2023-—2024学年沪科版数学九年级下册第24章圆单元检测（含答案）
文档属性
| 名称 | 2023-—2024学年沪科版数学九年级下册第24章圆单元检测（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 359.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-01-15 15:09:32 | ||
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文档简介
第24章 圆
(时间:120分钟 分值:150分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分)
1.瓷器上的纹饰是中国古代传统文化的重要载体之一,下面花纹图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( )
A. B.
C. D.
2.如图,ABCD为☉O的内接四边形.若∠D=45°,则∠B= ( )
A.115° B.135°
C.145° D.165°
3.下列四个命题中,错误的是 ( )
A.直径是弦
B.经过三个点一定可以作圆
C.半径相等的两个圆是等圆
D.半径相等的两个半圆是等弧
4.如图,半圆的圆心为O,直径AB的长为12,C是半圆上一点,∠CAB=30°,则AC 的长为 ( )
A.6 B.6
C.6 D.3
5.如图,正五边形ABCDE内接于☉O,P是劣弧上一点(点P不与点C重合),则∠CPD= ( )
A.45° B.36°
C.35° D.30°
6.如图,某公园的一座石拱桥是圆弧形(劣弧),其跨度为24米,拱的半径为13米,则拱高为 ( )
A.8米 B.7米
C.5米 D.5米
7.如图,正方形ABCD边长为3,点E在边AB上,以E为旋转中心,将EC逆时针旋转90°得到EF,AD与FE交于点P.若tan∠BCE=,则PF的值为 ( )
A. B.
C. D.
8.如图,正方形ABCD的边长为8,M是AB的中点,P是BC边上的动点,连接PM,以P为圆心,PM长为半径作☉P.当☉P与正方形ABCD的边相切时,BP的长为 ( )
A.3 B.2
C.3或2 D.3或4
9.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=4,tan A=,I为△ABC的内心,ID∥AC,IE∥BC,则△IDE的周长为 ( )
A.6 B.5 C.4.8 D.4
10.如图,△ABC是直角三角形,A、B是x轴上的两点,且O是AB的中点,直角顶点C是半径为1的☉P上的动点,且点P的坐标为(8,-6),则AB的最大值为 ( )
A.4-2 B.2-2
C.15 D.22
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
11.如图,△OAB绕点O逆时针旋转75°到△OCD的位置,已知∠AOB=35°,则∠AOD等于 .
12.在《九章算术》卷九中记载了这样的一个问题:“今有勾八步,股十五步,问勾中容圆径几何 ”其意思:“如图,今有直角三角形勾(短直角边)长为8步,股(长直角边)长为15步,问该直角三角形能容纳的圆(内切圆)的直径是多少步 ”根据题意,该内切圆的直径为 步.
13.如图,在扇形AOB中,∠AOB=110°,半径OA=18,将扇形AOB沿过点B的直线折叠,点O恰好落在上的点D处,折痕交OA于点C,则阴影部分的周长是 .
14.如图,已知AB是☉O的直径,∠ACD是所对的圆周角,∠ACD=30°,回答下列问题.
(1)∠DAB的度数为 .
(2)过点D作DE⊥AB,垂足为E,DE的延长线交☉O于点F.若AB=4,则DF的长为 .
三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
15.如图,已知C、D是以AB为直径的☉O上的两点,连接BC、OC、OD,若OD∥BC,求证:D为的中点.
16.按下列要求在方格纸中画图.
(1)画出△ABC关于点O对称的△A1B1C1.
(2)画出将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到的△A2BC2.
四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
17.如图,在平面直角坐标系中,边长为4的正六边形ABCDEF的对称中心与原点O重合,点A在x轴上,点B在反比例函数y=位于第一象限的图象上,求k的值.
18.如图,☉O的直径AB=10,C为直径AB下方半圆上的一点,∠ACB的平分线交☉O于点D,连接AD、BD.
(1)求AD、BD的长.
(2)若弦AC=6,求tan∠ABC的值.
五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)
19.如图,AB是☉O的直径,点D在☉O上,OC∥AD交☉O于点E,点F在CD的延长线上,且∠BOC+∠ADF=90°.
(1)求证:=.
(2)求证:CD是☉O的切线.
20.已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB=4,另有一块等腰直角三角板的直角顶点放在C处,CP=CQ=2,将三角板CPQ绕点C旋转(保持点P在△ABC内部),连接AP、BP、BQ.
(1)如图1,求证:AP=BQ.
(2)如图2,当三角板CPQ绕点C旋转到点A、P、Q在同一直线时,求AP长.
