2.3.1 向量的数乘运算 课件（共15张PPT）

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2.3.1 向量的数乘运算
新授课
在疾风暴雨、雷电交加的夜晚，为什么我们总是先看到闪电，后听到雷声？这是因为光速远远大于声速.经测量光速大小约为声速的8.8×10倍.
一重物由高空自由落下，根据自由落体运动的速度公式v＝gt可知，它在1s末和2s末的速度大小分别为v1＝9.8m/s和v2＝19.6m/s.显然v2＝2v1，并且方向都是竖直向下的.
数是可以进行乘法运算，平面向量既有大小，又有方向，平面向量可以进行乘法运算吗？它和实数进行乘法运算吗？
1.理解向量的数乘运算及线性运算的概念.
2.掌握数乘运算的运算律，能进行向量的线性运算.
问题：给定一个向量 ，分别作出 和 ，它们的长度和方向是怎样的？
知识点 1：数乘运算的定义
O
A
B
C
类比乘法
记作
与 相同
方向
长度
的3倍
N
M
Q
P
类比乘法
记作
与 相反
方向
长度
的3倍
概念生成
实数λ与向量a的乘积是一个向量，记作λa，满足以下条件:
（1）当λ＞0时，向量λa与向量a的方向相同；
当λ＜0时，向量λa与向量a的方向相反；
当λ＝0时，0a＝0.
（2）|λa|＝|λ||a|.
这种运算称为向量的数乘.
如图，由实数与向量数乘λa的定义可以看出，它的几何意义是:
当λ＞0时，表示向量a的有向线段在原方向伸长或缩短为原来的|λ|倍;
当λ＜0时，表示向量a的有向线段在反方向伸长或缩短为原来的|λ|倍.
由向量数乘的定义容易推出，在非零向量a方向上的单位向量是
试一试：给定向量 ， ，作向量 和 ，向量 和 ，向量 和 ，并进行比较.
知识点 2：数乘运算的运算律
类比实数的乘法运算律，向量数乘运算有哪些运算律呢
设λ，μ为实数，a，b为向量，那么根据向量的数乘定义，可以得到以下运算律:
（1）(λ＋μ)a＝λa＋μa；
（2）λ(μa)＝(λμ)a；
（3）λ(a＋b)＝λa＋λb.
总结归纳
向量的加法、减法、数乘的综合运算，通常称为向量的线性运算(或线性组合).
例1 设a，b为向量，计算下列各式：
（1）(－3)×4a； （2）3(a＋b)－ (a－b)－a；
（3）(2λ－μ)a－λb－(λ－μ)(a－b)(λ，μ为实数).
解：（1）由数乘运算的运算律得(－3)×4a＝(－3×4)a＝－12a；
（2）3(a＋b)－ (a－b)－a＝3a＋3b－ a＋ b－a
＝ a＋ b；
（3）(2λ－μ)a－λb－(λ－μ)(a－b)＝(2λ－μ)a－λb－(λ－μ)a＋(λ－μ)b
＝[(2λ－μ)－(λ－μ)]a＋[－λ＋(λ－μ)]b
＝λa－μb.
例2 设x是未知向量，解方程x＋a－3(x－b)＝0.
解：原式可变形为x＋a－3x＋3b＝0，
2x＝a＋3b，
x＝ a＋ b.
例3 如图，已知点O是△ABC所在平面内一点，点D为边BC的中点，且
＝0，说明向量 与 的关系.
解：∵点D为边BC的中点，∴
∴ ，
又 ＝0，∴ ＝0，
∴ ，
即向量 与 共线且方向相同，长度是向量 长度的 倍.
1.已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的为(　 )
①m(a－b)＝ma－mb；
②(m－n)a＝ma－na；
③若ma＝mb，则a＝b；
④若ma＝na，则m＝n.
A.①④ B.①② C.①③ D.③④
练一练
B
根据今天所学，画出知识框架图.
向量的数乘运算
数乘运算的定义
数乘运算的运算律