据勾股定理进一步求解即可.
9．【答案】A
【解析】【解答】取△ACB的内切圆的圆心是O，连接OE、OF，作NA的延长线AG，
则OE⊥AB，OF⊥AC，OE＝OF，
∵∠BAC＝90°，
∴四边形AEOF是正方形，
∴AE＝AF，
∴∠AEF＝∠AFE，
∵∠BAC＝90°，M为斜边BC上中线，
∴AM＝CM＝BM，
∴∠MAC＝∠MCA，
∵∠BAC＝90°，AN⊥AM，
∴∠BAC＝∠MAG＝∠MAN＝90°，
∴∠GAE+∠EAM＝90°，∠EAM+∠MAC＝90°，∠MAC+∠CAN＝90°，
∴∠GAE＝∠MAC＝∠MCA，∠EAM＝∠CAP，
∵∠GAE＝∠APE+∠AEP，∠MCA＝∠Q+∠CFQ，
∵∠AEF＝∠AFE＝∠CFQ，∠EPA＝∠NPQ，
∴∠Q＝∠NPQ，
∴PN＝QN，
∴ ＝1，
故答案为：A.
【分析】取△ACB的内切圆的圆心是O，连接OE、OF，作NA的延长线AG，根据有一组邻边相等的矩形判断四边形AEOF是正方形，再利用正方形的性质及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半证出∠AEF＝∠AFE，∠MAC＝∠MCA，由同角的余角相等可得∠GAE＝∠MAC＝∠MCA，∠EAM＝∠CAP，再根据三角形的外角的性质∠GAE＝∠APE+∠AEP，∠MCA＝∠Q+∠CFQ，利用等量代换求出∠Q＝∠NPQ，再由等角对等边即可求出答案.
10．【答案】D
【解析】【解答】连接O1O2设O2的半径为x．
∵O1O22-AO12=AO22，
∴（a+x)2-a 2=（2a-x)2，
解得：x=a．
设⊙O1交BC于D，⊙O2交BC于E．
∴CE=PE=x=，BC=AB，CD=AB=a，
∴S阴影=S△ADC-S△CEP=CD AD-CE PE=×a a-×a a=a2．
故选D．
【分析】利用等弦所对的弧相等，先把阴影部分变化成一个直角梯形，然后再利用等腰直角三角形求小圆的半径，从而求阴影部分的面积．本题考查了勾股定理，以及三角形的面积的计算，正确理解阴影部分的面积等于梯形PEDA的面积是关键．
11．【答案】3π
【解析】【解答】此题考查扇形面积的计算，熟记扇形面积公式 ，即可求解.
根据扇形面积公式，计算这个扇形的面积为 .
【分析】根据扇形的面积公式即可得出结果.
12．【答案】75°
【解析】【解答】解：∵BC∥OA，∠C=50°，
∴∠AOC=∠C=50°，
∴∠B=∠AOC=25°，
∴∠APC=∠B+∠C=75°．
故答案为：75°．
【分析】由BC∥OA，∠C=50°，根据平行线的性质，可求得∠AOC的度数，又由圆周角定理，可求得∠B的度数，然后由三角形外角的性质，求得答案．
13．【答案】
【解析】【解答】解：连接、，交于，如图，
∵，
，
设⊙的半径为，则，，
在中，，解得，
∵，
，，
在中，，①
在中，，②
解由①②组成的方程组得到，
.
故答案为.
【分析】连接、，交于，由垂径定理可得，设⊙的半径为，则，，在中，利用勾股定理建立关于r方程并解之，即得OA=5，由可得，，在中，①，在中，②，联立①②可得AG的长，继而得解.
14．【答案】 ﹣2
【解析】【解答】解：如图，连接BO'，BC，
∵CE⊥AD，
∴∠AEC=90°，
∴在点D移动的过程中，点E在以AC为直径的圆上运动，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，∵AC=4，AB=5，
∴BC=，
在Rt△BCO′中，，
∵O′E+BE O′B，
∴当O′、E. B共线时，BE的值最小，最小值为O′B O′E=.
故答案为：.
【分析】连接BO′、BC，在点D移动的过程中，点E在以AC为直径的圆上运动，当O′、E、B共线时，BE的值最小，最小值为O′B- O′E，利用勾股定理求出B O′即可解决问题.
15．【答案】
【解析】【解答】解：如图，过A作AM⊥BF于M，连接O1F、O1A、O1B，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠A= =120°，AF=AB，
∴∠AFB=∠ABF= ×（180°﹣120°）=30°，
∴△AFB边BF上的高AM= AF= ×（6+4 ）=3+2 ，
FM=BM= AM=3 +6，
∴BF=3 +6+3 +6=12+6 ，
设△AFB的内切圆的半径为r，
∵S△AFB=
∴ ×（3+2 ）×（3 +6）
= ×（6+4 ）×r+ ×（6+4 ）×r+ ×（12+6 ）×r，
解得：r= ，
即O1M=r= ，
∴O1O2=2× +6+4 =9+4 ，
故答案为：9+4
【分析】如图，过A作AM⊥BF于M，连接O1F、O1A、O1B，根据正六边形的性质得出∠A=120°，AF=AB，根据三角形的内角和及等边对等角得出∠AFB=∠ABF=30°，根据含30 直角三角形的边之间的关系得出AM的长，FM的长，进而根据等腰三角形的三线合一得出BF的长，设△AFB的内切圆的半径为r，根据S△AFB= S△AO1F+S△AO1E+S△BFO1，建立出方程，求解得出r的值，从而得出答案。
16．【答案】证明：∵AB＝CD，
∴ ＝ ，
∴ ﹣ ＝ ﹣ ，
∴ ＝ ，
∴∠D＝∠A，
∴MA＝MD.