六、(本题满分12分)
21.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,∠BAO=30°,AC=8.过点O作OH⊥AB于点H,以点O为圆心,OH为半径的半圆交AC于点M.
(1)求图中阴影部分的面积.
(2)点P是BD上的一个动点(点P不与点B、D重合),当PH+PM的值最小时,求PD的长度.
七、(本题满分12分)
22.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,O为BC上一点,以O为圆心,OB长为半径的☉O交AB于另一点D,E为AC上一点,且AE=DE.
(1)求证:DE是☉O的切线.
(2)若OB=2,OC=1,tan A=,求AE的长.
八、(本题满分14分)
23.如图1,点C是半圆AB上一点(不与A、B重合),OD⊥BC交弧BC于点D,交弦BC于点E,连接AD交BC于点F.
(1)如图1,如果AD=BC,求∠ABC的大小.
(2)如图2,如果AF∶DF=3∶2,求∠ABC的正弦值.
(3)连接OF,☉O的直径为4,如果△DFO是等腰三角形,求AD的长.
参考答案
1.C 2.B 3.B 4.A 5.B 6.A 7.A 8.D 9.B 10.D
11.40° 12.6 13.6π+18
14.(1)60°(2分) (3)2(3分)
15.证明:∵OB=OC,
∴∠B=∠C.
∵OD∥BC,
∴∠AOD=∠B,∠COD=∠C,
∴∠AOD=∠COD,
∴=,
即D为的中点. 8分
16.解:(1)如图,△A1B1C1即为所求. 4分
(2)如图,△A2BC2即为所求. 8分
17.解:如图,连接OB,过点B作BM⊥OA于点M.
∵六边形ABCDEF是正六边形,
∴∠AOB==60°.
∵OA=OB,
∴△AOB是等边三角形, 3分
∴OA=OB=AB=4,
∴BM=OB·sin∠BOA=4×sin 60°=2,OM=OB·cos 60°=2,
即点B的坐标是(2,2). 6分
∵点B在反比例函数y=位于第一象限的图象上,
∴k=2×2=4. 8分
18.解:(1)∵AB为☉O的直径,
∴∠ADB=90°. 1分
∵CD是∠ACB的平分线,
∴=,
∴AD=BD,
∴△ABD是等腰直角三角形. 3分
∵AB=10,
∴AD2+BD2=AB2,
∴AD=BD=5. 5分
(2)∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°.
在Rt△ABC中,BC==8.
∵∠ACB=90°,
∴tan∠ABC===. 8分
19.证明:(1)连接OD.
∵AD∥OC,
∴∠BOC=∠OAD,∠COD=∠ODA.
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA, 2分
∴∠BOC=∠COD,
∴=. 4分
(2)由(1)知∠BOC=∠OAD,∠OAD=∠ODA.
∴∠BOC=∠ODA. 6分
∵∠BOC+∠ADF=90°,
∴∠ODA+∠ADF=90°,
即∠ODF=90°.
∵OD是☉O的半径,
∴CD是☉O的切线. 10分
20.解:(1)证明:∵∠ACB=∠PCQ=90°,
∴∠ACP=∠BCQ.
∵AC=BC,CP=CQ,
∴△ACP≌△BCQ(SAS),
∴AP=BQ. 4分
(2)如图,作CH⊥PQ于点H.
∵CP=CQ=2,
∴CH=PH=QH=PQ.
∵∠PCQ=90°,
∴PQ==2,
∴CH=PH=. 7分
∵AC=4,
∴AH===.
∵点A、P、Q在同一直线,
∴AP=AH-PH=-. 10分
21.解:(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,OA=OC=4.
∵OH⊥AB,∴∠AHO=90°. 2分
∵∠OAH=30°,
∴∠AOH=60°,OH=OA=2,AH=OH=2,
∴S阴=S△AOH-S扇形OMH=×2×2-=2-π. 6分
(2)如图,作点M关于BD的对称点M',连接HM'交BD于P,连接PM,此时PH+PM的值最小.
∵OH=OM=OM'=2,∴∠OHM'=∠OM'H.
∵∠AOH=∠OHM'+∠OM'H=60°,∴∠OM'H=30°.
设OP=m,则PM=2m.
∵PM2=OM2+OP2,
∴4m2=m2+22,∴m=,
在Rt△AOB中,∠BAO=30°,OA=4,
∴OB=OA·tan 30°=,
∴OD=OB=,
∴PD=OD+OP=+=2. 12分
22.(1)证明:如图,连接OD.
