长春市十一高中2023-2024学年度高二上学期第三学程考试
数 学 答 案
一、单选题（每题5分，共40分）.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
选项 B C D A A C A C
多选题（每题5分，共20分）
题号 9 10 11 12
答案 ACD BCD AD BCD
填空题（每题5分，共20分）.
13．1 14．12 15． 16．
简答题（共70分）
17．解：（1）解：方程，
可化为，（或者D2+E2-4F＞0） 2分
∵此方程表示圆，
，即； 5分
（2）解：圆的方程化为，
圆心，半径，
则圆心到直线的距离为， 6分
由于，则有，
， 8分
解得. 10分
18．解：（1）由题意知：，（）
即： 3分
化简得. 4分
所以数列的通项公式. 6分
（2）因为
所以 ①，
可得 ②，
①-②得：.
故. 12分
19．解：（1）解：由已知可得，，
即点到定点的距离等于到直线的距离，
故点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，
所以点的轨迹方程为． 4分
解：当直线的倾斜角为时，与曲线只有一个交点，不符合题意；
当直线的倾斜角不为时，设直线方程为，，，，，由，可得，，所以，，
，，所以
所以当且仅当时取等号，即面积的最小值为；
（讨论斜率不存在2分，联立方程韦达定理2分，写出面积表达式2分，求出最值并强调等号成立的条件2分）
20．解：（1）连接AE，交BD于点O，连接GO．
在菱形ABED中，．
因为平面ABED，平面ABED，所以．
又因为，平面CBD，所以平面CBD．
因为，且，，
所以，且，
所以四边形EFGO为平行四边形，所以，
所以平面CBD． 5分
（2）如图，以B为坐标原点，分别以BC，BA所在直线为x，y轴建立空间直角坐标系，如图． 6分
设，则有，，，，7 分
设平面ACD的一个法向量为，
由得，取， 9分
因为，
记直线FG与平面ACD所成角为，则
， 11分
所以，直线FG与平面ACD所成角的正弦值是． 12分
21．解：（1）由题意知，第1年至此后第年的累计投入为（千万元），
设第年的收入为，前年的累计收入为，
由题意得，， 2分
所以数列是以为首项、以为公比的一个等比数列，
则有（千万元）， 3分
（千万元）， 5分
所以，即（千万元）.
所以的表达式为； 6分
（2）因为，
所以当时，，即单调递减，
当时，，即单调递增， 9分
又，，， 10分
所以该新产品将从第9年开始并持续赢利.
所以该新产品将从2030年开始并持续赢利. 12分
（本题需要通过推理得到数列的变化规律单调性等，只通过列举得到结论的扣2分）
22．解：（1）由题意，所以双曲线方程； 4分
（2）法1：由（1）知，当直线MN斜率存在时，设直线MN方程为，
联立方程组，，即，
设，由韦达定理可得
因为，所以，
，
，
，
或，
将代入直线，此时直线MN过定点，不合题意；
将代入直线，此时直线MN过定点，
当直线MN的斜率不存在时，不妨设直线方程为，
因为，所以为等腰直角三角形，此时M点坐标为，
所以（舍）或，此时MN过定点，
综上可知，直线MN恒过定点.
因为，此时存在以AP为斜边的直角三角形，
所以存在定点Q为AP中点满足，此时．
12分长春市十一高中2023-2024学年度高二上学期第三学程考试
数 学 试 题
第Ⅰ卷（共80分）
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是
符合题目要求的.
1．设等差数列 an 的首项为 2，若 a4 a12 24，则 an 的公差为( )
A．1 B． 2 C． 4 D．8
112．数列 , 2
1 ,31 ,4 1 , 的前 n项和为 （ ）
2 4 8 16
1 n2 n 1 n2 n 1 n2 n 1 n2A． n B 1 C 1 D
n
． n ． n ． 2 2 2 2 2 2 2n 2
3．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”
在这首诗中含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题．如图，在平面直角坐标系中，
军营所在区域的边界为 x2 y2 1 ,河岸所在直线方程为 x y 3 ,将军从点 A 0,2 处出
发，先到河边饮马，然后再返回军营，如果将军只要到达军营所在区域即回到军营，则
这个将军所经过的最短路程为（ ）
A． 5 B． 5 1 C． 10 D． 10 1
（3题图） （4题图）
π
4．三棱锥O ABC中， AOB BOC AOC ,OA 2OB 2，已知CB OA，则
3
OC （ ）
A．1 B．2 C． 2 D． 3
x2 y25．已知椭圆 E : 2 2 1 a b 0 的右焦点 F 与抛物线 y
2 16x的焦点重合，过点 F 的
a b
直线交 E于 A、B两点，若 AB的中点坐标为(1,-1)，则椭圆 E方程为（ ）
2 2 2 2 2 2 2 2
A x y 1 B x y 1 C x y 1 D x y． ． ． ． 1
24 8 25 9 36 20 18 9
6．德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影
响．他幼年时就表现出超人的数学天才，10岁时，他在进行1 2 3 L 100的求和运算
2023-2024 学年度上学期第三学程（ 高二数学 ）学科试题 1 / 4
{#{QQABaYQAogAgABAAARgCEQWaCEAQkAACACoGREAMsAAAABFABCA=}#}
时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律
a 2n 98生成，因此，此方法也称之为高斯算法．已知数列 n ，则a1 a2 a98 （ ）2n 99
A．96 B．97 C．98 D．99
7．已知抛物线C : y2 4x的焦点为 F ，过 F 的直线 l的倾斜角为锐角，且 l与C交于 A,B
两点， AF 3FB，则 l的斜率为（ ）
A 1． 3 B． 2 C．1 D． 2
8 *．著名的波那契列 an ：1，1，2，3，5，8， ，满足 a1 a2 1，an 2 an 1 an n N ，
那么1 a3 a5 a7 a9 a2021 是斐波那契数列中的 （ ）
A．第 2020项 B．第 2021项 C．第 2022项 D．第 2023项
二、多选题：本题共 4小题，每小题 5分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项
是符合题目要求的.
