2024年中考数学总复习专题卷-三角形中位线定理（第十一卷）（含答案）

2024年中考数学总复习专题卷-三角形中位线定理
一、选择题
1．在中，，，，点，，分别为边，，的中点，则的周长为（　　）
A．9 B．12 C．14 D．16
2．如图，两点被池塘隔开，三点不共线．设的中点分别为．若米，则（　　）
A．4米 B．6米 C．8米 D．10米
3．如图，在 中， ，点D，E分别为 ， 的中点，则 （　　）
A． B． C．1 D．2
4．如图，△ABC中，AB＝10，AC＝7，BC＝9，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，则四边形DBFE的周长是（　　）
A．13 B．15 C．17 D．19
5．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的中点，如果△ADE的周长是6，则△ABC的周长是（　　）
A．24 B．14 C．12 D．6
6．如图，在中，，D，E，F分别为，，的中点．若EF的长为10，则的长为（　　）
A．5 B．10 C．15 D．20
7．如图，在边长为的正方形中，对角线，相交于点，为线段的中点，连接，则线段的长为（　　）cm．
A． B． C．1 D．2
8．如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点.若AB=6，BC=8，则四边形BDEF的周长是（　　）
A．28 B．14 C．10 D．7
9．如图，为测量B，C两地的距离，小娟在池塘外取点A，得到线段 ， ，并取 ， 的中点D，E，连结 ．现测得 的长为6米，则B，C两地相距（　　）
A．3米 B．6米 C．9米 D．12米
10．如图，在中，点D、E为边的三等分点，点F、G在边上，，点H为与的交点．若，则的长为（　　）
A．1 B． C．2 D．3
二、填空题
11．如图，已知在中，，，点P是的中点，过点P的直线与交于点Q，依据尺规作图痕迹解决下列问题．
（1）与是否平行？　 　（填“是”或“否”）；
（2）的周长为　 　．
12．在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图所示，是格点三角形，，与网格线分别交于，两点．若小正方形的边长为，则的长为　 　．
13．数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的A，B两点的距离，同学们在AB外选择一点C，测得AC， BC两边中点的距离DE为10m（如图），则A，B两点的距离是　 　 m．
14．如图，在 中， ， ， 分别是边 ， ， 的中点，若 的周长为10，则 的周长为　 　．
15． 如图，在中，点，分别是，的中点，若，则　 　 ．
三、作图题
16．图①、图②、图③分别是6×6的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D、E、P、Q、M、N均在格点上，仅用无刻度的直尺在下列网格中按要求作图，保留作图痕迹．
（1）在图①中，画线段AB的中点F．
（2）在图②中，画△CDE的中位线GH，点G、H分别在线段CD、CE上，并直接写出△CGH与四边形DEHG的面积比．
（3）在图③中，画△PQR，点R在格点上，且△PQR被线段MN分成的两部分图形的面积比为1：3．
17．如图，在中，，是的边上的中线，请用尺规作图法在边上求作一点，使得．(不写作法，保留作图痕迹)
18．如图，在由边长为1个单位长度的正方形组成的网格中，给出了格点（顶点为网格线的交点），请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）．
（1）请在网格①中，作的中位线PQ，交AB于点P，交BC于点Q．
（2）请在网格②中，作矩形ACMN，使
四、解答题
19．三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心．如图G是 的重心．求证： ．
20．在△ABC中，点D、E、F分别是BC、AB、AC边的中点.求证：△BED≌△DFC.
21．如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（0，8），点 B（b，t）在直线x=b上运动，点D、E、F分别为OB、OA、AB的中点，其中b是大于零的常数．
（1）判断四边形DEFB的形状．并证明你的结论；
（2）试求四边形DEFB的面积S与b的关系式；
（3）设直线x=b与x轴交于点C，问：四边形DEFB能不能是矩形？
若能．求出t的值；若不能，说明理由．
22．如图， 是 的中线， 是线段 上一点（不与点 重合）． 交 于点 ， ，连结 ．
（1）如图1，当点 与 重合时，求证：四边形 是平行四边形；
（2）如图2，当点 不与 重合时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由.
