2.2.1 向量的加法 课件（共17张PPT）

(共17张PPT)
2.2.1 向量的加法
新授课
1.理解向量加法的定义，会用向量加法的平行四边形法则和向量加法的三角形法则作两个向量的和向量.
2.掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们求多个向量的和.
根据要求画一画：
（1）小毛上午从点A到达了点B，下午从点B到达了点C.画出小毛这一天的位移.
（2）作用在物体上的两个力如图所示，画出物体所受到合力.
知识点 1：向量的加法
F1
F2
A
B
C
F
从运算的角度看， 可以认为是 的和，F可以认为是F1，F2的和，即位移、力的合成可以看作向量的加法.
概念生成
求两个向量和的运算称为向量的加法.
已知两个不共线的向量a，b，在平面内任取一点A作有向线段 ＝a，
＝b，以有向线段为邻边作□ABCD，则有向线段 表示的向量即为向量a，与向量b的和，记作a＋b.
向量加法的平行四边形法则
向量加法的三角形法则
显然，作有向线段 ＝a，以有向线段 的终点为起点，作有向线段 ＝b，连接A，C得到有向线段 ，也可以表示向量a与b的和.
a
b
a＋b
A
B
C
思考1：若向量a，b共线，上述法则还适用吗？尝试写出向量a，b共线后的和.
a
思考1：若向量a，b共线，上述法则还适用吗？尝试写出向量a，b共线后的和.
不适用，共线后无法构建平行四边形、三角形.
①同向：
a
b
②反向：
a
b
a
b
a＋b
b
a＋b
思考2：对任意两个向量a、b，|a＋b|，|a|＋|b|，|a|－|b|之间具有怎样的大小关系？通过作图进行说明.
|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b同向，等号成立；
|a＋b|≥|a|－|b|，当且仅当a，b反向，等号成立.
a
b
a
b
a＋b
a
a
b
b
a＋b
a
b
a＋b
例1 如图，已知向量a，b，求作向量a＋b.
a
b
解：作法1：在平面内任取一点O，作 ＝a， ＝b，
以 OA，OB为邻边作□OACB，连接OC，则 ＝a＋b.
a
b
O
A
B
C
作法2：在平面内任取一点O，作 ＝a， ＝b，则 ＝a＋b.
a
b
O
A
B
例2 轮船从A港沿北偏东60°方向行驶了40n mile到达B处，再由B处沿正北方向行驶40n mile到达C处.求此时轮船与A港的相对位置.
解：题目可如图所示，设正东方向所在直线为AE，作BD⊥AE，
在Rt△ADB中，∠ADB＝90°， ＝40n mile，
∠BAD＝30°，
∴ (n mile)，
(n mile)，
在Rt△ADC中，∠ADC＝90°， (n mile)，
∴ (n mile)，
由 ，得∠CAD＝60°，
∴此时轮船位于A港北偏东30°，且距离A港 n mile的C处.
例2 轮船从A港沿北偏东60°方向行驶了40n mile到达B处，再由B处沿正北方向行驶40n mile到达C处.求此时轮船与A港的相对位置.
思考3：实数的加法运算满足交换律，即对任意α，β∈R，都有α＋β＝β＋α，那么向量的加法也满足交换律吗？如何检验？
知识点 2：向量加法的运算律
如图可知，a＋b＝ ，b＋a＝ ，
∴a＋b＝b＋a.
满足，验证如下：
思考4：实数的加法运算满足结合律，即对任意α，β，γ∈R，都有(α＋β)＋γ＝α＋(β＋γ)，那么向量的加法也满足结合律吗？如何检验？
如图可知，(a＋b)＋c＝ ，
a＋(b＋c)＝ ，
满足，验证如下：
∴(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).
例3 如图，已知向量a，b，c，d，作出a＋b＋c＋d，并说出多个向量求和的方法及依据.
解：可以按照不同的次序与组合进行这四个向量的加法.
方法1：如图，在平面上任取一点A，作 ＝a ＝b
＝c ＝d
a
b
c
d
则a＋b＋c＋d＝[(a＋b)＋c]＋d＝( ＋c)＋d
＝ ＋d＝
例3 如图，已知向量a，b，c，d，作出a＋b＋c＋d，并说出多个向量求和的方法及依据.
方法2：如图，在平面上任取一点A’，作 ＝a ＝d
＝c ＝b
a
b
c
d
则a＋b＋c＋d＝(a＋b)＋(c＋d)＝
由于向量加法满足结合律与交换律，因此求n个向量α1，α2，…，αn的和可以按以下步骤进行：
任取一点O，依次作有向线段 ＝α1， ＝α2，…， ＝αn，
即为这n个向量之和.
当然，也可以把n个向量分为若干组，先求每组向量之和，再求出这些组向量和的和.
技巧归纳
1.下列等式错误的是(　 )
A.a＋0＝0＋a＝a
B.
C.
D.
练一练
B
根据今天所学，回答下列问题：
（1）向量求和有哪几个法则？
（2）向量加法的运算律有哪些？