河南省驻马店高级中学2023-2024学年高二上学期第三次月考数学试题（PDF版含答案）

驻马店高中 2023-2024 学年高二上期第三次月考试题 A．4 B．5 C．6 D．7
2
8．在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 C： y＝4x的焦点为 F ，A x1, y1 ，B x2 , y2 ，D x3, y3 为数 学
抛物线 C上的任意三点(异于 O点)， FA FB FD 0，则下列说法不正确的有（ ）
注意事项：1.答卷前，请考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 A． FA FB FD 6
2.作答时，务必将答案写在答题卡对应区域内上，写在本试卷及草稿纸上无效。
3.考试结束后，将答题卡交回。 B．若 FA FB，则 FD AB
4.试卷满分：150 分 ； 考试时间：120 分钟。
一、单选题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 C．设 A ， B 到直线 x 1的距离分别为 d1， d2，则 d1 d2 AB
题目要求的. 1 1 1
D．若直线 AB， AD， BD的斜率分别为 kAB， kAD ， kBD，则 0kAB kAD kBD
l 1．若直线 的一个方向向量为 3 1, ，则它的倾斜角为（ ） 二、选择题: 本题共 4 小题,每小题 5 分, 共 20 分. 在每小题列出的四个选项中,有多个选项是符
3 合题目要求的. 全部选对的得 5 分,部分选对的得 2 分,有选错的得 0 分.
A. 30 B. 60 C. 120 D. 150 9.已知随机事件A，B的概率分别为 P A ，P B ，且 P A P B 0，则下列说法中不正确的是（ ）
y2
2．双曲线 x2 1的渐近线方程是（ ） A． P A B P AB B． P3 B A P A B
3 1
A． y x B． y 3x C． y 3x D． y x3 P A B P
B
3 C． P B A P B B 0
P A D．
3．在坐标平面内，与点 A 1,2 距离为 3，且与点 B 3,8 距离为 1 的直线共有（ ）
10．以下关于圆锥曲线的说法，不正确的是（ ）
A．1 条 B．2 条 C．3 条 D．4 条
A．设 A,B为两个定点， k为非零常数， PA PB k，则动点 P的轨迹为双曲线
4．在“3+1+2”模式的新高考方案中，“3”是指语文、数学、外语三科为必考科目，“1”指在物理和历史
两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理中任选两科，某学生根据自己实际情况确认了 B．过点 0,1 作直线，使它与抛物线 y2 4x有且仅有一个公共点，这样的直线有 3条
要选生物，那么此同学可能的选课方式共有（ ） x2 y2C．若曲线C : 1为双曲线，则 k 1或 k 4
A．2种 B．4种 C．6种 D．12 4 k k 1种 1
D．过定圆O上一定点A作圆的动弦 AB,O为坐标原点，若OP OA OB ，则动点 P的轨迹为椭圆
5．已知 x 1 (x 1)5 a a 2 3 4 50 1x a2x a3x a4x a5x a 66x ，则 a0 a3的值为（ ） 2
11. 已知正方体 ABCD A1B1C1D1，棱长为 1， E,F 分别为棱 AB,CC1的中点，则（ ）A．-1 B．1 C．2 D．-2

6．直线 l 的方向向量为 m 1,0, 1 ，且 l 过点 A 1,1,1 ，则点 P 1,2,1 到 l 的距离为（ ） A. 直线 AD1与直线 EF 共面 B. A1E AF
A． 2 B． 3 C． 6 D． 2 2 C. 直线 A1E与直线 BF 的所成角为60 D. 三棱锥C1 ADF
1
的体积为
12
x2 y2
7．已知点 P 是椭圆 1上一动点，Q 是圆 (x 3)2 y2
2
1上一动点，点 M (6, 4)，则 PQ PM 12. 已知圆M ： x 2 y2 2，直线 l： x y 2 0，点 P在直线 l上运动，直线 PA，PB分别25 16
