福建永春美岭中学14-15学年高二下期中考试数学理科

美岭中学2015年春高二年段期中考数学(理)科测试卷
选择题（每小题5分， 12题，共60分）
1、从3名女同学和2名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，则不同的选法为(　　)
A．3 B. 5 C．6 D.10
2、下列表中能成为随机变量X的分布列的是(　　)
A． B．
X
－1
0
1
P
0.3
0.4
0.4
X
1
2
3
P
0.3
0.7
－0.1
C． D．
X
－1
0
1
P
0.3
0.4
0.3
X
1
2
3
P
0.3
0.4
0.4
3、5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有(　　)
A．10种 B．20种
C．25种 D．32种
4、在复平面内，复数对应的点位于（ ）
（A）第一象限 （B）第二象限
（C）第三象限 （D）第四象限
5、将两枚质地均匀的骰子各掷一次,设事件A={两个点数互不相同},B={出现一个5点},则P(B|A)=(　　).
A. B. C. D.
6、设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，P(ξ>1)＝p，则P(－1<ξ<0)等于(　　)
A.p B．1－p C．1－2p D.－p
7、某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝. 甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷. 根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是(　　)
A．甲 B. 乙 C．丙 D.丁
8、5人站成一排，甲、乙两人之间恰有1人的不同站法的种数为 ( )
A．18 B．24 C．36 D．48
9、在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于的是(　　)
A．P(X＝2) B．P(X≤2)
C．P(X＝4) D．P(X≤4)
10、某教师一天上3个班级的课，每班一节，如果一天共9节课，上午5节、下午4节，并且教师不能连上3节课(第5和第6节不算连上)，那么这位教师一天的课的所有排法有(　　)
A．474种 B．77种 C．464种 D．79种
11、从2名女教师和5名男教师中选出三位教师参加2014年高考某考场的监考工作．要求一女教师在室内流动监考，另外两位教师固定在室内监考，问不同的安排方案种数为(　　)
A．30 B．180
C．630 D．1 080
12、．如图，A、B、C、D为四个村庄，要修筑三条公路，将这四个村庄连起来，则不同的修筑方法共有(　　)
A．8种 B．12种
C．16种 D．20种
二、填空题（每小题4分，4题，共16分）
13、设复数，则
14、已知随机变量X服从二项分布X～B(6，)，则P(X＝2)等于
15、用数字2、3组成四位数，且数字2、3至少都出现一次，这样的四位数共有________个．(用数字作答)
16、

……
按照此规律第个等式的等号右边的结果为 ；
三、解答题（6题，共74分）
17、（10分）若复数 是纯虚数（是虚数单位），则实数m的值。
18、（12分）一条长椅上有7个座位，4个人坐，还有3个空位子，求：
(1)至少有两人坐在一起，有多少种不同的坐法？
(2)三个空位不都相邻，有多少种不同的坐法？
19、（12分）的展开式中各项的二项式系数之和为256.
(1)求展开式中各项系数之和；
(2)求展开式中含x6的项；
(3)求展开式中系数的绝对值最大的项．
20、（14分）某射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响.
（1）假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率；
（2）假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率；
（3）假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记为射手射击3次后的总的分数，求的分布列.
21、（12分）
用数学归纳法证明下面的等式
12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1.
22、（14分）
计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和．单位：亿立方米)都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年．将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．
(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；
(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：
年入流量X
4080≤X≤120
X>120
发电机最多可运行台数
1
2
3
若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？
美岭中学2015年度高二年段期中考数学(理)科测答案
一、BCDAB DACCA AC
二、 14 n(2n+1)
三、解答题
17、（10分）若复数 是纯虚数（是虚数单位），则实数m的值。
m=2
18、（12分）一条长椅上有7个座位，4个人坐，还有3个空位子，求：
(1)至少有两人坐在一起，有多少种不同的坐法？
(2)三个空位不都相邻，有多少种不同的坐法？
解　(1)利用间接法，没有限制的坐法A＝840种，其中4个人都不相邻的有A＝24种，故至少有两个坐在一起，有840－24＝816(种)不同的坐法．
(2)利用间接法，没有限制的坐法A＝840种，其中三个空位都相邻的有A＝120种，故三个空位不都相邻，有840－120＝720(种)不同的坐法．
19、（12分）的展开式中各项的二项式系数之和为256.
(1)求展开式中各项系数之和；
(2)求展开式中含x6的项；
(3)求展开式中系数的绝对值最大的项．
解　的展开式中各项的二项式系数之和2n＝256?n＝8.
(1)令x＝1得：各项系数和S＝(1－)8＝256.
(2)设第k＋1项为Tk＋1＝C(x)8－k()k
＝(－3)kCx12－2k(0≤k≤8，且k∈Z)．
当k＝3时，即为展开式中含x6的项：T4＝－1 512x6.
(3)设第k＋1项展开式系数的绝对值为3kC最大，
则??≤k≤，
又k∈N，所以k＝6.
所以系数绝对值最大的是第七项T7＝(－3)6C
＝(－3)6×28＝20 412.
20、（14分）某射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响.
（1）假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率；
（2）假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率；
（3）假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记为射手射击3次后的总的分数，求的分布列.
【规范解答】（1）设为射手在5次射击中击中目标的次数，则～.在5次射击中，
恰有2次击中目标的概率
（2）设“第次射击击中目标”为事件；“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件,则

==
（3）由题意可知，的所有可能取值为
P(
P(
=
P(
P(
P(
所以的分布列是
0
1
2
3
6
P
21、（12分）
用数学归纳法证明下面的等式
12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1.
证明 (1)当n＝1时，左边＝12＝1，
右边＝(－1)0·＝1，
∴原等式成立．
(2)假设n＝k(k∈N*，k≥1)时，等式成立，
即有12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2
＝(－1)k－1.
那么，当n＝k＋1时，则有
12－22＋32－42＋…＋ (－1)k－1·k2＋(－1)k(k＋1)2
＝(－1)k－1＋(－1)k·(k＋1)2
＝(－1)k·[－k＋2(k＋1)]
＝(－1)k，
∴n＝k＋1时，等式也成立，
由(1)(2)得对任意n∈N*有
12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1.
22、（14分）
[解析]　(1)依题意，p1＝P(40p2＝P(80≤X≤120)＝＝0.7，
p3＝P(X>120)＝＝0.1.
由二项分布，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为
p＝C(1－p3)4＋C(1－p3)3p3＝()4＋4×()3×()＝0.9477.
(2)记水电站年总利润为Y(单位：万元)．
①安装1台发电机的情形，
由于水库年入值量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y＝5000，E(Y)＝5000×1＝5000.
②安装2台发电机的情形，
依题意，当40Y
4200
10000
P
0.2
0.8
所以，E(Y)＝4200×0.2＋10000×0.8＝8840.
③安装3台发电机的情形，
依题意，当40120时，三台发电机运行，此时Y＝5000×3＝15000，因此P(Y＝15000)＝P(X>120)＝p1＝0.1，由此得Y的分布列如下
Y
3400
9200
15000
P
0.2
0.7
0.1
所以，E(Y)＝3400×0.2＋9200×0.7＋15000×0.1
＝8620.
综上，欲使水电年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．