重庆市长寿区2023-2024学年高一上学期期末模拟（五）数学试题
考试说明：
考试时间：120分钟； 满分：150分.
在规定时间内提交.
书写规范，拍照完整清晰，按要求上传.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2. 将函数的图象向左平移个单位后与的图象重合，则( )
A. B.
C. D.
3. 已知半径为的圆上有一段弧的长为，则该弧所对的圆心角的弧度数为
A. B. C. D.
4. 已知函数，则的值为( )
A. B. C. D.
5. 在下列区间中，函数的零点所在的区间为( )
A. B. C. D.
6. 若，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
7. 若，则( )
A. B. C. D.
8. 已知是上的增函数，那么的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列四个三角关系式中正确的是( )
A. B.
C. D.
10. 如果，那么下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
11. 函数是定义在上的奇函数，下列说法正确的是( )
A.
B. 若在上有最小值，则在上有最大值
C. 若在上为增函数，则在上为减函数
D. 若时，，则时，
12. 已知函数的部分图象如图所示，则正确的是( )
A. 该图象对应的函数解析式为
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数的图象关于点对称
D. 函数在区间上单调递减
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 命题“”的否定是 ．
14. 若，则的最小值是 ．
15. 定义在上的函数满足，，则
16. 已知函数有四个零点，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 本小题分已知全集为，集合，．
若，求，；
若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围．
18. 本小题分已知函数．
当时，解不等式；
当时，恒成立，求的取值范围．
19. 本小题分已知，为锐角，，．
求和的值；
求和的值．
20. 本小题分已知函数．
求的最小正周期和单调递增区间；
当时，求的最值．
21. 本小题分经观测，某公路段在某时段内的车流量千辆小时与汽车的平均速度千米小时之间有函数关系：．
为保证在该时段内车流量至少为千辆小时，则汽车平均速度应控制在什么范围？
在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？
22. 本小题分设函数．
解不等式；
已知对任意的实数恒成立，是否存在实数，使得对任意的，不等式恒成立，若存在，求出的范围；若不存在，请说明理由．重庆市长寿区2023-2024学年高一上学期期末模拟（五）数学试题参考答案及评分标准
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 【答案】B
解：集合，，．
【答案】A
解：由题意，将函数的图象向左平移个单位长度，可得的图象.
【答案】D
解：半径为的圆中，弧的长是，则该弧所对的圆心角正角的弧度数为．
【答案】B
解：由得，所以．
【答案】C
解：函数在上连续，且易知在上是增函数，至多只有一个零点，，，，由函数零点存在性定理可知函数的零点所在的区间为
【答案】A
解：因为，，所以，
【答案】D
解：，，，
【答案】C
解：由于是上的增函数，可得，解得．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 【答案】BD
解：因为，所以A错误；
因为，所以B正确；
因为，所以C错误；
因为，所以D正确．
10. 【答案】BCD
解：若，则，故A错误；
由，可得，所以，故B正确；
由，可得，故C正确；
由，可得，故D正确．
11.【答案】ABD
解：由得，A正确；
当时，，则时，，，最大值为，B正确；
若在上为增函数，则在上为增函数，错；
若时，，则时，，，D正确．
12.【答案】AB
解：依题可得：，由，解得，再根据最值得， ，又，得，故函数，故A正确；
当时，，故函数的图象关于直线对称，故B正确，C错误；
由， ，解得，，当时，在上单调递减，故D错误．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 【答案】
14. 【答案】
解：，，
当且仅当即时取等号，时取得最小值.
15. 【答案】
解：因为，所以函数的周期为，则，
又因为，所以．
16. 【答案】
解：由，
得，
作出函数的图象，如图所示：
要使函数有四个零点，
则函数与的图象有四个不同的交点，
所以，解得：．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 解：若，则，………………1分
或，……………………………………………………… 3分
，
．………………………………………………………5分
是的充分条件，
，………………………………………………………………………………6分
，……………………………………………………………………… 8分
．
实数的取值范围为． …………………………………………………10分
18. 解：当时，不等式为，
即，解得或，………………………………………4分
所以该不等式的解集为； ………………………………… 6分
由已知，若时，恒成立，
所以相应方程的判别式，…………9分
即，解得，
所以的取值范围为． ……………………………………………………12分
19. 解：因为为锐角，且，
所以，………………………………………2分
所以．……………5分
因为，为锐角，所以．………………………………………6分
所以，……………………8分
所以……………10分
． ……………………………………………12分
20. 解：函数
；………………………………………………3分
的最小正周期为；……………………………………………4分
令，；………………………………………5分
解得，；………………………………………………6分
单调递增区间为，；………………………………7分
当时，，……………………………………………9分
；…………………………………………………………10分
时，取得最小值为，……………………………………………11分
时，取得最大值为． ………………………………………………12分
21. 解：由题意，即，
即，解得，………………………………………4分
故汽车平均速度应控制在千米小时范围内；…………………………5分
（2）……………………………………………………8分
，………………………………………………………………10分
当且仅当，即千米小时时，等号成立，…………………11分
所以千米小时时车流量最大．……………………………………12分
解：①当时，由，得，
解得，即；……………………………………………………………………2分
②当时，由，得，解得，即．…4分
综上可知，．…………………………………………………………………5分
由于，
且恒成立，可知为增函数．………………………………………6分
，即，………………………………7分
则有在上恒成立，即在上恒成立，……9分
令，设
在上单调递增，则，即．……………………………………10分
又由于时，恒成立，解得：，……………………………………11分
综上，．…………………………………………………………………………………12分