的最大值为（ ） 与圆M 相切于点 A,B .则下列说法正确的是 （ ）
试卷第 1页 共 2页
{#{QQABCYaAggiAAAJAARgCAQGqCkOQkBACCAoGBEAMoAAAwANABCA=}#}
A. 四边形 PAMB的面积的最小值为 2 3 B. PA最小时，弦 AB长为 5 19（12 分）.已知 1号箱中有 2个白球和 4个红球，2号箱中有 5个白球和 3个红球，所有球的大小、
形状完全相同．
C. PA最小时，弦 AB所在直线方程为 x y
3
1 0 D. 直线 AB过定点 ,
1
2 2 (1)从 1号箱中不放回地依次取 2个球，每次取一个，求第一次取得红球且第二次取得仍是红球的概率；
三、填空题: 本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分. 把答案填在答题卡的相应位置. (2)若从 1号箱中任取 2个球放入 2号箱中，再从 2号箱中任取 1个球，求取出的这个球是红球的概率．
13.从 6名短跑运动员中选出 4人参加 4×100 m 接力赛，甲不能跑第一棒和第四棒，问共有 种参
赛方案（结果用数字作答）. 20（12 分）已知直角三角形 ABC 的顶点 A 2,0 ，直角顶点 B 的坐标为 0, 2 2 ，顶点 C 在 x 轴上．
14. 端午节思原煮了 8个粽子，其中 5个甜茶粽和 3个艾香粽．思原随机取出两个，事件 A“取到的两
（1）求直角三角形 ABC 的外接圆的一般方程；
个为同一种馅”，事件 B“取到的两个都是艾香粽”，则 P(B A) ．
（2）设 OA 的中点为 M，动点 P满足 PM PE 1，G 为 OP 的中点，其中 O 为坐标原点，E为三角
15.已知圆锥 PO（ P 为圆锥顶点，O为底面圆心）的轴截面是边长为 2 的等边三角形，A ，B ，
形 ABC 的外接圆的圆心，求点 G 的轨迹方程．
C为底面圆周上三点，空间一动点 Q，满足 PQ 2xPA yPB 1 2x y PC ，则 PQ 的最小值
为 ． 21（12 分）.2023 年 9 月 23 日，杭州第 19 届运动会开幕式现场，在 AP 技术加持下，寄托着
x2 y2 古今美好心愿的灯笼升腾而起，溢满整个大莲花场馆，融汇为点点星河流向远方，绘就了一
16. 若F1、 F2为椭圆C： 1的左、右焦点，焦距为 4，点 P为C上一点，若对任意的 1,4 ，a2 b2 幅万家灯火的美好图景．灯笼又统称为灯彩，是一种古老的汉族传统工艺品，经过数千年的
发展，灯笼也发展出了不同的地域风格，形状也是千姿百态，每一种灯笼都具有独特的艺术
均存在四个不同的点 P满足 PF1 PF2 ，则C的离心率 e的取值范围为_________.
表现形式．现将一个圆柱形的灯笼切开，如图所示，用平面 BCC1B1
四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
表示圆柱的轴截面， BC是圆柱底面的直径，O为底面圆心，E 为
17（10 分）.设直线 l1 : x y 1 0， l2 : x 2y 2 0， l3 : 3x my 6 0．
母线 CC1的中点，已知 AA1 为一条母线，且 AB AC AA1 4 ．
（1）若直线 l1， l2 ， l3 交于同一点，求m的值； (1)求证：平面 AEO 平面 AB1O；
（2）若直线 l与直线 l1关于直线 l2 对称，求直线 l的方程. (2)求二面角 O AE B1的余弦值．
x2 x2
22（12 分）．在平面直角坐标系 xOy中，已知椭圆 C： 2 2 1 (a b 0 )的左、右焦点分a b
2n
18 3x 1 n（12 分）.已知 展开式的系数和为16，求 2x 1 的展开式中， x 别为 F1,F2 ，且焦距为 2 3，椭圆 C 的上顶点为 B，且 BF1 BF2 2．
(1) (1)求椭圆 C 的方程；常数项；
(2)若直线 l 过点 A(2, 1)，且与椭圆 C 交于 M，N 两点（不与 B 重合），直线 BM 与直线 BN 分