【解析】【分析】欲证明AM＝DM，只要证明∠D＝∠A即可；
17．【答案】解：（1）证明：连接OC；
∵AD平分∠EAC，
∴∠CAD=∠BAD；
又在圆中OA=OD，
∴∠AD0=∠OAD，
∴∠CAD=∠ADO，
∴AC∥OD；
则由AE⊥DC知OC⊥DC，
即DC是⊙O的切线．
（2）解：∵∠B=∠B，∠DAE=∠BDE，
∴△BDE∽△BAE，
∴，
∴BD2=BE·BA，
即：BD2=BE·（BE+EA），
∴122=8(8+AE)
∴AE=10.
【解析】【分析】（1）要证DE是⊙O的切线，只要连接OC，再证∠DCO=90°即可．
（2）已知两边长，求其它边的长，可以来三角形相似，对应边成比例来求．
18．【答案】（1）证明：连接BC，交OD于点G
∵AB是半圆O的直径
∴∠ACB= 90°
∴AC⊥BC
∵D是BC的中点，OD是半径
∴OD⊥BC
∴OD∥AC
∴∠OFE=∠ACE
∵AE=AC
∴∠OEF=∠ACE
∴∠OFE=∠OEF
∴OF=OE；
（2）解：若OF=6，DF=4，则OE=OF=6，OA=OB=OD=OF+DF=10
∴AC=AE=AO+OE=16，AB=20
在Rt△ACB中，BC==12
∵OD是半径且OD⊥BC
∴BG=CG=6
在Rt△OBG中，OG==8
∴FG=OG-OF= 2
∴在Rt△CFG中，CF=-
【解析】【分析】（1）利用圆周角定理和垂径定理得AC⊥BC、OD⊥BC，由同一平面内垂直同一直线的两条直线互相平行得OD∥AC，再通过平行线的性质证得∠OFE=∠ACE，然后由AE=AC证得∠OEF=∠ACE=∠OFE，进而得到OF=OE；
（2）通过线段的等量关系得到AB、AC的长度，再利用勾股定理计算出BC的长度，接着通过垂径定理求得OG的长度后，得到FG长，然后利用勾股定理计算出CF的长度.
19．【答案】（1）证明：连接OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
又∵AB=AC，
∴∠1=∠2，
∵OA=OD，
∴∠2=∠ADO，
∴∠1=∠ADO，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴∠ODF=∠AED=90°，
∴OD⊥ED，
∵OD过0，
∴DE与⊙O相切.
（2）解：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠1=∠2，CD=BD，
∵CD=BF，
∴BF=BD，
∴∠3=∠F，
∴∠4=∠3+∠F=2∠3，
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠4=2∠3，
∵∠ODF=90°，
∴∠3=∠F=30°，∠4=∠ODB=60°，
∵∠ADB=90°，
∴∠2=∠1=30°，
∴∠2=∠F，
∴DF=AD，
∵∠1=30°，∠AED=90°，
∴AD=2ED，
∵AE2+DE2=AD2，AE=3，
∴AD=2 ，
∴DF=2 ．
【解析】【分析】（1）连接OD，利用OD=AO，得到 ∠1=∠ADO， 进而得到OD平行AC，结合垂直关系和切线的判定，即可得出答案。
（2）根据等腰三角形的三线重合可知CD=BD，结合条件又知BD=BF，从而有∠3=∠F=30° ，进而得到 ∠2=∠1=30°，故DF=AD，AD=2ED，在Rt△AED中利用30°的性质计算边长AD，即可得出答案。
20．【答案】（1）证明：连结OD， ∵DE是⊙O的切线，∴∠EDC＋∠ODA＝90°， 又∵OA⊥OB，∴∠ACO＋∠A＝90°，
∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠A，∴∠EDC＝∠ACO，
又∵∠ECD＝∠ACO，∴∠ECD＝∠EDC．
（2）解：∵tanA＝ ，∴ ，∴OC＝2， 设DE＝x，∵∠ECD＝∠EDC，∴CE＝x，∴OE＝2＋x．
∵∠ODE＝90°，∴OD2＋DE2＝OE2，
∴82＋x 2＝（2＋x）2，x＝15，∴DE＝CE＝15．
（3）解：过点D作AO的垂线，交AO的延长于F， 当 时，则 ，DF＝4，
当 时， ，DF＝4 ，
，
【解析】【分析】（1）运用切线的性质以及对顶角相等，角的等量代换可证得；（2）由tanA＝ ，可解出OC，由（1）得∠ECD＝∠EDC，等角对等边，则EC=DE，由勾股定理得OD2＋DE2＝OE2，构造方程解出DE的长；（3）分别求出 和 时，弓形ABD的面积，再用前者减去后者即可得到答案.