∵∠ACB=90°,
∴∠A+∠B=90°. 2分
∵AE=DE,∴∠A=∠EDA,
∴∠B+∠EDA=90°.
又∵OB=OD,∴∠B=∠ODB,
∴∠ODB+∠EDA=90°,
∴∠ODE=90°,∴OD⊥DE,
∴DE是☉O的切线. 5分
(2)解:如图,连接OE.
∵OB=2,OC=1,∴BC=3.
∵tan A==,∴AC=6. 7分
设AE=DE=x,则CE=6-x.
∵∠OCE=∠ODE=90°,
∴OC2+CE2=OE2,OD2+DE2=OE2,
∴12+(6-x)2=22+x2,
∴x=,∴AE=. 12分
23.解:(1)如图,连接OC.
∵AD=BC,∴=,
∴∠AOD=∠BOC,
∴∠AOC=∠BOD. 1分
∵OD⊥BC,
∴∠COD=∠BOD,
∴∠AOC=∠COD=∠BOD. 2分
∵∠COD+∠BOD+∠AOC=180°,
∴∠AOC=60°,
∴∠ABC=∠AOC=30°. 4分
(2)如图,连接AC.
∵OD⊥BC,∴E是BC中点.
∵OA=OB,
∴OE∥AC,AC=2OE. 5分
∵AF∶DF=3∶2,
∴AC∶DE=AF∶DF=3∶2. 6分
设AC=3x,则DE=2x,
∴OE=x,
∴OD=OB=x,
∴sin∠ABC=OE∶OB=. 8分
(3)①当DF=OF时,如图.
∵FE⊥DO,∴DE=OE=OD=1,
∴AC=2OE=2,BE==,
∴CE=BE=,
∴BC=2BE=2. 9分
∵OD∥AC,
∴CF∶EF=AC∶DE=AF∶DF=2∶1,
∴EF=CE=.
∴DF==,
∴AF=2DF=.
∴AD=AF+DF=2. 11分
②当DF=OD=2时,如图,
设OE=x,则DE=2-x,AC=2x.
∵OD∥AC,
∴DF∶AF=DE∶AC,
∴AF=,
∴AD=. 12分
过点O作OH⊥AD于H,则AD=2DH.
在△DHO和△DEF中,
∴△DHO≌△DEF(AAS).
∴DH=DE,
∴AD=2DE,
∴=2(2-x).
解得x=或x=(舍去),
∴AD=2DE=-1.
综上所述,AD长-1或2. 14分
(时间:120分钟 分值:150分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分)
1.瓷器上的纹饰是中国古代传统文化的重要载体之一,下面花纹图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( )
A. B.
C. D.
2.如图,ABCD为☉O的内接四边形.若∠D=45°,则∠B= ( )
A.115° B.135°
C.145° D.165°
3.下列四个命题中,错误的是 ( )
A.直径是弦
B.经过三个点一定可以作圆
C.半径相等的两个圆是等圆
D.半径相等的两个半圆是等弧
4.如图,半圆的圆心为O,直径AB的长为12,C是半圆上一点,∠CAB=30°,则AC 的长为 ( )
A.6 B.6
C.6 D.3
5.如图,正五边形ABCDE内接于☉O,P是劣弧上一点(点P不与点C重合),则∠CPD= ( )
A.45° B.36°
C.35° D.30°
6.如图,某公园的一座石拱桥是圆弧形(劣弧),其跨度为24米,拱的半径为13米,则拱高为 ( )
A.8米 B.7米
C.5米 D.5米
7.如图,正方形ABCD边长为3,点E在边AB上,以E为旋转中心,将EC逆时针旋转90°得到EF,AD与FE交于点P.若tan∠BCE=,则PF的值为 ( )
A. B.
C. D.
8.如图,正方形ABCD的边长为8,M是AB的中点,P是BC边上的动点,连接PM,以P为圆心,PM长为半径作☉P.当☉P与正方形ABCD的边相切时,BP的长为 ( )
A.3 B.2
C.3或2 D.3或4
9.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=4,tan A=,I为△ABC的内心,ID∥AC,IE∥BC,则△IDE的周长为 ( )
A.6 B.5 C.4.8 D.4
10.如图,△ABC是直角三角形,A、B是x轴上的两点,且O是AB的中点,直角顶点C是半径为1的☉P上的动点,且点P的坐标为(8,-6),则AB的最大值为 ( )
A.4-2 B.2-2
C.15 D.22
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
11.如图,△OAB绕点O逆时针旋转75°到△OCD的位置,已知∠AOB=35°,则∠AOD等于 .