(2)系数最大的项．
别交直线 x 4 于 P，Q 两点．判断是否存在定点 G，使得点 P，Q 关于点 G 对称，并说明理由．
试卷第 2页 共 2页
{#{QQABCYaAggiAAAJAARgCAQGqCkOQkBACCAoGBEAMoAAAwANABCA=}#}
驻马店高中 2023-2024 学年高二上期第三次月考 B B B C2 1 1 2事件 1， 2 ， 3彼此互斥．P B 2 C 11 42 ， P B
C2C4 8 ， P B 2 ，
C6 5
2 C 26 15
3 C26 15
数学参考答案
P C | B 5 1 P C | B 4 21 ， 2 ， P C | B3
3
．所以
1-8. DBDCA BCC 9. ABD 10. AD 11. BD 12. AD 10 2 10 5 10
P2 2 C P B1 P C | B1 P B2 P C | B P B P C | B
2 1 8 2 1 3 13
2 3 3 ．3 5 2 15 5 15 10 30
13. 240 14. 15. 3 16. ,
13 3 2 13所以取出的这个球是红球的概率为 ．
30
x y 1 0 x 0
17. （1）{ { 3 0 m 6 0 m 6 ） 16y2x 2y 2 1 0 y 1 20.【答案】（1） x2 y2 2x 8 0 2 （2）16x 1 x 3 4
（2）取 A（1,0）其关于直线 l2 对称点 B（x,y）
【小问 1 详解】由题意知：直线 AB 的斜率为 kAB 2 ，∵ AB BC，
y 0 1
1 x 1 12
x 1 2 5 1 2 2 { { l : y 1 5 x 0 7x y 1 0 ∴直线 BC 的斜率为 k y 0 x 4 BC ，直线 BC 的方程为：y x 2 2 ，令 ，则 ，∴C（4，0）x 1 y 12 1 2 2
2 2 0 y 0
2 2 5 5 由于三角形是以 B 为直角顶点的直角三角形，所以其外接圆的直径为 AC，
18.（1）因为 3x 1 n展开式的系数和为16，所以 2n 16 从而外接圆的圆心为（1，0），半径为 3
2
1 8 r 8 r r r 8 r 8 2r ∴三角形 ABC 外接圆的方程为： x 1 y2 9 ，其一般方程为： x2 y2 2x 8 0
故 n 4，设 (2x ) 的展开式的第 r 1为Tr 1，Tr 1 C8 (2x) x C 2 x ，x 8
【小问 2 详解】
令8 2r 0得， r 4 4 4，所以常数项为T5 C8 2 1120．
由（1）知：三角形 ABC 的外接圆的圆心 E（1，0），∵M 为 OA 的中点，∴M 1,0
(2x 1（2）设 )8 的展开式的第 r 1项系数最大
x
∵ PM PE 1 2 ME ，∴P 的轨迹是以 M，E为焦点的双曲线的右支，
Cr 28 r8 C
r 1
8 2
7 r
r 8 r r 1 9 r ，解得 2 r 3，所以系数最大的项为第 3 或第 4 项，C 2 C 2 x2 y2 8 8 1 2 2 2 3设其方程为： 1 a 0,b 0, x a 则2a 1，2 2 2c 2，从而 a ，c 1，b c a a b 2 4
2 6
所以系数最大的项为T3 C8 2 x
4 1792x4 或T 3 5 2 24 C8 2 x 1792x
2 4 2
∴点 P 的轨迹方程为： 4x y 1(x 1 ) ①
19.(1)设“从 1 号箱中第 1 次取得红球”为事件A ，“从 1 号箱中第 2 次取得红球”为事件 B，P A 4 2 ， 3 2
6 3
x x 0
P B | A 3 , P AB P B | A P A 2 所以第 1 次取得红球且第 2 次取得仍是红球的概率为 2 ． x 2x
5 5 5 设G x, y P(x , y ) 2 0， 0 0 ，∵G为 OP 的中点，则有 ，从而 ，∴ P 2x, 2y
y0 y0 2y
(2)设“从 2 号箱中任取 1 个球是红球”为事件C，“从 1 号箱中任取 2 个球都是红球” y 为事件B1，“从 1 2
