菏泽市部分学校2023-2024学年高二上学期12月月考
数学试题
满分：150分；考试时间：100分钟；
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
老师寄语：决心就是力量，信心就是成功。灰心就是懦弱，死心就是失败！
一、单选题（共40分）
1．（本题5分）已知数列满足：，则等于（ ）
A．32 B．64 C．48 D．128
2．（本题5分）已知等比数列中，，，则（ ）
A．4或 B． C．4 D．8
3．（本题5分）已知等差数列中，，则（ ）
A．24 B．36 C．48 D．96
4．（本题5分）写出数列的一个通项公式（ ）
A． B． C． D．
5．（本题5分）已知数列为等差数列，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．（本题5分）已知数列的前n项和为，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．（本题5分）已知数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
8．（本题5分）已知等比数列满足，公比，则（ ）
A．32 B．64 C．128 D．256
第II卷（非选择题）
老师寄语：我一定能学好它，心诚则灵！
二、填空题（共70分）
9．（本题5分）已知等比数列中，，则的公比为 ．
10．（本题5分）已知等比数列的前项和为，则 ．
11．（本题5分）已知等差数列的首项为2，公差为8，在中每相邻两项之间插入三个数，使它们与原数列的项一起构成一个新的等差数列，数列的通项公式 .
12．（本题5分）已知数列的前项和为，则数列的通项公式 .
13．（本题5分）设等差数列，的前项和分别为，，且，则
14．（本题5分）已知等差数列的公差不为0，其前项和为，且，当取得最小值时，
15．（本题5分）已知数列满足，，则 ．
16．（本题5分）数列的前项和为，若，则 .
17．（本题5分）数列的通项公式是，的前项和为，则取得最小值时 .
18．（本题5分）已知数列的递推公式为，则 .
19．（本题5分）已知正项等比数列满足，，则 .
20．（本题5分）已知等差数列满足，则的值为 .
21．（本题5分）已知两个等差数列， 的前n项和分别为， . 若 则 .
22．（本题5分）已知数列的通项公式为，则使成立的正整数的最大值为 ．
三、解答题（共40分）
23．（本题10分）已知等差数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和为.
24．（本题10分）记等差数列的前项和为，已知，且．
(1)求和；
(2)设，求数列前项和．
25．（本题10分）在递增的等比数列中，，，其中.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
26．（本题10分）已知数列满足：.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式及其前项和的表达式。菏泽市部分学校2023-2024学年高二上学期12月月考
数学参考答案
1．B
【分析】由数列的通项直接计算得出答案.
【详解】由，令，得，
故选：B.
2．C
【分析】根据等比数列的性质计算即可.
【详解】设公比为，
则，
因为，，
所以，所以.
故选：C.
3．C
【分析】利用等差数列通项的性质，可求.
【详解】等差数列中，，
则.
故选：C.
4．B
【分析】数列分子为，分母为，由此可求得一个通项公式.
【详解】数列，
则其分母为，分子为，则其通项公式为.
故选：B
5．C
【分析】根据等差数列性质得到，，求出公差，得到答案.
【详解】由题意得，解得，
，解得，
故等差数列的公差为，
故.
故选：C
6．B
【分析】利用，求出即可.
【详解】因为，所以.
故选：B.
7．C
【分析】利用裂项相消法求数列的和即可.
【详解】解：，
所以.
故选：C.
8．B
【分析】根据等比数列通项公式计算可得.
【详解】因为且，
所以.
故选：B
9．
【分析】设公比为，再根据题意作商即可得解.
【详解】设公比为，则，所以.
故答案为：.
10．12
【分析】根据等比数列前项和的性质即可求解.
【详解】法一：设等比数列的公比为，由，得，
而，于是，
所以．
法二：因为为等比数列，所以也成等比数列，
即成等比数列，即.
故答案为：12
11．，
【分析】等差数列满足为，，故可以求得的首项与公差，从而可以写出的通项公式.
【详解】设数列的公差为由题意可知，，，
于是
因为，所以，所以
所以
故答案为：，
12．
【分析】利用的关系可求通项公式.
【详解】当时，；
当时，；
显然时也符合上式，所以.
故答案为：
13．
【分析】根据等差数列前项和公式解决即可.
【详解】由题知，等差数列的前n项和分别为，，且，
因为，
故答案为：.
14．
【分析】把等差数列的前项和设为二次函数，利用二次函数的对称性可求最值.
【详解】设等差数列的公差为，则，
令，因为，所以，
所以二次函数的图象关于直线对称．
又因为，可得，所以当取得最小值时，．
故答案为：10.
15．25
【分析】先分析得到数列是一个以为首项，以公差为2的等差数列，求出即得解.
【详解】因为，，
所以数列是一个以为首项，以公差为2的等差数列，
所以，
所以
故答案为：25
16．/
【分析】利用裂项求和法求得正确答案.
【详解】
.
故答案为：
17．
【分析】解不等式，可得出当取得最小值时的值.
【详解】由可得且，故当时，取最小值.
故答案为：.
18．54
【分析】根据递推公式逐一赋值即可求解.
【详解】由数列的递推公式得.
故答案为：54.
19．32
【分析】由等比数列的性质可求得，进而可求出，再根据等比数列的性质即可得解.
【详解】由题，解得（舍去），
由，得，则，
由，得.
故答案为：
20．3
【分析】由等差数列通项公式得，即，进而求出
【详解】由等差数列通项公式得，
即，故，
.
故答案为：3
21．2
【分析】根据给定条件，利用等差数列前n项和公式、等差数列性质计算即得.
【详解】等差数列， 的前n项和分别为，，，
所以.
故答案为：2
22．
【分析】由列不等式，从而求得的取值范围，进而求得的最大值.
【详解】由，解得，
因为，所以正整数的最大值为.
故答案为：
23．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意求出首项与公差，再根据等差数列的通项公式即可得解；
（2）根据等差数列的前项和公式计算即可.
【详解】（1）设公差为，
由，，
得，解得，
所以；
（2）.
24．(1)；；
(2)．
【分析】（1）利用等差数列性质求出通项公式和前项和；
（2）利用裂项相消法求和.
【详解】（1）设的公差为，因为，所以，
又，所以，解得，
所以，
．
（2），
所以
．
25．(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，求出的首项、公比即可作答.
（2）利用分组求和法及等比数列前n项和公式求和作答.
【详解】（1）由，等比数列是递增数列，得，
因此数列的公比，则，
所以数列的通项公式是.
（2）由（1）得，，
.
26．(1)证明见解析；
(2)；
【分析】（1）由等比数列的定义证明即可；
（2）由（1）得出数列的通项公式，再由等差和等比的求和公式计算.
【详解】（1）由题意可知，
所以数列是以为首项，公比为的等比数列.
（2）由（1）可知，，即
前项和.