（3）如图3，延长 交 于点 ，若 ，且 ．
①求 的度数；
②当 ， 时，求 的长．
五、综合题
23．如图，点E、F、G、H分别是各边的中点，连接相交于点M，连接相交于点N．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若的面积为4，求的面积．
24．在平面直角坐标系中，已知点，．对于点给出如下定义：将点先向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，点关于点的对称点为，称点为点的“欢乐点”．
（1）如图，点，点在线段的延长线上．若点，点为点的“欢乐点”．
①在图中画出点与点；
②连接，交线段于点，求证：＝；
（2）⊙O的半径为1，是⊙O上一点，点在线段上，且＝（＜＜1），若 为⊙O外一点，点为点P的“欢乐点”，连接．当点在⊙O上运动时，直接写出长的最大值与最小值的差（用含的式子表示）．
25．如图1，在中，，点D，E分别是的中点.把绕点B旋转一定角度，连结.
（1）如图2，当线段在内部时，求证：.
（2）当点D落在直线上时，请画出图形，并求的长.
（3）当面积最大时，请画出图形，并求出此时的面积.
答案解析部分
1．【答案】A
2．【答案】B
3．【答案】D
4．【答案】D
5．【答案】C
6．【答案】B
7．【答案】D
8．【答案】B
9．【答案】D
10．【答案】C
11．【答案】（1）是
（2）8
12．【答案】
13．【答案】20
14．【答案】20
15．【答案】
16．【答案】（1）解：如图①
（2）解：如图②
（3）解：如图③，画出一种即可.
17．【答案】解：点E即为所求作的点，
18．【答案】（1）解：通过构造直角三角形ABM、直角三角形APN、直角三角形CEB、直角三角形CFQ，
，
，
，
可得点P为AB中点，
同理可得，点Q为BC中点，
即PQ为的中位线，
PQ即为所求．
（2）解：PQ为的中位线，
，
分别过点C、A作，垂足分别为M、N，
，
四边形ACMN为矩形，
点C、点B到PQ的距离相等，
即点B到AC的距离是点C到PQ的距离2倍，
，
，
矩形ACMN即为所求．
19．【答案】证明：过点D作DH∥AB，交CE于点H，
∵AD是△ABC的中线，
∴点D是BC的中点，
∴DH是△BCE的中位线，
∴BE=2DH，DH∥AB，
∵CE是△BCE的中线，
∴AE=BE，
∴AE=2DH，
∵DH∥AB，
∴△AEG∽△DHG，
∴ ，
∴AG=2GD，
即AD=3GD.
20．【答案】证明：∵，点D、E分别是BC、AB的中点，∴ED//AC,ED= AC,
又∵F是AC边的中点，∴FC= AC, ∴DE=FC,
由ED//AC，∠EDB=∠C，同理，∠B=∠FDC,
在△EBD和△FDC中，∵∠B＝∠FDC，∠EDC＝∠C，ED＝FC，
∴△BED≌△DFC（AAS）
21．【答案】（1）解：四边形DEFB是平行四边形．
证明：∵D、E分别是OB、OA的中点，∴DE∥AB，同理，EF∥OB，
∴四边形DEFB是平行四边形；
（2）解法一：∵S△AOB= ×8×b=4b，
由（1）得EF∥OB，∴△AEF∽△AOB，
∴ （ ）2，即S△AEF= S△AOB=b，同理S△ODE=b，
∴S=S△AOB﹣S△AEF﹣S△ODE=4b﹣b﹣b=2b，即S=2b（b＞0）；
解法二：如图，连接BE，S△AOB= ×8×b=4b，
∵E、F分别为OA、AB的中点，
∴S△AEF= S△AEB= S△AOB=b，
同理S△EOD=b，
∴S=S△AOB﹣S△AEF﹣S△ODE=4b﹣b﹣b=2b，
即S=2b（b＞0）；
（3）解法一：以E为圆心，OA长为直径的圆记为⊙E，
①当直线x=b与⊙E相切或相交时，若点B是切点或交点，则∠ABO=90°，由（1）知，四边形DEFB是矩形，
此时0＜b≤4，可得△AOB∽△OBC，
∴ ，即OB2=OA BC=8t，
在Rt△OBC中，OB2=BC2+OC2=t2+b2，
∴t2+b2=8t，