号箱中任取 2 个球 1 个红球和 1 个白球”为事件 B2 ，“从 1 号箱中任取 2 个球都是白球”为事件B 23，则 16y 1
代入①得点 G 的轨迹方程为：16x2 1(x ) ．
3 4
答案第 1页 共 2页
{#{QQABCYaAggiAAAJAARgCAQGqCkOQkBACCAoGBEAMoAAAwANABCA=}#}
我努力 我骄傲 我自豪
2
21．【详解】（1）因为 AB AC AA 4 x1 ， AA1 平面 ABC，BC 是圆柱底面的直径， 22．【答案】 (1) y2 1； (2)存在，理由见解析 .4

所以 AB AC，则 BC 4 2 ，OA 2 2 ， B1O BB
2 BO2 2 6 ， AB AA2 21 1 1 A1B1 4 2 【详解】（1）依题意， B(0,b),F1( 3,0),F2( 3,0) ， BF1 ( 3, b),BF2 ( 3, b) ，

则有 B1O
2 OA2 AB21 ，所以 B1O OA； 则 BF BF b
2 3 2，解得 b21 2 1，而半焦距 c 3 ，于是 a2 4，
2
又 E x为 CC1 的中点所以 OC 2 2 ， CE 2 ， OE OC2 OE2 2 3 ， B 21E B1C1 C1E
2 6 ， 所以椭圆 C 的方程为 y2 1．
4
则有 BO2 OE 2 B E 2 ，所以 BO OE ；又 OE OA O，所以 BO 平面 AEO，BO 平面 ABO， （2）显然直线 MN的斜率存在，设直线 MN的方程为 y k(x 2) 1， M (x1 , y1 ),N (x2 , y2 ) ，1 1 1 1 1 1
所以平面 AEO ABO y k(x 2) 1平面 ； y (1＋4k 2 )x2 21 由 x2 消去 得
8k(1 2k)x 16k 16k 0 ，
4 y
2 4
（2）由题意可知， AA1 平面 ABC， BAC 90 ，
64k
2 (1 2k)2 64(1＋4k 2 )(k 2 k) 64k 0，即 k 0 ，

以 A 为坐标原点， AB， AC， AA1 分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正方
x x 8k(2k 1)
2
则 1 2 2 ,x x
16k 16k
1 2 2 ，
向建立如图所示的空间直角坐标系 A xyz ，因为 AB AC AA1 4
4k 1 4k 1
直线 BM的方程为 y
y 1 y 1
1 x 1 ，直线 BN 的方程为 y 2 x 1x x ，
则 A 0,0,0 ， B 4,0,0 ， E 0, 4, 2 ， B1 4,0, 4 ， C 0, 4,0 ，O 2,2,0 1 2y 1 y 1
设 P,Q两点的纵坐标分别为 yP , yQ，于是 yP 4 1 1， yQ 4 2 1 x x ，
B1O 2, 2, 4 ， BO 2, 2, 2 ， AO 2,2,0 1 2．
显然 y y 4(
y1 1 y2 1) 2 4[ k( x1 2) 2 k( x 2) 2P Q 2 ] 2 x x x x
由（1）知，平面 AEO的一个法向量为 B1O 2, 2, 4
1 2 1 2
4(2k 2k 2 2k 2) 2 x x 4[2k (2k 2) 1 2] 2
x x x x
设平面 AEB1 的一个法向量为 n x, y, z ， AE 0, 4, 2 ， B1A 4,0, 4
1 2 1 2
，
8k(2k 1)
2 y y n·AE 2y z 0 4[2k (2k 2) 4k 1 ] 2 2 P Q
则 ，取 x 2 ，则 n
1
2,1, ，因此 2 ， 16k 2 16k 2
n·B1A x z 0 4k 2 1
所以存在 G(4, 1)，使得点 P，Q 关于点 G 对称．
所以 cos n,BO
n B1O 6 6 1
n B1O 9 24 6
，
因为二面角 O AE B1 为锐角，所以二面角 O AE B
6
1 的余弦值为
6
答案第 2页 共 2页
{#{QQABCYaAggiAAAJAARgCAQGqCkOQkBACCAoGBEAMoAAAwANABCA=}#}