9．下列命题中，正确的有（ ）
a
A．若向量 ，b 与空间任意向量都不能构成基底，则 a//b；
a c a B．若非零向量 ，b ， 满足 a b，b c，则有 //c；
C．在四面体P ABC中，若 PA BC 0， PC AB 0，则 PB AC 0；
D a b b c
．若向量 ， ， c a 是空间一组基底，则a，b ， c也是空间的一组基底.
y210．已知双曲线 E : x2 1，则（ ）
6
A． E的焦距为 7
B． E的虚轴长是实轴长的 6 倍
C y
2
．双曲线 x2 1与 E有相同的渐近线
6
D．点 ( 7,0)到 E的一条渐近线的距离为 6
11．设等差数列 an 的前 n项和为 Sn， a15 0，且 a14 a17 0，则（ ）
A 2a． n 是等比数列
S
B． nn
是递增的等差数列
C．当 Sn 0时， n的最大值为 28
S
D． 1 m 15，m N*， m a
m 1
am
x2 y2 2 2
12．已知椭圆 2 2 1 a1 b
x y
1 0 的离心率为 e1，双曲线 2 2 1 a2 0,b2 0 的离a1 b1 a2 b2
心率为 e2，两曲线有公共焦点F1， F2，P是椭圆与双曲线的一个公共点， F1PF2 60 ，
2023-2024 学年度上学期第三学程（ 高二数学 ）学科试题 2 / 4
{#{QQABaYQAogAgABAAARgCEQWaCEAQkAACACoGREAMsAAAABFABCA=}#}
以下结论正确的是（ ）
A a2 b2 2． 1 1 a2 b
2
2 B．b
2 2
1 3b2
1 3
C． 1 2 24e2 4e2 D． 2e1 2e2的最小值为 2 31 2
第Ⅱ卷（共70分）
三、填空题：本题共 4小题,每小题 5分,共 20分.
13．若直线mx y m 5 0与直线 2x m 1 y 3 0平行，则m ．
2 2
14 x y．已知曲线 C： 1，点 M为平面内一动点，且与曲线 C的焦点不重合．已知
9 4
M关于曲线 C的左焦点的对称点为 A，关于右焦点的对称点为 B，线段 MN的中点在曲
线 C右支上，则 AN BN 的值为 ．
15．已知数列 a n 2 3 n nn 的前 项和为 Sn，且2a1 2 a2 2 a3 2 an n 2 ，则数列 an 的
通项公式为 an ．
2 2
16 x y．已知椭圆 C： 1 10 14 6的离心率为 ，F为椭圆 C的一个焦点，
14 6 3
P为椭圆 C上一点，则 PF 的最大值为 .
四、解答题：本题共 6小题,共 70分.
17．已知圆C的方程： x2 y2 2x 4y m 0 .
(1)求实数m的取值范围；
(2) 2 5若圆C与直线 l : x 2y 3 0交于M ， N两点，且 MN ，求m的值.
5
18．已知等差数列 an 的前 n项和为 Sn，且 S4 4S2， a2n 2a n 1（ n N ）．
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)若b nn 2 ，令 cn anbn，求数列 cn 的前 n项和Tn .
19．已知点 A(1,0)，点 B为直线 x= 1上的动点，过 B作直线 x= 1的垂线 l1，线段 AB
的中垂线与 l1交于点 P．
(1)求点 P的轨迹 C的方程；
(2)若过点 E 2,0 的直线 l与曲线 C交于 M，N两点，求△MON 面积的最小值．（O为坐
标原点）
2023-2024 学年度上学期第三学程（ 高二数学 ）学科试题 3 / 4
{#{QQABaYQAogAgABAAARgCEQWaCEAQkAACACoGREAMsAAAABFABCA=}#}
20．如图，在多面体 ABCFDE中，四边形 ABED是菱形，CB∥FE，CB 2FE，CB
平面 ABED，点 G是线段 CD的中点．
(1)证明： FG 平面 BCD；
(2)若 AB BC BD，求直线 FG与平面 ACD所成角的正弦值．
21．某公司 2022年投资 4千万元用于新产品的研发与生产，计划从 2023年起，在今后
的若干年内，每年继续投资 1千万元用于新产品的维护与生产，2022年新产品带来的收
入为 0.5千万元，并预测在相当长的年份里新产品带来的收入均在上年度收入的基础上增
长 25% .记 2022 *年为第 1年， f n 为第 1年至此后第 n n N 年的累计利润（注：含第
n年，累计利润 累计收入 累计投入，单位：千万元），且当 f n 为正值时，认为新产
品赢利.（参考数据1.257 4.8，1.258 6.0，1.259 7.5，1.2510 9.3）
(1)试求 f n 的表达式；
(2)根据预测，该新产品将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由.
22．已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为 2 5,0 ，离心率为 5．
(1)求C的方程；
(2)记 C的右顶点为 A，过点 A作直线MA,NA与 C的左支交于M ,N两点，且MA NA，
AD MN ，D为垂足．证明：存在定点Q，使得 | DQ |为定值，并求出Q点坐标．
2023-2024 学年度上学期第三学程（ 高二数学 ）学科试题 4 / 4
{#{QQABaYQAogAgABAAARgCEQWaCEAQkAACACoGREAMsAAAABFABCA=}#}