∴t2﹣8t+b2=0，
解得t=4± ，
②当直线x=b与⊙E相离时，∠ABO≠90°，
∴四边形DEFB不是矩形，
综上所述：当0＜b≤4时，四边形DEFB是矩形，这时，t=4± ，当b＞4时，四边形DEFB不是矩形；
解法二：由（1）知，当∠ABO=90°时，四边形DEFB是矩形，
此时，Rt△OCB∽Rt△ABO，
∴ = ，即OB2=OA BC，
又OB2=BC2+OC2=t2+b2，OA=8，BC=t（t＞0），
∴t2+b2=8t，
∴（t﹣4）2=16﹣b2，
①当16﹣b2≥0时，解得t=4± ，此时四边形DEFB是矩形，
②当16﹣b2＜0时，t无实数解，此时四边形DEFB不是矩形，
综上所述：当16﹣b2≥0时，四边形DEFB是矩形，此时t=4± ，当16﹣b2＜0时，四边形DEFB不是矩形；
解法三：如图，过点A作AM⊥BC，垂足为M，
在Rt△AMB中，AB2=AM2+BM2=b2+（8﹣t）2，
在Rt△OCB中，OB2=OC2+BC2=b2+t2，
在Rt△OAB中，当AB2+OB2=OA2时，∠ABO=90°，则四边形DEFB为矩形，
∴b2+（8﹣t）2+b2+t2=82，
化简得t2﹣8t=﹣b2，配方得（t﹣4）2=16﹣b2，其余同解法二．
22．【答案】（1）证明：∵DE//AB，∴∠EDC=∠ABM，
∵CE//AM，
∴∠ECD=∠ADB，
又∵AM是△ABC的中线，且D与M重合，∴BD=DC，
∴△ABD △EDC，
∴AB=ED，又∵AB//ED,
∴四边形ABDE为平行四边形。
（2）解：结论成立，理由如下：
过点M作MG//DE交EC于点G，
∵CE//AM，
∴四边形DMGE为平行四边形，
∴ED=GM且ED//GM，
由（1）可得AB=GM且AB//GM，
∴AB=ED且AB//ED.
∴四边形ABDE为平行四边形.
（3）解：①取线段HC的中点I，连结MI，
∴MI是△BHC的中位线，
∴MI//BH,MI=BH，
又∵BH⊥AC，且BH=AM，
∴MI=AM，MI⊥AC，
∴∠CAM=30°
②设DH=x,则AH=x，AD=2x,
∴AM=4+2x，∴BH=4+2x,
由（2）已证四边形ABDE为平行四边形，
∴FD//AB，
∴△HDF~△HBA，
∴，即
解得x=1±（负根不合题意，舍去）
∴DH=1+.

23．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵点E、F、G、H分别是各边的中点，
∴，
∴四边形为平行四边形，
同理可得：四边形为平行四边形，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：连接，
∵为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可得：
∴，
∴，
∵，
∴．
24．【答案】（1）解：①点Q如下图所示．
∵点，
∴点向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点，
∴，
∵点关于点的对称点为，，
∴点的横坐标为：，纵坐标为：，
∴点，在坐标系内找出该点即可；
②证明：如图延长至点，连接，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴．
（2）解：(2) 长的最大值与最小值的差为．
25．【答案】（1）证明：∵点D，E分别是的中点，
∴
∴，
由旋转知，，
∴；
（2）解：如图，
∵，
∴，
由（1）图
∵点D，E分别是的中点，
∴，
∴，
∵点D落在上，
∴，
由（1）知，，
∴，
在中，，
根据勾股定理得，
（3）解：如图，
设点E到的距离为h，则，
要的面积最大，则h最大，
即时，此时，h最大，
∵，
∴，
∴，
由旋转知，，
∴，
过点D作于H，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在题干图1中，
∵点D，E分别是的中点，
∴，
∴
.