12.在《九章算术》卷九中记载了这样的一个问题:“今有勾八步,股十五步,问勾中容圆径几何 ”其意思:“如图,今有直角三角形勾(短直角边)长为8步,股(长直角边)长为15步,问该直角三角形能容纳的圆(内切圆)的直径是多少步 ”根据题意,该内切圆的直径为 步.
13.如图,在扇形AOB中,∠AOB=110°,半径OA=18,将扇形AOB沿过点B的直线折叠,点O恰好落在上的点D处,折痕交OA于点C,则阴影部分的周长是 .
14.如图,已知AB是☉O的直径,∠ACD是所对的圆周角,∠ACD=30°,回答下列问题.
(1)∠DAB的度数为 .
(2)过点D作DE⊥AB,垂足为E,DE的延长线交☉O于点F.若AB=4,则DF的长为 .
三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
15.如图,已知C、D是以AB为直径的☉O上的两点,连接BC、OC、OD,若OD∥BC,求证:D为的中点.
16.按下列要求在方格纸中画图.
(1)画出△ABC关于点O对称的△A1B1C1.
(2)画出将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到的△A2BC2.
四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
17.如图,在平面直角坐标系中,边长为4的正六边形ABCDEF的对称中心与原点O重合,点A在x轴上,点B在反比例函数y=位于第一象限的图象上,求k的值.
18.如图,☉O的直径AB=10,C为直径AB下方半圆上的一点,∠ACB的平分线交☉O于点D,连接AD、BD.
(1)求AD、BD的长.
(2)若弦AC=6,求tan∠ABC的值.
五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)
19.如图,AB是☉O的直径,点D在☉O上,OC∥AD交☉O于点E,点F在CD的延长线上,且∠BOC+∠ADF=90°.
(1)求证:=.
(2)求证:CD是☉O的切线.
20.已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB=4,另有一块等腰直角三角板的直角顶点放在C处,CP=CQ=2,将三角板CPQ绕点C旋转(保持点P在△ABC内部),连接AP、BP、BQ.
(1)如图1,求证:AP=BQ.
(2)如图2,当三角板CPQ绕点C旋转到点A、P、Q在同一直线时,求AP长.
六、(本题满分12分)
21.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,∠BAO=30°,AC=8.过点O作OH⊥AB于点H,以点O为圆心,OH为半径的半圆交AC于点M.
(1)求图中阴影部分的面积.
(2)点P是BD上的一个动点(点P不与点B、D重合),当PH+PM的值最小时,求PD的长度.
七、(本题满分12分)
22.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,O为BC上一点,以O为圆心,OB长为半径的☉O交AB于另一点D,E为AC上一点,且AE=DE.
(1)求证:DE是☉O的切线.
(2)若OB=2,OC=1,tan A=,求AE的长.
八、(本题满分14分)
23.如图1,点C是半圆AB上一点(不与A、B重合),OD⊥BC交弧BC于点D,交弦BC于点E,连接AD交BC于点F.
(1)如图1,如果AD=BC,求∠ABC的大小.
(2)如图2,如果AF∶DF=3∶2,求∠ABC的正弦值.
(3)连接OF,☉O的直径为4,如果△DFO是等腰三角形,求AD的长.
参考答案
1.C 2.B 3.B 4.A 5.B 6.A 7.A 8.D 9.B 10.D
11.40° 12.6 13.6π+18
14.(1)60°(2分) (3)2(3分)
15.证明:∵OB=OC,
∴∠B=∠C.
∵OD∥BC,
∴∠AOD=∠B,∠COD=∠C,
∴∠AOD=∠COD,
∴=,
即D为的中点. 8分
16.解:(1)如图,△A1B1C1即为所求. 4分
(2)如图,△A2BC2即为所求. 8分
17.解:如图,连接OB,过点B作BM⊥OA于点M.
∵六边形ABCDEF是正六边形,
∴∠AOB==60°.
∵OA=OB,
∴△AOB是等边三角形, 3分
∴OA=OB=AB=4,
∴BM=OB·sin∠BOA=4×sin 60°=2,OM=OB·cos 60°=2,
即点B的坐标是(2,2). 6分
∵点B在反比例函数y=位于第一象限的图象上,
∴k=2×2=4. 8分
18.解:(1)∵AB为☉O的直径,
∴∠ADB=90°. 1分
∵CD是∠ACB的平分线,
∴=,
∴AD=BD,
∴△ABD是等腰直角三角形. 3分
∵AB=10,
∴AD2+BD2=AB2,
∴AD=BD=5. 5分
(2)∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°.
在Rt△ABC中,BC==8.
