数学人教A版（2019)选择性必修第一册1.2空间向量基本定理 课件（共15张ppt）

(共15张PPT)
课时3 空间向量基本定理
新授课
情境导入：我们所在的教室即是一个三维立体图,如果以教室的一个墙角为始点,沿着三条墙缝作向量可以得到三个空间向量.这三个空间向量是不共面的,能否用这三个向量表示空间中任意的向量呢？
1.了解空间向量基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解.
2.会选用空间三个不共面向量作基底表示其他的向量.
任务：类比平面向量基本定理，探究空间向量基本定理.
目标一：了解空间向量基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解.
如图，设i,j,k是空间中三个两两垂直的向量，且表示他们的有向线段有公共起点O，其中 为 在i,j确定的平面上的投影向量，对于任意一个空间向量 ，p能否用i,j,k表示呢？
由题可知 ，又向量 ，k共线，因此存在唯一实数z，使得 ，从而
因此，如果i,j,k是空间三个两两垂直的向量，那么对于任意一个空间向量p存在唯一有序实数组（x,y,z），使得p= xi+ yj+zk .
则称xi, yj,zk分别为向量p在i,j,k上的分向量.
从而，
而在i,j所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对（x,y），使得
问题1：对于上面的分解，是否唯一呢？
假设这种表示不唯一，即p还可以表示成p=x'i+y'j+z'k，那么xi+yj+zk=x'i+y'j+z'k．
由向量i,j,k不共面可以得到x=x'，y=y'，z=z'，故假设错误，表示是唯一的.
问题2：在空间中，如果用任意三个不共面的向量a,b,c代替两两垂直的向量i,j,k，你能得到类似的结论吗？
如图，过点O作 ，过点P作直线PP'//OC，交平面OAB于点 P'，在平面OAB内，过点P'作直线P'A'//OB，P'B'//OA，分别与直线OA，OB相交于点A'，B'．
于是存在三个实数x，y，z使
所以
容易证明这种表示形式是唯一的．
新知讲解
空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x,y,z)，使p= xa+ yb+zc．
{a, b, c}
基底
基向量
如果三个向量a,b,c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是{p|p= xa+ yb+zc，x,y,z∈R}．这个集合可看作由向量a,b,c生成的．
单位正交基底
对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi, yj, zk，使a＝xi＋yj＋zk.像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫作把空间向量进行正交分解.
空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底
三个基向量两两垂直 长度都为1
常用{i, j, k}
表示
思考：
(1)构成空间的基底是唯一的吗？
(2)基底选定之后，空间中向量用基底表示，表示形式唯一吗？
(3)基向量可以为零向量吗？
不能，因为零向量与任意向量共面,而基向量必须不共面.
不唯一；
唯一；
练一练
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,可以作为空间向量的一组基底的是(　　).
A. B. C. D.
C
目标二：会选用空间三个不共面向量作基底表示其他的向量.
任务：根据空间向量基本定理，利用不共面的基底向量表示其他空间向量.
如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且 用向量 表示
解：
思考：如何用合适的基底向量表示其他向量？
归纳总结
用基底表示向量(分解向量)的步骤：
定基底→找目标→下结论.
练一练
在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，若 ， ， ，点P为A1C1与B1D1的交点，则　　 （ ）.
A. B. C. D.
C
任务：回答下列问题，构建知识导图.
1.什么是空间向量基本定理？有什么性质？
2.什么是正交分解？
3.如何用基底表示空间向量？