∵∠ACB=90°,
∴tan∠ABC===. 8分
19.证明:(1)连接OD.
∵AD∥OC,
∴∠BOC=∠OAD,∠COD=∠ODA.
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA, 2分
∴∠BOC=∠COD,
∴=. 4分
(2)由(1)知∠BOC=∠OAD,∠OAD=∠ODA.
∴∠BOC=∠ODA. 6分
∵∠BOC+∠ADF=90°,
∴∠ODA+∠ADF=90°,
即∠ODF=90°.
∵OD是☉O的半径,
∴CD是☉O的切线. 10分
20.解:(1)证明:∵∠ACB=∠PCQ=90°,
∴∠ACP=∠BCQ.
∵AC=BC,CP=CQ,
∴△ACP≌△BCQ(SAS),
∴AP=BQ. 4分
(2)如图,作CH⊥PQ于点H.
∵CP=CQ=2,
∴CH=PH=QH=PQ.
∵∠PCQ=90°,
∴PQ==2,
∴CH=PH=. 7分
∵AC=4,
∴AH===.
∵点A、P、Q在同一直线,
∴AP=AH-PH=-. 10分
21.解:(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,OA=OC=4.
∵OH⊥AB,∴∠AHO=90°. 2分
∵∠OAH=30°,
∴∠AOH=60°,OH=OA=2,AH=OH=2,
∴S阴=S△AOH-S扇形OMH=×2×2-=2-π. 6分
(2)如图,作点M关于BD的对称点M',连接HM'交BD于P,连接PM,此时PH+PM的值最小.
∵OH=OM=OM'=2,∴∠OHM'=∠OM'H.
∵∠AOH=∠OHM'+∠OM'H=60°,∴∠OM'H=30°.
设OP=m,则PM=2m.
∵PM2=OM2+OP2,
∴4m2=m2+22,∴m=,
在Rt△AOB中,∠BAO=30°,OA=4,
∴OB=OA·tan 30°=,
∴OD=OB=,
∴PD=OD+OP=+=2. 12分
22.(1)证明:如图,连接OD.
∵∠ACB=90°,
∴∠A+∠B=90°. 2分
∵AE=DE,∴∠A=∠EDA,
∴∠B+∠EDA=90°.
又∵OB=OD,∴∠B=∠ODB,
∴∠ODB+∠EDA=90°,
∴∠ODE=90°,∴OD⊥DE,
∴DE是☉O的切线. 5分
(2)解:如图,连接OE.
∵OB=2,OC=1,∴BC=3.
∵tan A==,∴AC=6. 7分
设AE=DE=x,则CE=6-x.
∵∠OCE=∠ODE=90°,
∴OC2+CE2=OE2,OD2+DE2=OE2,
∴12+(6-x)2=22+x2,
∴x=,∴AE=. 12分
23.解:(1)如图,连接OC.
∵AD=BC,∴=,
∴∠AOD=∠BOC,
∴∠AOC=∠BOD. 1分
∵OD⊥BC,
∴∠COD=∠BOD,
∴∠AOC=∠COD=∠BOD. 2分
∵∠COD+∠BOD+∠AOC=180°,
∴∠AOC=60°,
∴∠ABC=∠AOC=30°. 4分
(2)如图,连接AC.
∵OD⊥BC,∴E是BC中点.
∵OA=OB,
∴OE∥AC,AC=2OE. 5分
∵AF∶DF=3∶2,
∴AC∶DE=AF∶DF=3∶2. 6分
设AC=3x,则DE=2x,
∴OE=x,
∴OD=OB=x,
∴sin∠ABC=OE∶OB=. 8分
(3)①当DF=OF时,如图.
∵FE⊥DO,∴DE=OE=OD=1,
∴AC=2OE=2,BE==,
∴CE=BE=,
∴BC=2BE=2. 9分
∵OD∥AC,
∴CF∶EF=AC∶DE=AF∶DF=2∶1,
∴EF=CE=.
∴DF==,
∴AF=2DF=.
∴AD=AF+DF=2. 11分
②当DF=OD=2时,如图,
设OE=x,则DE=2-x,AC=2x.
∵OD∥AC,
∴DF∶AF=DE∶AC,
∴AF=,
∴AD=. 12分
过点O作OH⊥AD于H,则AD=2DH.
在△DHO和△DEF中,
∴△DHO≌△DEF(AAS).
∴DH=DE,
∴AD=2DE,
∴=2(2-x).
解得x=或x=(舍去),
∴AD=2DE=-1.
综上所述,AD长-1或2. 14分